2024-2025学年北京市崇文区名校九上数学开学监测模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年北京市崇文区名校九上数学开学监测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）△ABC的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．∠A: ∠B: ∠C =3∶4∶5B．∠A=∠B+∠C
C．a2=(b+c)(b-c)D．a:b:c =1∶2∶
2、（4分）下列式子因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x+2＝（x+1）2+1B．（2x+4）2＝4x2+16x+16
C．x2﹣x+6＝（x+3）（x﹣2）D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
3、（4分）八边形的内角和、外角和共多少度（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如下表)：
下列说法错误的是( )
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
5、（4分）的算术平方根是（ ）
A．B．﹣C．D．±
6、（4分）某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ）
A．6，6B．7，6C．7，8D．6，8
7、（4分）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2－12x＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是( )
A．24 B．24或16 C．26 D．16
8、（4分）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是_____．
10、（4分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为2，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积均为定值__________．
11、（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，CD=6cm，则AB的长为 cm．
12、（4分）已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为 ．
13、（4分）一次函数y=（2m﹣6）x+4中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．
（1）求出这个一次函数的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出y＜2时x的取值范围．
15、（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家快递公司每月的投递总件数的增长率相同，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为30万件和36.3万件，求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．
16、（8分）如图，已知中，，点以每秒1个单位的速度从向运动，同时点以每秒2个单位的速度从向方向运动，到达点后，点也停止运动，设点运动的时间为秒.
(1)求点停止运动时，的长;
(2) 两点在运动过程中，点是点关于直线的对称点，是否存在时间，使四边形为菱形?若存在，求出此时的值;若不存在，请说明理由.
(3) 两点在运动过程中，求使与相似的时间的值.
17、（10分）古埃及人用下面的方法得到直角三角形，把一根长绳打上等距离的13个结（12段），然后用桩钉钉成一个三角形，如图1，其中∠C便是直角．
（1）请你选择古埃及人得到直角三角形这种方法的理由 （填A或B）
A．勾股定理：在直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方
B．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
（2）如果三个正整数a、b、c满足a2+b2＝c2，那么我们就称 a、b、c是一组勾股数，请你写出一组勾股数
（3）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
18、（10分）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2，求AB、BC的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）画在比例尺为的图纸上的某个零件的长是，这个零件的实际长是_______．
20、（4分）命题“在中，如果，那么是等边三角形”的逆命题是_____.
21、（4分）如图，在中，直径，弦于，若，则____
22、（4分）如图，菱形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC=120°，则∠OED=______.
23、（4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=1．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是_________________。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：如图，在中，于点，为上一点，连结交于，且，，求证：.
25、（10分）2019年4月23日是第24个世界读书日．为迎接第24个世界读书日的到来，某校举办读书分享大赛活动：现有甲、乙两位同学的各项成绩如下表所示：若“推荐语”“读书心得”“读书讲座”的成绩按确定综合成绩，则甲、乙二人谁能获胜？请通过计算说明理由
26、（12分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为15.
(2)在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF(不是正方形),点E、F在小正方形的顶点上，请直接写出菱形ABEF的面积；
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
分析：根据直角三角形的概念，角的特点和勾股定理的逆定理逐一判断即可.
详解：根据直角三角形的两锐角互余，可知180°×=75°＜90°，不是直角三角形，故正确；
根据三角形的内角和定理，根据∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=∠B+∠C，可得∠A=90°，是直角三角形，故不正确；
根据平方差公式，化简原式为a2=b2-c2，即a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，故不正确；
根据a、b、c的关系，可直接设a=x，b=2x，c=x，可知a2+c2=b2，可以构成直角三角形，故不正确.
故选A.
点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，关键是根据三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理和勾股定理逆定理进行判断即可.
2、D
【解析】
利用因式分解定义，以及因式分解的方法判断即可．
【详解】
解：A、x2+2x+2不能进行因式分解，故A错误；
B、（2x+4）2＝4x2+16x+16不符合因式分解的定义，故B错误；
C、，等式左右不相等，故C错误；
D、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），正确
故选：D．
本题考查了因式分解的概念及判断，掌握因式分解的定义是解题的关键．
3、B
【解析】
n边形的内角和是（n−2）•180°，已知多边形的边数，代入多边形的内角和公式就可以求出内角和；任何多边形的外角和是360度，与多边形的边数无关；再把它们相加即可求解．
【详解】
解：八边形的内角和为（8−2）•180°＝1080°；
外角和为360°，
1080°＋360°＝1440°．
故选：B．
本题考查了多边形内角与外角，正确记忆理解多边形的内角和定理，以及外角和定理是解决本题的关键．
4、C
【解析】
根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
【详解】
∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A正确；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，
∴选项B正确；
∵342×5=1710（m），
∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，
∴选项C错误；
∵324-318=6（m/s），330-324=6（m/s），336-330=6（m/s），342-336=6（m/s），348-342=6（m/s），
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D正确．
故选C．
此题主要考查了自变量、因变量的含义和判断，要熟练掌握．
5、C
【解析】
直接利用算术平方根的定义得出答案．
【详解】
的算术平方根是：．
故选C．
此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．
6、B
【解析】
首先把所给数据按从小到大的顺序重新排序，然后利用中位数和众数的定义就可以求出结果．
【详解】
解：把已知数据按从小到大的顺序排序后为5元，1元，1元，7元，8元，9元，10元，
∴中位数为7
∵1这个数据出现次数最多，
∴众数为1．
故选B．
本题结合众数与中位数考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．众数只要找次数最多的即可．
7、A
【解析】
试题分析：
∴
∴或
∴，
而三角形两边的长分别是8和6，
∵2+6=8，不符合三角形三边关系，=2舍去，
∴x=10，即三角形第三边的长为10，
∴三角形的周长=10+6+8=1．
故选A．
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
点评：本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系．
8、A
【解析】
根据正比例函数的定义逐一判断即可.
【详解】
A. 是正比例函数,故A符合题意;
B. 不是正比例函数,故B不符合题意;
C. 不是正比例函数,故C不符合题意;
D. 不是正比例函数,故D不符合题意.
故选A.
此题考查的是正比例函数,掌握正比例函数的定义是解决此题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：.
考点：概率公式.
10、1
【解析】
过点O作OG⊥AB，OH⊥BC，利用AAS证明△EOG≌△FOH，得到两个正方形重合部分的面积是正方形OGBH，由此得到答案.
【详解】
如图，过点O作OG⊥AB，OH⊥BC，则∠OGE=∠OHF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=90°，
∴OG=AB=BC=OH=1，∠GOH=90°，
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴∠A1OC1=90°，
∴∠EOG=∠FOH，
∴△EOG≌△FOH，
∵∠ABC=∠OGB=∠OHB=90°，
∴四边形OGBH是矩形，
∵OG=OH，
∴四边形OGBH是正方形，
∴两个正方形重叠部分的面积==1，
故答案为：1.
此题考查正方形的性质，全等三角形的性质，正方形的判定定理，熟记各定理并熟练运用解题是关键.
11、1.
【解析】
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD=6cm，
∴AB=2CD=1cm．
故答案是：1．
考点：直角三角形斜边上的中线．
12、52
【解析】
解：已知AC=10cm，BD=24cm，菱形对角线互相垂直平分，
∴AO=5，BO=12cm，
∴AB==13cm，
∴BC=CD=AD=AB=13cm，
∴菱形的周长为4×13=52cm
13、m＜3.
【解析】
试题分析：∵一次函数y=（2m-6）x+5中，y随x的增大而减小，
∴2m-6＜0，
解得，m＜3.
考点：一次函数图象与系数的关系．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y＝x+1；（1）x＜1
【解析】
（1）将（﹣1，0）、（1，1）两点代入y＝kx+b，解得k，b，可得直线l的解析式；
（1）根据函数图象可以直接得到答案．
【详解】
解：（1）将点（﹣1，0）、（1，1）分别代入y＝kx+b，得：，
解得．
所以，该一次函数解析式为：y＝x+1；
（1）由图象可知，当y＜1时x的取值范围是：x＜1．
故答案为（1）y＝x+1；（1）x＜1.
本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．
15、投递快递总件数的月平均增长率是10%.
【解析】
设投递快递总件数的月平均增长率是x，依题意得：30(1+x)2=36.3，解方程可得.
【详解】
解：设投递快递总件数的月平均增长率是x，
依题意,得：30(1+x)2=36.3
则1+x=±1.1
解得：x1=0.1=10%,x2=−2.1(舍)，
答：投递快递总件数的月平均增长率是10%.
考核知识点：一元二次方程的应用.理解增长率是关键.
16、（1）（2）（3）或
【解析】
（1）求出点Q的从B到A的运动时间，再求出AP的长，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．根据DQ=CK，构建方程即可解决问题．
（3）分两种情形：如图3-1中，当∠APQ=90°时，如图3-2中，当∠AQP=90°时，分别构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
点Q运动到点A时，t==5，
∴AP=5，PC=1，
在Rt△PBC中，PB=．
（2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．
∵四边形PQCE是菱形，
∴PC⊥EQ，PK=KC，
∵∠QKC=∠QDC=∠DCK=90°，
∴四边形QDCK是矩形，
∴DQ=CK，
∴，
解得t=．
∴t=s时，四边形PQCE是菱形．
（3）如图2中，当∠APQ=90°时，
∵∠APQ=∠C=90°，
∴PQ∥BC，
∴，
∴，
∴．
如图3中，当∠AQP=90°时，
∵△AQP∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或s时，△APQ是直角三角形．
本题属于相似形综合题，考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
17、（1）B（2）（6，8，10）（3）见解析
【解析】
（1）根据对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解即可写出答案；
（2）根据题中所给勾股数的定义写出一组即可，注意答案不唯一；
（3）由（2）中所写的勾股数画出图形即可．
【详解】
（1）古埃及人得到直角三角形这种方法的依据是运用了勾股定理逆定理，故选B；
（2）根据勾股数的定义写出一组勾股数为（6，8，10）；
（3）所画图形如下所示．
此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．
18、AB=1，BC=5
【解析】
根据平行四边形对边相等可得BC+AB=8，根据△AOB的周长比△BOC的周长小2可得BC-AB=2，再解即可．
【详解】
解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，其周长为16，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=CB，
∴BC+AB=8①；
∵△AOB的周长比△BOC的周长小2，
∴OB+OC+BC-(OA+OB+AB)=2，
∴BC-AB=2②，
①+②得：2BC=10，
∴BC=5，
∴AB=1．
此题主要考查了平行四边形的性质，解决此题的关键是掌握平行四边形两组对边分别相等，对角线互相平分．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、640
【解析】
首先设这个零件的实际长是xcm，根据比例尺的定义即可得方程，解此方程即可求得答案，注意单位换算．
【详解】
解：设这个零件的实际长是xcm，根据题意得：
，
解得：x=640，
则这个零件的实际长是640cm．
故答案为：640
此题考查了比例尺的应用．此题比较简单，注意掌握方程思想的应用．
20、如果是等边三角形，那么.
【解析】
把原命题的题设与结论进行交换即可．
【详解】
“在中，如果，那么是等边三角形”的逆命题是“如果是等边三角形，那么”.
故答案为：如果是等边三角形，那么.
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
21、
【解析】
根据圆周角定理求出∠COB，根据正弦的概念求出CE，根据垂径定理解答即可．
【详解】
由圆周角定理得，∠COB=2∠A=60°，
∴CE=OC•sin∠COE=2×=，
∵AE⊥CD，
∴CD=2CE=2，
故答案为：2.
本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
22、30°
【解析】
根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=BE=OD，根据菱形性质可得∠DBE= ∠ABC=60°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°-∠OEB即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=60°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE=BE=OD，
∴∠OEB=∠OBE=60°．
∴∠OED=90°-60°=30°．
故答案是：30°
考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．
23、
【解析】
首先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】
连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO=CO，
∵AC=，
∴AO=AC=5，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=．
故答案为: ．
此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、详见解析.
【解析】
根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC，进而解答即可．
【详解】
∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°．
在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠FBD=∠DAC．
又∵∠BFD=∠AFE，∴∠AEF=∠BDF=90°，∴BE⊥AC．
本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC．
25、甲获胜；理由见解析．
【解析】
根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可．
【详解】
甲获胜；
甲的加权平均成绩为（分，
乙的加权平均成绩为（分，
∵，
∴甲获胜．
此题考查了加权平均数的概念及应用，用到的知识点是加权平均数的计算公式，解题的关键是根据公式列出算式．
26、 (1)见解析；(2)见解析；菱形ABEF的面积为8.
【解析】
(1)由图可知A、B间的垂直方向长为3，要使平行四边形的面积为15，结合网格特点则可以在B的水平方向上取一条长为5的线段，可得点C，据此可得平行四边形；
(2)根据网格特点，菱形性质画图，然后利用菱形所在正方形的面积减去三角形的面积以及小正方形的面积即可求得面积.
【详解】
(1)如图1所示，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图2所示，菱形ABCD为所求，
菱形ABCD的面积=4×4-4××3×1-2×1×1=16-6-2=8.
本题考查了作图——应用与设计，涉及了平行四边形的性质，菱形的性质等，正确把握相关图形的性质以及网格的结构特点是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
温度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
参赛者
推荐语
读书心得
读书讲座
甲
87
85
95
乙
94
88
88