2023-2024学年北京市海淀区清华附中上地学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区清华附中上地学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．周长相等的两个三角形全等
C．全等三角形的对应边相等
D．等腰三角形的两个底角相等
2．（3分）若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
3．（3分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A．12B．7C．2D．14
4．（3分）点M（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（2，4）
5．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的一项是（ ）
A．AC与BD互相垂直平分B．AC垂直平分BD
C．BD平分一组对角D．AC平分一组对角
6．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
7．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P的坐标为（ ）
A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）
9．（3分）如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）
A．三个角的角平分线的交点
B．三角形三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条中线的交点
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜2时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3B．2＜n＜3C．3＜m＜5D．n＞3
二、填空题（每题3分）
11．（3分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 ．
12．（3分）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ．
13．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°．则∠BDC的度数是 ．
14．（3分）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中∠B＝40°，三角形ABC的内角∠BAC和∠BCA的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
16．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝ cm．
17．（3分）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示△ABC三条中线的交点是 ．
18．（3分）如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，则∠A＝ 度；
（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为 ．
三、解答题（共46分，第19，20，21题各5分，22，23，24，25题各6分，26题7分）
19．（5分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠BAE和∠DAE的度数．
20．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，∠E＝∠F，EC∥FB．求证：EA＝FD．
21．（5分）如图所示，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）作关于△ABC关于x轴的对称图形△DEF，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F），并写出点D坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．
22．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：∠BAE＝∠BCF；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．
23．（6分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），
求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A．
下面是小兵设计的尺规作图过程．
作法：
①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C；
③连接BC，则△ABC即为所求三角形．
根据小兵设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（ ），（填推理的依据）
∴∠A＝∠ ，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （ ），（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
24．（6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，
25．（6分）在学习完全等三角形及轴对称的知识后，小明经过思考得出猜想：“如果一个三角形一边上的中点到另两条边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形”．
老师说小明的猜想是正确的．请你帮助小明完成以上猜想的证明．
已知：
求证：
证明：
26．（7分）已知：在△ABC中，作∠ABC的平分线BM，在BM上找一点D，使得DA＝DC，过点D作DE⊥BC，交直线BC于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式写出AB，BC，BE之间的数量关系，并给出证明；
（3）如果把作∠ABC的平分线BM，改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM，其他条件不变，直接用等式写出AB，BC，BE之间的数量关系．
附加题（共20分）
27．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为 ．
28．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 ．
29．（3分）若am＝2，an＝3，则am+2n＝ ．
30．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．
31．（8分）已知∠BAM+∠MDC＝180°，AB＝AM，DC＝DM，连接BC，N为BC的中点．
（1）如图1，若A、M、D共线，求∠ANB+∠DNC的值；
（2）如图2，若A、M、D不共线时，上述结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2023-2024学年北京市海淀区清华附中上地学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分）
1．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．周长相等的两个三角形全等
C．全等三角形的对应边相等
D．等腰三角形的两个底角相等
【分析】利用三角形的稳定性、全等三角形的判定方法及性质、等腰三角形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形具有稳定性，正确，是真命题，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、等腰三角形的两个底角相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的稳定性、全等三角形的判定方法及性质、等腰三角形的性质等知识，难度不大．
2．（3分）若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可求解．
【解答】解：（n﹣2）•180°＝540°，故n＝5．
所以这个多边形为五边形．
故选：C．
【点评】本题难度简单，主要考查的是多边形内角和的相关知识．
3．（3分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A．12B．7C．2D．14
【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，CB＝CE，
∵CE＝5，AC＝7，
∴CB＝5，DC＝7，
∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
4．（3分）点M（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（2，4）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（4，2）关于x轴对称的坐标是（4，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的一项是（ ）
A．AC与BD互相垂直平分B．AC垂直平分BD
C．BD平分一组对角D．AC平分一组对角
【分析】由线段垂直平分线的判定可知BD是AC的垂直平分线，AC不一定是BD的垂直平分线，从而可判断A、B选项错误；通过证明△ADB≌△CDB（SSS）可得∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，可判定C选项正确；根据轴对称的性质可判定D选项错误．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵AB＝CB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AC垂直但不平分BD，
∵AD和AB不一定相等，CD和BC不一定相等，
∴AC不一定是BD的垂直平分线，故A，B选项错误；
在△ADB和△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，
∴对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故C选项正确；
直线BD是筝形的对称轴，AC不是，故D选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，对称性，解本题的关键是判断出△ADB≌△CDB（SSS）．
6．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．
7．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A．B．C．D．
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．
【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P的坐标为（ ）
A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，根据角平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵点A（0，8），点B（6，8），点P到A，B两点的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，
∵点P到∠xOy的两边距离相等，
∴点P的坐标为（3，3）
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、坐标与图形性质，掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）
A．三个角的角平分线的交点
B．三角形三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条中线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵体育中心到城镇中心A、B的距离相等，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
同理，点P在线段AC的垂直平分线上，
∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜2时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3B．2＜n＜3C．3＜m＜5D．n＞3
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H，根据等腰直角三角形的性质易证△AOB≌△BHC（AAS），根据全等三角形的性质可得BH＝OA＝3，进一步可得m的取值范围．
【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示，
则有∠BHC＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠CBH＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
在△OAB和△HBC中，
，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA，
∵点A坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∴BH＝3，
∴m＝OH＝OB+BH＝3+a，
∴0＜a＜2，
∴3＜m＜5，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
11．（3分）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为 6 ．
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360÷60＝6．
故这个多边形边数为6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°．
12．（3分）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 9 ．
【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可．
【解答】解：三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则5﹣5＜m＜5+5，即0＜m＜10，因此整数m的最大值是9．
故答案为：9．
【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
13．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°．则∠BDC的度数是 85° ．
【分析】先证明三角形全等，再利用外交定理求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠A＝∠A，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠B＝25°，
∴∠BDC＝∠A+∠C＝60°+25°＝85°，
故答案为：85°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等的判定是解题的关键．
14．（3分）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是 45° ．
【分析】根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，由勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状，进而可得答案．
【解答】解：根据勾股定理即可得到：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
∵BC2+AC2＝10+10＝20＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，利用勾股定理求得△ABC的三边的长是解决本题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中∠B＝40°，三角形ABC的内角∠BAC和∠BCA的平分线交于点E，则∠AEC＝ 110° ．
【分析】利用△ABC与△ACE的内角和，再结合可建立∠AEC与∠B之间的等式关系，即可求解．
【解答】解：∵三角形的内角∠BAC和∠ACB的平分线交于点E，
∴
∴
＝，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ACE）＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，从解题的过程中可以推导出：解题的关键是建立∠AEC与∠B之间的关系式．
16．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝ 12 cm．
【分析】首先连接AD，由DE垂直平分AC，可得AD＝CD，由△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，可求得∠B＝∠C＝∠DAC＝30°，继而求得AD与CD的长，则可求得BD的长，继而求得答案．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4（cm），
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∴BD＝2AD＝8（cm），
∴BC＝BD+CD＝12（cm）．
故答案为：12．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17．（3分）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示△ABC三条中线的交点是 点D ．
【分析】由三角形中线、重心的定义，即可得到答案．
【解答】解：由勾股定理得：BN＝CN＝＝，
∴AN是△ABC的中线，
∵AM＝MB，
∴CM是△ABC的中线，
∴表示△ABC三条中线的交点是点D．
故答案为：点D．
【点评】本题考查三角形的重心，三角形的中线，关键是掌握三角形中线，重心的定义．
18．（3分）如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，则∠A＝ 36 度；
（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为 18°或42° ．
【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
（2）设∠C＝x．①当AD＝AE时，利用三角形外角的性质得到2x+x＝27+27，解得x＝18°；②当AD＝DE时，利用三角形内角和定理得到27°+27°+2x+x＝180°，解得x＝42°．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，
可得2x＝，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°；
故答案为：36；
（2）设∠C＝x．
①当AD＝AE时，
∵2x+x＝27°+27°，
∴x＝18°．
②当AD＝DE时，
∵27°+27°+2x+x＝180°，
∴x＝42°．
所以∠C的度数是18°或42°．
故答案为：18°或42°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
三、解答题（共46分，第19，20，21题各5分，22，23，24，25题各6分，26题7分）
19．（5分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠BAE和∠DAE的度数．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，因AE是角平分线，有，在Rt△ABD中，可求得∠BAD的度数，再由∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE可求∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，
∵AE是角平分线，
∴．
∵AD是高，∠B＝42°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝48°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝48°﹣34°＝14°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，属于简单题，熟悉三角形的内角和是180°是解题关键．
20．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，∠E＝∠F，EC∥FB．求证：EA＝FD．
【分析】根据等式的性质得出AC＝DB，利用平行线的性质得出∠ECA＝∠FBD，再根据AAS证明△AEC≌△DFB，进而解答即可．
【解答】证明：∵AB＝DC（已知），
∴AC＝DB（等量加等量，和相等）．
∵EC∥FB（已知），
∴∠ECA＝∠FBD（两直线平行，内错角相等）．
在△AEC和△DFB中，
∴△AEC≌△DFB（AAS）．
∴EA＝FD（ 全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
21．（5分）如图所示，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）作关于△ABC关于x轴的对称图形△DEF，（其中A、B、C的对称点分别是D、E、F），并写出点D坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使△PAB的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）由AB是定值知△PAB的周长最小即PA+PB最小，据此连接BD，与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求，其中点D坐标为（﹣2，﹣4）．
（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（2，0）．
【点评】此题主要作图﹣轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质．
22．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：∠BAE＝∠BCF；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）由HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可解决问题；
（2）由等腰直角三角形的性质得∠BAC＝∠BCA＝45°，再求出∠BAE＝20°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠BCF；
（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝25°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝45°﹣25°＝20°，
由（1）可知，∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝20°，
∴∠ACF＝∠BCA+∠BCF＝45°+20°＝65°，
即∠ACF的度数为65°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（6分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），
求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A．
下面是小兵设计的尺规作图过程．
作法：
①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C；
③连接BC，则△ABC即为所求三角形．
根据小兵设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（ 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ），（填推理的依据）
∴∠A＝∠ ABD ，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （ 等边对等角 ），（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用线段的垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （等边对等角），
∴∠ACB＝2∠A．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，∠ABD，等边对等角．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
24．（6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，
【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；
（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F＝∠FDA，即可推出结论．
25．（6分）在学习完全等三角形及轴对称的知识后，小明经过思考得出猜想：“如果一个三角形一边上的中点到另两条边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形”．
老师说小明的猜想是正确的．请你帮助小明完成以上猜想的证明．
已知：
求证：
证明：
【分析】根据题意写出已知，求证，然后根据题意，作出合适的辅助线，再根据HL可以证明Rt△DEB≌Rt△DFC，从而可以得到∠B＝∠C，再根据等角对等边得到AB＝AC，从而可以判段△ABC的形状．
【解答】已知：在△ABC中，点D为BC的中点，点D到边AB和AC的距离相等，
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
则∠DEB＝∠DFC，
由题意可得，BD＝CD，DE＝DE，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出已知、求证和证明过程．
26．（7分）已知：在△ABC中，作∠ABC的平分线BM，在BM上找一点D，使得DA＝DC，过点D作DE⊥BC，交直线BC于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式写出AB，BC，BE之间的数量关系，并给出证明；
（3）如果把作∠ABC的平分线BM，改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM，其他条件不变，直接用等式写出AB，BC，BE之间的数量关系．
【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，证明Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），得出AF＝CE，证明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），由全等三角形的性质得出BF＝BE，则可得出结论；
（3）过点D作DF⊥AB于点F，证明Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），由全等三角形的性质得出AF＝CE，证明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），由全等三角形的性质得出BF＝BE，则可得出结论．
【解答】解：（1）依题意补全图形如下：
（2）AB＝2BE﹣BC．
证明：过点D作DF⊥AB于点F，
∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AD＝CD，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），
∴AF＝CE，
∵DE＝DF，BD＝BD，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∴AB＝BF+AF＝BE+CE＝BE+BE﹣BC＝2BE﹣BC．
（3）AB＝BC+2BE．
证明：过点D作DF⊥AB于点F，
∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AD＝CD，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），
∴AF＝CE，
∵DE＝DF，BD＝BD，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∴AB＝BF+AF＝BE+CE＝BE+BE+BC＝2BE+BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
附加题（共20分）
27．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为 80° ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A＝40°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
28．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 50°或65° ．
【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案为：50°或65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．
29．（3分）若am＝2，an＝3，则am+2n＝ 18 ．
【分析】指数相加可以化为同底数幂的乘法，故am+2n＝am•a2n，指数相乘化为幂的乘方a2n＝（an）2，再根据已知条件可得到答案．
【解答】解：am+2n＝am•a2n＝am•（an）2＝2×9＝18．
故答案为：18．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，关键是熟练掌握相关运算法则．
30．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60° ．
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；
【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
31．（8分）已知∠BAM+∠MDC＝180°，AB＝AM，DC＝DM，连接BC，N为BC的中点．
（1）如图1，若A、M、D共线，求∠ANB+∠DNC的值；
（2）如图2，若A、M、D不共线时，上述结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）延长AN与DC，相交于点E．由∠BAM+∠MDC＝180°可证AB∥DE，于是可证△ABN≌△ECN，则AN＝EN，AB＝CE，再结合已知条件可证△ADE是等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”可证DN⊥AE，于是得证；
（2）延长DN至点I，使IN＝DN，连接AI、BI、AD．证得△BN≌△CND，于是IB＝DC，∠IBN＝∠DCN，再利用五边形ABCDM的内角和并结合已知条件可证∠M＝360°﹣（∠ABN+∠DCN）及周角定义可证∠ABI＝360°﹣（∠ABN+∠DCN），因此∠M＝∠ABI，于是可证△AMD≌△ABI，则AD＝AI，结合IN＝DN可证，∠AND＝90°，于是得证．
【解答】（1）延长AN与DC，相交于点E．如图1，

∴AB∥DE，
∴∠BAN＝∠E，∠ABN＝∠ECN，
∵N为BC的中点，
∴BN＝CN，
∴△ABN≌△ECN（AAS），
∴AN＝EN，AB＝CE，
∵AB＝AM，DC＝DM，
∴AD＝AM+DM＝AB+DC＝CE+DC＝DE，即AD＝DE，
又∵AN＝EN，
∴DN⊥AE，
∴∠AND＝90°，
∴∠ANB+∠DNC＝180°﹣∠AND＝90°；
（2）上述结论仍然成立．理由如下：
延长DN至点I，使IN＝DN，连接AI、BI、AD，如图2，
在△BNI和△CND中，
，
∴△BNI≌△CND（SAS），
∴IB＝DC，∠IBN＝∠DCN，
∵∠BAM+∠MDC＝180°，∠M+（∠BAM+∠MDC）+∠ABN+∠DCN＝540°，
∴∠M＝360°﹣（∠ABN+∠DCN），
∵∠ABI＝360°﹣（∠ABN+∠IBN）＝360°﹣（∠ABN+∠DCN），
∴∠M＝∠ABI，
又∵AM＝AB，DM＝DC＝IB，
∴△AMD≌△ABI（SAS），
∴AD＝AI，
又∵IN＝DN，
∴AN⊥DI，
∴∠AND＝90°，
∴∠ANB+∠DNC＝180°﹣90°＝90°．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、多边形内角和等知识点，解答本题的关键是添加合适的辅助线，构造全等三角形．
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