2023-2024学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，4，6B．1，2，4C．2，2，4D．3，4，5
2．（3分）如图，在△ABC中，画出AC边上的高（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）六边形的内角和为（ ）
A．600°B．720°C．840°D．900°
4．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种应用方法的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
5．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．（3分）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）
A．105°B．90°C．75°D．60°
8．（3分）如图，点B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC＝12，BD＝3，则DE的长为（ ）
A．9B．6C．5D．7
9．（3分）如图，D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为（ ）
A．50°
B．60°
C．80°
D．随点B，C的移动而变化
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）.
11．（3分）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是 ．
12．（3分）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝ ．
13．（3分）如图，AC＝AD，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ABD．这个条件可以是 ．（写出一个即可）
14．（3分）如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得
灯塔C位于北偏东25°，则∠ACB＝ °．
15．（3分）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
16．（3分）如图，AC＝BC，AD＝BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：
①△ACD≌△BCD；
②AO＝BO；
③AB⊥CD；
④∠CAB＝∠ABD．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（第17-24题，每题5分，第25，26题，每题6分，共52分）.
17．（5分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
18．（5分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
19．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：∠D＝∠E．
20．（5分）如图，四边形ACBD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD．求证：AC＝AD．
21．（5分）如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝61°，∠ACD＝34°，∠ABE＝20°，求∠BDC和∠BFD的度数．
22．（5分）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ ＝∠ ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ ）（填推理的依据）
23．（5分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE平分∠BAD．
24．（5分）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD．
25．（6分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一点，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠CAP＝20°，则∠AMQ＝ °．
（2）判断AP与QM的数量关系，并证明．
26．（6分）如图1，在平面内取一个定点O，自O引一条射线Ox，设M是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0），以射线Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM的度数为x°（x≥0）．那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，x°）．
例如，在图2中，如果OG＝4，∠xOG＝120°，那么点G在平面内的位置，记为G（4，120°）．
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON＝ ；∠xON＝ °；
（2）如图4，点A，点B在射线Ox上，点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），点A，E，C在同一条直线上，且OE＝BC．用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系，并证明．
2023-2024学年北京市海淀区教师进修学校附属实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，4，6B．1，2，4C．2，2，4D．3，4，5
【分析】根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：A、2+4＝6，不能构成三角形，故A错误；
B、1+2＜4，不能构成三角形，故B错误；
C、2+2＝4，不能构成三角形，故C错误；
D、3+4＞5，能构成三角形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
2．（3分）如图，在△ABC中，画出AC边上的高（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、AD不是AC边上的高，不符合题意；
B、AD不是AC边上的高，不符合题意；
C、BD是AC边上的高，符合题意；
D、图中没有AC边上的高，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（3分）六边形的内角和为（ ）
A．600°B．720°C．840°D．900°
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）×180°，计算即可．
【解答】解：六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：（n﹣2）×180°．
4．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种应用方法的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
5．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】根据作图过程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
【解答】解：根据作图过程可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD，
在△OCD与△O′C′D′中，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：A．
【点评】本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等．从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】首先作DE⊥AB，再根据AAS证明△AED≌△ACD，即可得出CD＝DE；然后根据△ABD的面积＝AB•DE，即可求出结果．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，于点E．
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠CAD，∠AED＝∠ACD．
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴CD＝DE．
∵S△ABD＝AB•DE＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，明确CD＝DE是解题的关键．
7．（3分）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）
A．105°B．90°C．75°D．60°
【分析】根据三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：由图可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，
∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB，
∴∠AEB＝30°+45°＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．要注意：一副三角尺的度数：30°，45°，60°，90°．
8．（3分）如图，点B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC＝12，BD＝3，则DE的长为（ ）
A．9B．6C．5D．7
【分析】根据全等三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，BD＝3，
∴BD＝CE＝3，
∵BC＝12，
∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝12﹣3﹣3＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据三角形的中线的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC的面积为8，D为△ABC的边BC的中点，
∴S△ADC＝S△ABC＝×8＝4，
∵E为AC的中点，
∴S△ADE＝S△ADC＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
10．（3分）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为（ ）
A．50°
B．60°
C．80°
D．随点B，C的移动而变化
【分析】根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，求出∠A＝2∠D，即可求出答案．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，
∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，
∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，
∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，
∴∠A＝2∠D，
∵∠A＝100°，
∴∠D＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用，关键是求出∠A＝2∠D．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）.
11．（3分）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是 10 ．
【分析】正多边形的一个外角为36°，且每个外角都相等，根据多边形外角和为360°，可直接求出边数．
【解答】解：正多边形的边数是：360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】此题考查正多边形的外角和，解题关键是正多边形的边数为．
12．（3分）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝ 87° ．
【分析】利用平行线的性质先求出∠C，再利用三角形外角与内角的关系求出∠3．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠1＝55°，
∴∠3＝∠C+∠2
＝55°+32°
＝87°，
故答案为：87°．
【点评】本题考查平行线的性质及三角形外角与内角的关系，掌握“两直线平行，内错角相等”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
13．（3分）如图，AC＝AD，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ABD．这个条件可以是 CB＝DB（或∠CAB＝∠DAB） ．（写出一个即可）
【分析】利用已知条件得到AC＝AD，加上AB为公共边，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵AC＝AD，AB＝AB，
∴当添加CB＝DB时，可根据“SSS”判断△ABC≌△ABD；
当添加∠CAB＝∠DAB时，可根据“SAS”判断△ABC≌△ABD；
故答案为：CB＝DB（或∠CAB＝∠DAB）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
14．（3分）如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得
灯塔C位于北偏东25°，则∠ACB＝ 35 °．
【分析】根据方向角的定义，求出∠CAB、∠ABC，再根据三角形的内角和定理求出结果即可．
【解答】解：由方向角的定义可知，
∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+25°＝115°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB
＝180°﹣30°﹣115°
＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
15．（3分）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 360° ．
【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F＝∠FAD+∠EDA，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
【解答】解：如图，连接AD．
∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠FAD+∠EDA，
∴∠E+∠F＝∠FAD+∠EDA，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
＝∠BAD+∠ADC+∠B+∠C．
又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．
16．（3分）如图，AC＝BC，AD＝BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：
①△ACD≌△BCD；
②AO＝BO；
③AB⊥CD；
④∠CAB＝∠ABD．
其中正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】根据垂直平分线的判定得出CD是AB的垂直平分线，可判定②③正确；根据SSS可证明△ACD≌△BCD，得出①正确；由已知条件无法得出∠CAB＝∠ABD，④错误．
【解答】解：∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AO＝BO，AB⊥CD，
故②③正确，
在△ACD与△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
故①正确；
由已知条件无法得出∠CAB＝∠ABD，
故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（第17-24题，每题5分，第25，26题，每题6分，共52分）.
17．（5分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18．（5分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
19．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：∠D＝∠E．
【分析】根据平行线的性质和中点的定义证明△ACD≌△CBE，再根据全等三角形的性质即可证明．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠B．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠D＝∠E．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质及判定．应牢固掌握全等三角形的判定定理．
20．（5分）如图，四边形ACBD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD．求证：AC＝AD．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边对应相等的两个三角形全等即可判定．
【解答】证明：连接AB．
在RT△ABC和RT△ABD中，
，
∴RT△ABC≌RT△ABD（HL），
∴AC＝AD
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键，记住斜边、直角边对应相等的两个直角三角形全等，属于中考常考题型．
21．（5分）如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝61°，∠ACD＝34°，∠ABE＝20°，求∠BDC和∠BFD的度数．
【分析】在△ACD中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；在△BFD中，利用三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：在△ACD中，
∵∠A＝61°，∠ACD＝34°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝95°；
在△BDF中，
∠BFD＝180°﹣∠ABE﹣∠BDC
＝180°﹣20°﹣95°
＝65°．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．
22．（5分）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ PAM ＝∠ PAN ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ）（填推理的依据）
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠PAM＝∠PAN．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：PAM，PAN，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
23．（5分）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE平分∠BAD．
【分析】过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝EF，根据等量代换可得BE＝EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD．
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，
∴CE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴BE＝EF，
又∵∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD．
【点评】此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
24．（5分）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD．
【分析】过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再求出∠DAE＝∠C，然后利用“角角边”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∵∠BAD与∠BCD互补，∠EAD+∠BAD＝180°
∴∠DAE＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
25．（6分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一点，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠CAP＝20°，则∠AMQ＝ 65 °．
（2）判断AP与QM的数量关系，并证明．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，则∠PAB＝25°，再由直角三角形的性质即可求解；
（2）连接AQ，由线段垂直平分线的性质得AP＝AQ，则∠QAC＝∠PAC．再证∠QMA＝∠MQB+45°，∠QAM＝∠QAC+45°，然后证∠BQM＝∠PAC，得∠QMA＝∠QAM，即可得出结论．
【解答】（1）∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠B＝45°．
∵∠CAP＝20°，
∴∠PAB＝25°．
∵QH⊥AP于点H，
∴∠AHM＝90°．
∴∠AMQ＝90°﹣∠PAB＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65．
（2）解：AP＝QM，证明如下：
连接AQ，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥PQ．
又∵CQ＝CP，
∴AP＝AQ．
∵AC⊥PQ，
∴∠QAC＝∠PAC．
∵∠QMA＝∠MQB+∠B，
∴∠QMA＝∠MQB+45°．
∵∠QAM＝∠QAC+∠CAB，
∴∠QAM＝∠QAC+45°．
∵AC⊥PQ，AP⊥MQ，
∴∠BQM＝∠PAC．
∵∠QAC＝∠PAC，
∴∠QAC＝∠MQB．
∴∠QMA＝∠QAM．
∴AP＝QM．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明∠QMA＝∠QAM是解题的关键．
26．（6分）如图1，在平面内取一个定点O，自O引一条射线Ox，设M是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0），以射线Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM的度数为x°（x≥0）．那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，x°）．
例如，在图2中，如果OG＝4，∠xOG＝120°，那么点G在平面内的位置，记为G（4，120°）．
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON＝ 6 ；∠xON＝ 35 °；
（2）如图4，点A，点B在射线Ox上，点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），点A，E，C在同一条直线上，且OE＝BC．用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；
（2）过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F，根据题意OB＝2OA，则OA＝AB，通过证得△AOF≌△ABC，得到OF＝BC，即可证得OE＝OF，进而即可证得∠OEA＝∠ACB．
【解答】解：（1）根据点N在平面内的位置记为N（6，35°）可知，ON＝6，∠xON＝35°．
故答案为：6；35；
（2）用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系是：∠OEA＝∠ACB．
证明：过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F．
∴∠ACB＝∠F．
∵点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），
∴OB＝2OA，
∴OA＝AB，
在△AOF和△ABC中，
∴△AOF≌△ABC（AAS），
∴OF＝BC，
∵OE＝BC．
∴OE＝OF．
∴∠F＝∠OEA．
又∵∠ACB＝∠F，
∴∠OEA＝∠ACB．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是理解所给的新坐标的含义．
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