2023-2024学年北京市东城区文汇中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市东城区文汇中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝1
2．（2分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+1，则平移方式为（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位
4．（2分）用配方法解方程x2+6x+2＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝9B．（x﹣3）2＝9C．（x+3）2＝6D．（x+3）2＝7
5．（2分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1
6．（2分）平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（ ）
A．x1＞x2＞0B．x2＞x1＞0C．x1＜x2＜0D．x2＜x1＜0
7．（2分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为（ ）
A．2.5B．5C．7.5D．10
8．（2分）太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：米）与时刻t（单位：时）的关系满足函数关系l＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（ ）
A．12.75B．13C．13.33D．13.5
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣x2上，则y1 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
11．（2分）某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足y＝﹣x2+6x﹣7，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 元．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与正比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，a），则点B的坐标为 ．
13．（2分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为 ．
14．（2分）如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 ．
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表．则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
16．（2分）如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为 ．
三、解答题（本题共68分，17题6分，18题4分，19-22题每题5分，23-26题每题6分，27、28题每题7分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣8x＝0；
（2）x2+5x+4＝0．
18．（4分）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ ．
∴BA OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 （填写推理依据）．
19．（5分）求抛物线y＝x2﹣2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．
20．（5分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
21．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．
22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED＝2，∠A＝30°，求⊙O的半径．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．
①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
25．（6分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 ，点P的坐标是 ；
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，两个不同点（3，m），（t+1，n）在抛物线上．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若n＜m＜c，求t的取值范围．
27．（7分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）比较AF与CD的大小，并证明；
（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给定线段AB和点P，若满足PA＜AB＜PB或者PB＜AB＜PA，则称点P为线段AB的偏序点．
（1）已知点A（2，0），
①在点B1（﹣1，0），，B3（2，3），B4（3，﹣1）中，是线段OA的偏序点的有 ；
②若直线l：y＝x+b上存在线段OA的偏序点，求b的取值的范围．
（2）已知点M（﹣1，0），，⊙C是以1为半径的圆，并且圆心C在x轴上运动，若线段MN上的点均为⊙C的某条直径的偏序点，直接写出点C的横坐标c的取值的范围．
2023-2024学年北京市东城区文汇中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分）
1．（2分）抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝1
【分析】由抛物线解析式可直接求得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝0，即y轴，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
2．（2分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2分）将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+1，则平移方式为（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位
【分析】直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案．
【解答】解：抛物线y＝2x2平移得到抛物线y＝2x2+1的步骤是：向上平移1个单位．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
4．（2分）用配方法解方程x2+6x+2＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝9B．（x﹣3）2＝9C．（x+3）2＝6D．（x+3）2＝7
【分析】将常数项移至方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：x2+6x＝﹣2，
x2+6x+9＝﹣2+9，
（x+3）2＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．（2分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1
【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．
【解答】解：根据题意，得
a﹣1+a2﹣a＝0，
解得，a＝1或﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了方程解的定义，已知x＝1是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程．
6．（2分）平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（ ）
A．x1＞x2＞0B．x2＞x1＞0C．x1＜x2＜0D．x2＜x1＜0
【分析】解法一：结合题意根据反比例函数的性质可得，反比例函数的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，再结合点A，B的坐标即可解答．
解法二：将点A，B的坐标代入反比例函数解析式中，解得，，根据同分子分式的性质即可比较x1，x2的大小．
【解答】解：解法一：∵反比例函数，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A（x1，2）和B（x2，4）都在第一象限，
∵4＞2＞0，
∴x1＞x2＞0．
故选：A．
解法二：∵点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，
∴，，
∴，，
∵k＞0，
∴x1＞x2＞0．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比函数的性质或反比例函数图象上点的坐标特征解决问题．
7．（2分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为（ ）
A．2.5B．5C．7.5D．10
【分析】连接OC，得到∠AOC＝60°，推出△AOC是等边三角形，从而求出圆的半径．
【解答】解：连接OC，
∵∠D＝∠AOC，∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5，
∴⊙O的半径为5．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
8．（2分）太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：米）与时刻t（单位：时）的关系满足函数关系l＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（ ）
A．12.75B．13C．13.33D．13.5
【分析】利用待定系数法求二次函数的解析式，求顶点坐标的横坐标即可．
【解答】解：把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l＝at2+bt+c中得：
，
解得：，
∴l＝0.15t2﹣4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t＝﹣＝≈13.33时，该地影子最短；
故选：C．
【点评】本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，具体思路为：把三个点的坐标代入解析式中，列三元一次方程组，解出方程组的解，写出解析式，最后求最值．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣x2上，则y1 ＜ y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向下，比较即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2，
∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向下，
∵|﹣3﹣0|＞|2﹣0|，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 x＝1或x＝3 ．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
11．（2分）某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足y＝﹣x2+6x﹣7，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 2 元．
【分析】根据二次函数的性质可得最大值．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝＝﹣（x﹣3）2+2．
∴当x＝3时，y最大值是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是关键．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与正比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，a），则点B的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】把A（1，a）代，可得a＝2，可得A（1，2），再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标．
【解答】解：把A（1，a）代，可得a＝2，
∴A（1，2），
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
13．（2分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为 （0，1） ．
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），
∴∠AOA′＝90°，
∴∠BOB′＝∠AOA′＝90°，
∴B′（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；记住关于原点对称的点的坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
14．（2分）如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 120° ．
【分析】先利用圆周角定理以及周角是360°可得∠AOC+2∠ABC＝360°，再结合已知可得3∠AOC＝360°，从而可得∠AOC＝∠ABC＝120°，然后利用四边形内角和是360°进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠AOC+∠1＝360°，∠1＝2∠ABC，
∴∠AOC+2∠ABC＝360°，
∵∠AOC＝∠ABC，
∴3∠AOC＝360°，
∴∠AOC＝∠ABC＝120°，
∴∠A+∠C＝360°﹣∠AOC﹣∠ABC＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表．则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ﹣4＜y≤4 ．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，
∴抛物线开口向下，当x＝﹣3时，取最小值﹣4，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
故答案为，﹣4＜y≤4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会看懂表格信息，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
16．（2分）如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为 2+1 ．
【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF＝CO，连接DF，从而可证△OCE≌△FCD，进而得到OE＝FD，将求线段OE的最大值转化为求线段FD的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．
【解答】解：如图，过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF＝CO，连接DF，
∴∠DCE＝∠OCF＝90°，
∴∠OCE＝∠FCD，
又∵CD＝CE，
∴△OCE≌△FCD（SAS），
∴OE＝FD，
连接FO，并延长FO交圆于点H，FH即为FD最大值，
∵AB＝2，OB＝BC，
∴OC＝CF＝2，
∴OF＝2，
∴FH＝OF+OH＝2+1，
∴OE最大值＝DF最大值＝FH＝2+1，
故答案为：2+1．
【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定，点与圆的位置关系，解题的关键是构造△OCE的全等三角形，将OE转化为其他线段进而求最大值．
三、解答题（本题共68分，17题6分，18题4分，19-22题每题5分，23-26题每题6分，27、28题每题7分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣8x＝0；
（2）x2+5x+4＝0．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣8＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法得到（x+1）（x+4）＝0，求出x的值即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x＝0，
x（x﹣8）＝0，
x＝0或x﹣8＝0，
所以x1＝0，x2＝8；
（2）x2+5x+4＝0，
（x+1）（x+4）＝0，
x+1＝0或x+4＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．（4分）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法：①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线．
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝ BD ．
∴BA ⊥ OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线 经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 （填写推理依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）连接BC，BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明OD⊥AB即可．
【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求．
（2）连接BC，BD．
由作图可知，
AC＝AD，BC＝BD．
∴BA⊥OA．
∵点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线），
故答案为：BD，⊥，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（5分）求抛物线y＝x2﹣2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其对称轴及其顶点坐标，再利用描点法可画出其函数图象．
【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为x＝1，顶点为（1，﹣1）．
其函数图象如图所示．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
20．（5分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA＝BD，从而得到∠A＝∠ADB，根据∠A＝∠BDE得到∠ADB＝∠BDE，从而证得结论．
【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE
∴BA＝BD．
∴∠A＝∠ADB．
∵∠A＝∠BDE，
∴∠ADB＝∠BDE．
∴DB平分∠ADE．
【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．
21．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．
【分析】设⊙O的半径是r，由勾股定理，垂径定理求出圆的半径，由三角形的面积公式即可计算．
【解答】解：设⊙O的半径是r，
∵点C是AB的中点，OC过圆心O，
∴OC⊥AB，
∵AB＝4，CD＝1，
∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，
∵OB2＝OC2+BC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴OD＝，
∴△BOD的面积＝OD•BC＝××2＝．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是应用勾股定理求出圆的半径长．
22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．
23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的半圆交AB于点D，O是该半圆所在圆的圆心，E为线段AC上一点，且ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若ED＝2，∠A＝30°，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到ED＝EC，求得ED＝EC＝EA＝．根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵ED＝EA，
∴∠A＝∠ADE，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠BDO，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°．
∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∴∠ODE＝90，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB＝90°，BC为直径，
∴AC是⊙O的切线．
∵DE是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∵ED＝，
∴ED＝EC＝EA＝．
∴AC＝，
∵Rt△ABC中∠A＝30°，
∴BC＝4．
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．
①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当n＝1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2，
∴m＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
将A（3，1）代入y＝，
∴k＝3×1＝3，
（2）①PM＝PN，证明如下：
当n＝1时，P（1，1），
令y＝1，代入y＝x﹣2，
x﹣2＝1，
∴x＝3，
∴M（3，1），
∴PM＝2，
令x＝1代入y＝，
∴y＝3，
∴N（1，3），
∴PN＝2
∴PM＝PN，
②P（n，n），n＞0
点P在直线y＝x上，
∴M（n+2，n），
∴PM＝2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∵PN＝|﹣n|，
||≥2
∴0＜n≤1或n≥3
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
25．（6分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 （0，70） ，点P的坐标是 （40，30） ；
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
【分析】（1）根据题意可知直接求出A，P坐标；
（2）把A，P坐标代入y＝﹣+bx+c，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），
故答案为：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；
（3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵OC＝60m，
∴C（0，60），
设线段BC的关系式为y＝kx+m，则，
解得：，
所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，
设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60），
则MN＝﹣a2+a+70+a﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
∵﹣＜0，
∴当a＝18时，MN有最大值，最大值为30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，两个不同点（3，m），（t+1，n）在抛物线上．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若n＜m＜c，求t的取值范围．
【分析】（1）由m＝n得，点（3，m）与（t+1，n）关于对称轴x＝t对称，由中点坐标公式求出t的值即可．
（2）分t＜0，t＝0，t＞0结合图形进行讨论，只有t＞0时符合题意，当t＞0时，根据点（3，m）到对称轴x＝t的距离要大于点（t+1，n）到对称轴x＝t的距离，得到|3﹣t|＞1，由m＜c，得到3＜2t，从而得到t的范围．
【解答】解：（1）∵m＝n，
∴点（3，m）与（t+1，n）关于对称轴x＝t对称，
∴＝t，
∴t＝4．
（2）①如图1，当t＜0时，当x＝3时，m＞c，不符合题意．
②当t＝0时，c是最小值，不符合题意．
③如图2，当t＞0时，
∵m＜c，
∴3＜2t，
∴t＞，
∵m＞n，
∴点（3，m）到对称轴x＝t的距离要大于点（t+1，n）到对称轴x＝t的距离，
∴|3﹣t|＞1，
当t＞3时，t﹣3＞1，
∴t＞4，
当t＜3时，3﹣t＞1，
∴t＜2，
综上得，t的取值范围为：＜t＜2或t＞4．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题关键．
27．（7分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）比较AF与CD的大小，并证明；
（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）证△EFD≌△DCB（AAS），得DF＝BC，再证AC＝DF，即可得出结论；
（3）连接FG、DG，证△BDE是等腰直角三角形，得∠DEB＝∠DBE＝45°，DG＝EG，DG⊥BE，∠BDG＝45°，再证△EFG≌△DCG（SAS），得FG＝CG，∠EGF＝∠DGC，然后证△CFG是等腰直角三角形，得CF＝CG，即可解决问题．
【解答】解：（1）依题意补全图形如图1；
（2）AF＝CD，证明如下：
∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF+∠EDF＝90°，
由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，
即∠BDC+∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝∠BDC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
在△EFD和△DCB中，
，
∴△EFD≌△DCB（AAS），
∴DF＝BC，
∵AC＝BC，
∴AC＝DF，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
即AF＝CD；
（3）CD+CG＝BC，证明如下：
如图2，连接FG、DG，
由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DEB＝∠DBE＝45°，
∵G为BE的中点，
∴DG＝BE＝EG，DG⊥BE，∠BDG＝∠BDE＝45°，
∴∠DGE＝90°，∠DEB＝∠BDG，
由（2）可知，△EFD≌△DCB，
∴EF＝DC，∠DEF＝∠BDC，
∴∠DEF﹣∠DEB＝∠BDC﹣∠BDG，
即∠FEG＝∠CDG，
在△EFG和△DCG中，
，
∴△EFG≌△DCG（SAS），
∴FG＝CG，∠EGF＝∠DGC，
∴∠EGF+∠CGE＝∠DGC+∠CGE＝∠DGE＝90°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴CF＝CG，
∵CD+CF＝DF，DF＝BC，
∴CD+CG＝BC．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转变换的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给定线段AB和点P，若满足PA＜AB＜PB或者PB＜AB＜PA，则称点P为线段AB的偏序点．
（1）已知点A（2，0），
①在点B1（﹣1，0），，B3（2，3），B4（3，﹣1）中，是线段OA的偏序点的有 B1，B4 ；
②若直线l：y＝x+b上存在线段OA的偏序点，求b的取值的范围．
（2）已知点M（﹣1，0），，⊙C是以1为半径的圆，并且圆心C在x轴上运动，若线段MN上的点均为⊙C的某条直径的偏序点，直接写出点C的横坐标c的取值的范围．
【分析】（1）①根据题中给出的偏序点的定义，一一进行判断即可；
②分两种情况进行讨论：当直线在点O左侧时；当直线在点A右侧时；然后即可求解；
（2）分两种情况讨论：一是当⊙C在线段MN的左侧时，点M、点N到圆上的最短距离都要小于2；二是当⊙C在线段MN的右侧时，点M、点N到圆上的最短距离也都要小于2；分别求出满足的条件后再综合即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵B1O＝1，OA＝2，B1A＝3，
∴B1O＜OA＜B1A，
∴B1是线段OA的偏序点；
∵，
∴B2不是线段OA的偏序点；
∵，
∴B3不是线段OA的偏序点；
∵，
∴B4是线段OA的偏序点；
故答案为：B1，B4；
②∵OA＝2，若直线l：y＝x+b上存在线段OA的偏序点，如图1所示．
当直线在点O左侧时，点O到直线l：y＝x+b的距离小于2，即OP＜2，
∴在等腰Rt△OPR中，，
∴；
当直线在点A右侧时，点A到直线l：y＝x+b的距离小于2，即AQ＜2，
∴在等腰Rt△OTS中，，
∴；
故b的取值的范围是：；
（2）如图2，线段MN上的点均为⊙C的某条直径的偏序点，
当⊙C在线段MN的左侧时，
点M到圆上的最短距离要小于2，
此时OC＜4，
则c＞﹣4，
同时，点N到圆上的最短距离也要小于2，
此时CN＜3，
则，
∴，
∴当⊙C在线段MN的左侧时，；
当⊙C在线段MN的右侧时，
点M到圆上的最短距离要小于2，
此时OC＜2，
则c＜2，
同时，点N到圆上的最短距离也要小于2，
此时CN＜3，
则，
∴，
∴当⊙C在线段MN的右侧时，c＜2；
∵偏序点应该会形成圆环型的区域，那么答案应该去掉半径为1的小圆，找到相切状态，
∴﹣＜c＜﹣2或﹣1＜c＜2．
故线段MN上的点均为⊙C的某条直径的偏序点，点C的横坐标c的取值的范围是﹣＜c＜﹣2或﹣1＜c＜2．
【点评】此题是一道新定义题，主要考查了对新定义“偏序点”的理解、两点距离公式、勾股定理等知识，对“偏序点”的正确理解是难点，熟练运用两点距离公式、运用数形结合与分类讨论的思想方法是解此题的关键．
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﹣3
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