2023-2024学年北京市东城区德胜中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市东城区德胜中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）如图是我校学生设计的数学“表扬卡”图案，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的对称轴是直线（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝4D．x＝﹣4
3．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4
4．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0B．c＞0C．D．a+b+c＜0
5．（2分）等边三角形绕其中心旋转后能与自身重合，则旋转的最小角度为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
6．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
7．（2分）如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x米，那么可列方程（ ）
A．x（10﹣x）＝15B．
C．D．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．若将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8，则n的值为（ ）
A．6B．12C．24D．36
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）点（4，﹣5）关于原点的对称点的坐标是 ．
10．（2分）将抛物线y＝5x2向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是 ．
11．（2分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+6＝0的一个根是﹣1，则m的值是 ．
12．（2分）请写出一个开口向下，且经过点（2，﹣4）的抛物线的表达式为 ．
13．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'C'D'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为 ．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
15．（2分）已知点A（5，y1）和B（n，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上．若y1＞y2，则符合条件的整数n的个数为 ．
16．（2分）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值：
点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该函数图象上．若当x1＜x2＜3时，﹣1＜y1＜y2，给出下列四个结论：①a＜0；②x1+x2＜4；③25a﹣5b+c+1＜0；④若当﹣3＜x＜x2时，存在直线y＝k与抛物线有两个交点，则1＜x2＜2．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0
（2）（x﹣1）2＝（2x+3）2
18．（4分）若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式kx+b＞x2+px+q的解集．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，AE交BC于点F．若AD＝3，求AF的长．
21．（5分）已知抛物线y＝（x﹣3）（x+1）．
（1）抛物线与x轴的交点坐标为 ；
（2）该抛物线的顶点坐标为 ；
（3）画出它的图象；
（4）若，则函数值y的取值范围是 ．
22．（5分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
23．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
24．（6分）如图，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，连接BD，CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）连接DE，若∠ADB＝115°，求∠CED的度数．
25．（5分）如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究．
下面是探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表：
在d和h这两个变量中， 是自变量， 是这个变量的函数；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 米．（精确到0.1米）
26．（6分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）的图象上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若M（2，﹣1），N（8，﹣1），则t＝ ；
（2）当x1＝﹣2，2＜x2＜3时，都有y1＞y2＞2，求t的取值范围．
27．（7分）如图，点E在等边三角形ABC的边AB的延长线上．过点C作CD⊥AB于点D，将线段DE绕点E顺时针旋转120°得到线段EF．作点B关于点E的对称点G，连接CF，FG，CG．
（1）①补全图形；
②证明：AC∥EF；
（2）∠CFG的度数是 °，请说明理由．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，点B和直线l，点A关于l的对称点为点A′，点B是直线l上一点．将线段A′B绕点A′逆时针旋转90°得到A′C，如果线段A′C与直线l有交点，称点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”．
（1）若点A的坐标为（1，2），在点C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）中，是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是 ；
（2）若点B的坐标是（0，﹣2），点A、C都在直线y＝x+2上，点C是点A关于y轴和点B的“旋交点”，求点A的坐标；
（3）点A在以（0，t）为对角线交点，边长为2的正方形M（正方形的边与坐标轴平行）上，直线l：y＝x﹣1，若正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，直接写出t的取值范围．
2023-2024学年北京市东城区德胜中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）如图是我校学生设计的数学“表扬卡”图案，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、该图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的对称轴是直线（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝4D．x＝﹣4
【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2﹣4，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数三种表达式．
3．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0
∴x2+2x＝3
∴x2+2x+1＝1+3
∴（x+1）2＝4
故选：D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0B．c＞0C．D．a+b+c＜0
【分析】根据函数图象可知a＜0，c＞0，，将x＝1代入y＝ax2+bx+c即可解答．
【解答】解：根据函数图象可知a＜0，c＞0，，
将x＝1代入y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c，
由图象知，此时a+b+c＞0．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键．
5．（2分）等边三角形绕其中心旋转后能与自身重合，则旋转的最小角度为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】确定图形绕自己的中心最少旋转多少度可与自身重合，就是观察图形，可以被从中心发出的射线平分成几部分，则旋转的最小角度即可求解．
【解答】解：等边三角形可以被从中心发出的射线平分成3部分，因而至少要旋转360÷3＝120°．
故选：D．
【点评】本题考查旋转对称图形的知识，等边三角形是旋转对称图形，本题中确定旋转的角度的方法是需要掌握的内容．
6．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【分析】根据二次函数的性质可以判断y1、y2、y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2，
∴该函数开口向下，对称轴为直线x＝2，
∵该函数图象上有A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）三点，|2﹣1|＜|4﹣2|＜|2+1|，
∴y2＞y3＞y1，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（2分）如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x米，那么可列方程（ ）
A．x（10﹣x）＝15B．
C．D．
【分析】平行于围墙的一边为x米，则垂直于围墙的一边为米，再根据矩形的面积公式列方程即可．
【解答】解：根据题意列方程得：．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．若将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8，则n的值为（ ）
A．6B．12C．24D．36
【分析】设2x2+bx+c＝0两根为x1、x2，根据AB＝4得到b2﹣8c＝64，由题意得出当y＝n时，抛物线上两点之间距离为8，得b2﹣8c+8n＝256，解方程求出即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2+bx+c，当y＝0时，
设2x2+bx+c＝0两根为x1、x2，
则，
∵AB＝4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴，
∴，即b2﹣8c＝64，
∵将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8，
即当y＝n时，抛物线上两点之间距离为8，
设2x2+bx+c＝n两根为x3、x4，
则，
∴|x3﹣x4|＝8，
∴，
∴，即b2﹣8c+8n＝256，
∵b2﹣8c＝64，
∴64+8n＝256，
解得：n＝24．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴交点问题及抛物线的平移、一元二次方程根于系数的关系，熟练掌握相关性质是解题关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）点（4，﹣5）关于原点的对称点的坐标是 （﹣4，5） ．
【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是（﹣4，5）．
故答案为：（﹣4，5）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．
10．（2分）将抛物线y＝5x2向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是 y＝5（x+2）2 ．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝5x2的顶点坐标为（0，0），
向左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），
所以，平移后的抛物线的解析式为y＝5（x+2）2．
故答案为：y＝5（x+2）2
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
11．（2分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+6＝0的一个根是﹣1，则m的值是 ﹣8 ．
【分析】将x＝﹣1代入mx2﹣2x+6＝0即可求解．
【解答】解：将x＝﹣1代入mx2﹣2x+6＝0得m+2+6＝0，
∴m＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．
12．（2分）请写出一个开口向下，且经过点（2，﹣4）的抛物线的表达式为 y＝﹣（x﹣2）2﹣4（答案不唯一） ．
【分析】可以把点（2，﹣4）作为抛物线的顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，然后a取一个负数即可．
【解答】解：把点（2，﹣4）设顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
∵抛物线开口向下，
∴a可以取﹣1，
∴满足条件的抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣2）2﹣4，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
13．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'C'D'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为 1 ．
【分析】根据DB′＝AD﹣AB′，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
由旋转的性质可知，AB＝AB′＝3，
∴DB′＝AD﹣AB′＝4﹣3＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ﹣1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22+4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22+4c＝0，
解得c＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．（2分）已知点A（5，y1）和B（n，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上．若y1＞y2，则符合条件的整数n的个数为 7 ．
【分析】由解析式求得开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质即可得出a＞3或a＜1，进而可得答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴点A（5，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣3，y1），当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（5，y1），B（n，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上．且y1＞y2，
∴﹣3＜n＜5，则n＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4
则符合条件的整数n的个数为7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
16．（2分）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值：
点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该函数图象上．若当x1＜x2＜3时，﹣1＜y1＜y2，给出下列四个结论：①a＜0；②x1+x2＜4；③25a﹣5b+c+1＜0；④若当﹣3＜x＜x2时，存在直线y＝k与抛物线有两个交点，则1＜x2＜2．上述结论中，所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】由表格数据可知，该二次函数对称轴为：，当a＞0时，由﹣1＜y1＜y2，得x1＜x2＜1，则y1＞y2，可判断①，由1＜x1＜x2＜3且|1﹣x1|＞|x2﹣1|，可判断②；将x＝﹣5代入y＝ax2+bx+c得y＝25a﹣5b+c，得25a﹣5b+c＜﹣1，可判断③；当﹣3＜x＜x2时，存在直线y＝k与抛物线有两个交点，则2＜x2＜3，可判断④．
【解答】解：由表格数据可知，该二次函数对称轴为：，
若a＞0时，如图，
∵﹣1＜y1＜y2，
∴x1＜x2＜1，则y1＞y2与条件矛盾，
∴a＜0，故①正确，
如图：
∵﹣1＜y1＜y2，
∴1＜x1＜x2＜3且|1﹣x1|＞|x2﹣1|，
∴x1+x2＜4故②正确；
将x＝﹣5代入y＝ax2+bx+c得y＝25a﹣5b+c，
此时25a﹣5b+c＜﹣1，
∴25a﹣5b+c+1＜0，故③正确；
当﹣3＜x＜x2时，存在直线y＝k与抛物线有两个交点，则2＜x2＜3，故④错误．
综上①②③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，根据题意画出图象，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0
（2）（x﹣1）2＝（2x+3）2
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用直接开平方法求解可得．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
则x＝＝2±；
（2）∵（x﹣1）2＝（2x+3）2，
∴x﹣1＝2x+3或x﹣1＝﹣（2x+3），
解得x＝﹣4或x＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（4分）若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
【分析】将x＝a代入x2﹣3x﹣9＝0得a2﹣3a﹣9＝0，由（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）＝a2﹣3a﹣13即可求解．
【解答】解：将x＝a代入x2﹣3x﹣9＝0得a2﹣3a﹣9＝0，
∴a2﹣3a＝9，
（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）
＝a2﹣16﹣3a+3
＝a2﹣3a﹣13
＝9﹣13
＝﹣4．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，根据所求代数式进行变换求解是解题的关键．
19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式kx+b＞x2+px+q的解集．
【分析】（1）把A、B的坐标代入y＝x2+px+q，根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象上方的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）由图象可知，不等式kx+b＞x2+px+q的解集为0＜x＜2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，AE交BC于点F．若AD＝3，求AF的长．
【分析】由题意得AC＝AD＝3，可推出∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意得：△ABC≌△AED，
∴AC＝AD＝3，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，
∴∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝AF，
∵AF2＝CF2+AC2＝，
∴AF2＝，
∴AF＝AC＝2．
【点评】本题考查旋转的性质及勾股定理的应用．注意计算的准确性．
21．（5分）已知抛物线y＝（x﹣3）（x+1）．
（1）抛物线与x轴的交点坐标为 （3，0），（﹣1，0） ；
（2）该抛物线的顶点坐标为 （1，﹣4） ；
（3）画出它的图象；
（4）若，则函数值y的取值范围是 ﹣4＜y＜0 ．
【分析】（1）令y＝（x﹣3）（x+1）＝0即可求解；
（2）该二次函数的对称轴为：，将x＝1代入y＝（x﹣3）（x+1）即可求解；
（3）根据（1）（2）所求点画函数图象即可；
（4）由可知，该函数在x＝1处取得最小值，该函数在x＝﹣1处取得最大值，进而可求解；
【解答】解：（1）令y＝（x﹣3）（x+1）＝0，
x1＝3，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0），
故答案为：（3，0），（﹣1，0）．
（2）该二次函数的对称轴为直线，
将x＝1代入y＝（x﹣3）（x+1）得y＝（1﹣3）（1+1）＝﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
故答案为：（1，﹣4）．
（3）y＝（x﹣3）（x+1）图象如下图：
（4）由可知，该函数在x＝1处取得最小值y＝﹣4，
∵，
∴该函数在x＝﹣1处取得最大值，即y＝（﹣1﹣3）（﹣1+1）＝0，
∴若，则函数值y的取值范围是﹣4＜y＜0．
故答案为：﹣4＜y＜0．
【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键．
22．（5分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 （2，1） ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们的交点为对称中心．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）对称中心的坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
23．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
【分析】（1）求出方程的判别式Δ的值，利用配方法得出Δ≥0，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4，
∵Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0，得x1＝a﹣1，x2＝a+1，
∵方程的两个根均为负数，
∴
解得a＜﹣1．
∴a的取值范围为a＜﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
24．（6分）如图，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，连接BD，CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）连接DE，若∠ADB＝115°，求∠CED的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，根据旋转的性质得AD＝AE，∠DAE＝60°，利用SAS理解求证结论．
（2）由（1）得△ABD≌△ACE，进而可得∠AEC＝∠ADB＝115°，根据旋转的性质可得 AD＝AE，∠DAE＝60°，进而可得△ADE是等边三角形，则可得∠AED＝60°，进而可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝60°，∠EAC+∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）解：由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB＝115°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝115°﹣60°＝55°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
25．（5分）如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究．
下面是探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表：
在d和h这两个变量中， d 是自变量， h 是这个变量的函数；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 0.88 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 0.7 米．（精确到0.1米）
【分析】（1）根据函数的定义即可解答；
（2）描点，连线，画出图象即可；
（3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h＝2解方程求得d的值即可得答案．
【解答】解：（1）根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；
故答案为：d，h；
（2）描点，连线，画出图象如图：
（3）①观察图象结合表知，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；
故答案为：0.88；
②设根据图象，设二次函数的解析式为h＝ad2+bd+0.88，
把（1，2.38），（3，2.38）代入得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为h＝﹣0.5d2+2d+0.88，
令h＝2得：﹣0.5d2+2d+0.88＝2，
解得d≈3.3（舍去）或d≈0.7，
∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
26．（6分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）的图象上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若M（2，﹣1），N（8，﹣1），则t＝ 5 ；
（2）当x1＝﹣2，2＜x2＜3时，都有y1＞y2＞2，求t的取值范围．
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）根据x1＜t＜x2，x1＜x2＜t，t＜x1＜x2，进行讨论求解即．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的对称轴为：直线，
∴t＝5，
故答案为：5．
（2）①当x1＜t＜x2时，t﹣x1＞x2﹣t，
∵y1＞y2＞2，
∴x2＞2t，，
∵x1＝﹣2，2＜x2＜3
∴＜t＜1．
②当x1＜x2＜t时，则y1＞2＞y2与条件矛盾，
③当t＜x1＜x2时，y1＜y2与条件矛盾，
综上，当x1＝﹣2，2＜x2＜3时，都有y1＞y2＞2，求t的取值范围＜t＜1．
【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并正确理解题意是解题的关键．
27．（7分）如图，点E在等边三角形ABC的边AB的延长线上．过点C作CD⊥AB于点D，将线段DE绕点E顺时针旋转120°得到线段EF．作点B关于点E的对称点G，连接CF，FG，CG．
（1）①补全图形；
②证明：AC∥EF；
（2）∠CFG的度数是 90 °，请说明理由．
【分析】（1）①根据题目描述补全图形即可，②根据旋转的性质即可证明；
（2）取GH＝BD，由BE＝GE，可得∠DFH＝90°，∠CDF＝60°，进而得∠CDF＝∠EHF，由，，证△CDF∽△GHF即可解答．
【解答】解：（1）①补全图形如下：
②∵△ABC等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠A+∠AEF＝180°，
∴AC∥EF．
（2）如图，截取GH＝BD，
∵BE＝GE，
∵BD+BE＝EG+GH，
∵线段DE绕点E顺时针旋转120°得到线段EF，
∴DE＝EF，
∴DE＝EH＝EF，
∵∠HEF＝60°，
∴∠EHF＝60°，
∵DE＝EF，
∴∠FDH＝30°，
∴∠DFH＝90°，∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠EHF，
∵，，
∴，
∵GH＝BD，
∴，
∴△CDF∽△GHF，
∴∠CFD＝∠GFH，
∴∠CFD+∠DFG＝∠GFH+∠DFG，
∴∠CFG＝∠DFH＝90°．
故答案为：90．
【点评】本题主要考查相似三角形的证明及性质、等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，点B和直线l，点A关于l的对称点为点A′，点B是直线l上一点．将线段A′B绕点A′逆时针旋转90°得到A′C，如果线段A′C与直线l有交点，称点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”．
（1）若点A的坐标为（1，2），在点C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）中，是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是 C1，C2 ；
（2）若点B的坐标是（0，﹣2），点A、C都在直线y＝x+2上，点C是点A关于y轴和点B的“旋交点”，求点A的坐标；
（3）点A在以（0，t）为对角线交点，边长为2的正方形M（正方形的边与坐标轴平行）上，直线l：y＝x﹣1，若正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解；
（2）过A′作ED∥y轴，过点B、C作ED的垂线，垂足分别为D、E，证明△A'EC≌△BDA'，设A（m，m+2）得出A'（﹣m，m+2），可得C（m+2，m+2+m），代入y＝x+2即可求解；
（3）根据题意，正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，则线段A′C与直线l有交点，找到两个邻界点，即可求解．
【解答】解：（1）∵A（1，2）关于x轴的对称点为A′（1，﹣2），
∵C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1），
∴线段A′C1和线段A′C2与x轴有交点，线段A′C3与x轴没有交点，
故点C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）中是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是C1，C2．
故答案为：C1，C2；
（2）由题意画出图形，作出点A关于y轴的对称点A′，则A′B＝A′C，∠BA′C＝90°，过A′作ED∥y轴，交X轴于点G，过点B作BD⊥DE于点D，过点C作CE⊥ED于点E，CE交y轴于点F，如图，
∴∠A′DB＝∠CEA′＝90°，
∴∠CA′E+∠ECA′＝∠CA′E+∠DA′B＝90°，
∴∠ECA′＝∠DA′B，
在△A'EC和△BDA'中，
，
∴△A'EC≌△BDA'（AAS），
∴A'E＝BD，CE＝A′D，
∵点B的坐标是（0，﹣2），
∴OB＝DG＝2．
设A（m，m+2），则A'（﹣m，m+2），其中m＞0，
∴BD＝OG＝EF＝m，A′G＝m+2，
∴CE＝A′D＝m+2+2＝m+4，A′E＝BD＝m，
∴FO＝EG＝A′G+A′E＝m+2+m＝m+4，
∴CF＝EC﹣EF＝m+4﹣m＝4．
∴C（4，m+4），
∵C在直线y＝x+2上，
∴4+2＝m+4，
解得：m＝2，
∴A（2，4）；
（3）正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，则线段A′C与直线l有交点，
如图，正方形M与关于直线l：y＝x﹣1对称的正方形M′有交点，符合题意，此时t＜1，
当C在y＝x﹣1上，且两个正方形有唯一交点时，如图所示，此时t＝1，
同理可得当t＜0时，仅当两个正方形有唯一交点时，符合题意，此时t＝﹣3，
综上所述，t的取值范围为：﹣3≤t≤1．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，几何新定义，待定系数法求函数的解析式，旋转的性质，理解新定义中的规定并熟练运用是解题的关键．
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