2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共34页。试卷主要包含了填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
3．（2分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17B．（x﹣4）2＝17C．（x+4）2＝15D．（x﹣4）2＝15
4．（2分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）
A．32°B．58°C．64°D．116°
5．（2分）底面半径为3，高为4的圆锥侧面积为（ ）
A．15πB．20πC．25πD．30π
6．（2分）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+αB．90°﹣αC．180°﹣αD．α
7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b﹣2a＝0；③3a+c＜0；④a﹣b＜an2+bn（n≠﹣1的实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2分）心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（ ）
A．8minB．13minC．20minD．25min
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
9．（2分）已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是 ．
10．（2分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
11．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S＝ ．
12．（2分）抛物线y＝2x2﹣4x上三点分别为（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 （用“＞”号连接）
13．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为 ．
14．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝ ，b＝ ．
15．（2分）如图，将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′．若AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，直线l：y＝ax，给出下列四个结论：
①当a＝1时，直线l与⊙Q相离；
②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则；
③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则；
④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC＝90°，则a的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第18-23题，每小题6分，第17、24、25、26题，每小题6分，第27、28题，每小题6分）
17．（6分）解下列方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2﹣5x﹣6＝0．
18．（5分）如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将△ABC（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1．
（1）在所给的图形中画出△A1B1C1；
（2）以O、B、A、A1为顶点的四边形的面积为 ．
19．（5分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P为⊙O外一点．
求作：经过点?的⊙O的切线．
小敏的作法如下：
①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；
②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
③作直线PA，PB．
所以直线PA，PB就是所求作的切线．
根据小敏设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，
∴∠OAP＝∠OBP＝ °．（ ）（填推理的依据）
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）
20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．
（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）画出此函数的图象；
（3）借助图象，判断若0＜x＜3，则y的取值范围是 ．
22．（5分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．
（1）求证：∠CBO＝∠ABD；
（2）若AE＝4cm，CE＝8cm，求弦BD的长．
23．（5分）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
25．（6分）小朋在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x﹣3）2．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有 值（填“最大”或“最小”），这个值是 ；
（2）进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：
结合上表，画出当x≥0时，函数y＝|x|（x﹣3）2的图象；
（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为 （结果保留小数点后一位）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2m﹣6）x+1经过点（1，2m﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD＝BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°（0＜n＜180）得线段PE．
（1）如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；
（2）当n＝135°时，M为线段AE的中点，连接PM．
①在图2中依题意补全图形；
②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为 ；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 ；
（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′．
①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．
2023-2024学年北京市西城区回民中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．（2分）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考察了学生对中心对称图形和轴对称图形的性质认识．
2．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
【分析】根据二次函数的性质进行解答．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．
3．（2分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17B．（x﹣4）2＝17C．（x+4）2＝15D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣8x＝1，
∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
4．（2分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）
A．32°B．58°C．64°D．116°
【分析】先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，故可得出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣58°＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
5．（2分）底面半径为3，高为4的圆锥侧面积为（ ）
A．15πB．20πC．25πD．30π
【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴圆锥的母线长为＝5，
则圆锥的底面周长为2×3×π＝6π，
则该圆锥的侧面积为：×6π×5＝15π，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l．
6．（2分）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+αB．90°﹣αC．180°﹣αD．α
【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因为∠BCD＝α，所以∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，由三角形内角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．
【解答】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，
∵∠BCD＝α，
∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝．
∴∠E＝．
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和∠ECF的角度是解题关键．
7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b﹣2a＝0；③3a+c＜0；④a﹣b＜an2+bn（n≠﹣1的实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据二次函数的对称性即可判断①；由对称轴是直线x＝﹣1可以判断②；根据图象上点的坐标特征即可判断③；根据二次函数的最值即可判断④．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，
与x轴的一个交点为（x1，0），
且0＜x1＜1，
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＞0，故①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，则﹣＝﹣1，
∴b＝2a．
∴b﹣2a＝0，故②正确；
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，
∴x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴a+2a+c＝3a+c＞0．故③错误．
∵x＝﹣1时，函数有最小值，
∴当n≠﹣1的实数时，a﹣b+c＜an2+bn+c．即a﹣b＜an2+bn，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，抛物线于x轴的交点，二次函数的性质，解题时要注意数形结合．
8．（2分）心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（ ）
A．8minB．13minC．20minD．25min
【分析】把点坐标：（0，43）、（20，55）、（30，31），代入函数s＝at2+bt+c，求出函数表达式，由a＝﹣，故函数有最大值，即：当t＝﹣＝13时，s有最大值．
【解答】解：由题意得：函数过点（0，43）、（20，55）、（30，31），
把以上三点坐标代入s＝at2+bt+c得：
，解得：，
则函数的表达式为：s＝﹣t2+t+43，
∵a＝﹣，则函数有最大值，
当t＝﹣＝13时，s有最大值，即学生接受能力最强，
因此B正确；
备注：本题为选择题，为此可用函数的对称性来解答，从图象看，函数的对称轴大概是在10到15之间的，所以答案是B，这样判断较为简便，可参考．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定已知点坐标，求出函数表达式，通常自变量在对称轴时，函数取得最值．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
9．（2分）已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，
∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，
∴1+m+n＝0，
∴m+n＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．正确理解方程的解的含义是解答此类题目的关键．
10．（2分）将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 （﹣3，2） ．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∵向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律．
11．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S＝ ．
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵n＝120°，R＝2，
∴S＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝．
12．（2分）抛物线y＝2x2﹣4x上三点分别为（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 y1＞y3＞y2 （用“＞”号连接）
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点A（﹣3，y1）到对称轴距离最远，点（0，y2）到对称轴的距离最近，
∴y1＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性．
13．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为 6 ．
【分析】先由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠A＝30°，再由垂径定理得CE＝DE＝CD＝3，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC＝90°，CE＝DE＝CD＝3，
∴AC＝2CE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及由含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
14．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝ 4 ，b＝ 2 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，得到a＝b2，找一组满足条件的数据即可．
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，
∴a＝b2，
当b＝2时，a＝4，
故b＝2，a＝4时满足条件．
故答案为：4，2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．
15．（2分）如图，将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′．若AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】如图所示，设B′C′与AB交于D，根据旋转的性质推出∠AC′D＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝2，∠CAC′＝15°，进而得到∠C′AD＝30°，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，则．
【解答】解：如图所示，设B′C′与AB交于D，
由题意得，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，由旋转的性质可得∠AC′D＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝2，∠CAC′＝15°，
∴∠C′AD＝30°，
∴AD＝2C′D，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得AD2＝AC′2+C′D2，
∴4C′D2＝22+C′D2，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确求出C′D的长是解题的关键．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，直线l：y＝ax，给出下列四个结论：
①当a＝1时，直线l与⊙Q相离；
②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则；
③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则；
④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC＝90°，则a的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】①根据Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，当a＝1时，直线l：y＝x，根据直线和圆的关系进而可以判断；
②直线l是⊙Q的一条对称轴，则直线l一定过圆心，所以将Q（5，2）代入y＝ax，即可进行判断；
③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则直线l与圆Q相切，然后根据勾股定理进行计算即可判断；
④如图，由题意可知，Y在以CZ为直径的圆上，若C取（4，2）时，于是得到CZ的中点为（，），此时，⊙P的半径为，设Y（x，ax），解方程得到求出a的值，即可判断．
【解答】解：①∵点Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半径为1，
当a＝1时，直线l：y＝x，如图，直线l1与⊙Q相离，故①正确；
②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则直线l一定过圆心，
所以将Q（5，2）代入y＝ax，得a＝，故②正确；
③若直线l与⊙P只有一个公共点T，则直线l与圆Q相切，如图中的l2，l3，
则OQ＝＝，
∵直线l2，l3与圆Q相切，
∴QT⊥l2，QY⊥l3，
∵⊙Q的半径为1，
∴OY＝OT＝＝＝2，故③正确；
④如图，由题意可知，Y在以CZ为直径的圆上，
若C取（4，2）时，
则CZ的中点为（，），
此时，⊙P的半径为，
设Y（x，ax），
则YP2＝（x﹣）2+（ax﹣）2＝，
化简得，（a2+1）x2﹣（5a+9）x+26＝0，
相切时取最大值，
∴△＝（5a+9）2﹣4（a2+1）×26＝0，
解得a1＝（此时是下方的切线舍去），
a2＝（此时是上方的切线，故为最大值），
∵＞，
∴不是最大值，故④错误．
∴正确的结论序号是：①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系．
三、解答题（本题共68分，第18-23题，每小题6分，第17、24、25、26题，每小题6分，第27、28题，每小题6分）
17．（6分）解下列方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2﹣5x﹣6＝0．
【分析】（1）根据一元二次方程的性质，通过移项、直接开平方计算，即可得到答案；
（2）通过配方法求解一元二次方程，即可得到答案．
【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，
∴x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
∴x＝±2；
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x+1）（x﹣6）＝0，
∴x+1＝0，x﹣6＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18．（5分）如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将△ABC（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1．
（1）在所给的图形中画出△A1B1C1；
（2）以O、B、A、A1为顶点的四边形的面积为 22 ．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）∵OA＝OA1＝＝，∠AOA1＝90°，
∴＝＝，
∵S△AOB＝＝，
∴四边形OBAA1的面积为+S△AOB＝＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、四边形的面积、勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
19．（5分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P为⊙O外一点．
求作：经过点?的⊙O的切线．
小敏的作法如下：
①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；
②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
③作直线PA，PB．
所以直线PA，PB就是所求作的切线．
根据小敏设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，
∴∠OAP＝∠OBP＝ 90 °．（ 直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据）
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB是⊙O的切线．（ 经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据圆周角定理的推论，由OP为直径得到∠OAP＝∠OBP＝90°，则PA⊥OA，PB⊥OB，然后根据切线的判定定理得到直线PA，PB是⊙O的切线．
【解答】解：（1）如图，PA、PB为所作；
（2）由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，（直径所对的圆周角为直角）
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线）
故答案为90，直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）
＝m2+6m+9﹣4m﹣8
＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m+2≥1．
∴m≥﹣1．
∴m的最小值为﹣1．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．
（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）画出此函数的图象；
（3）借助图象，判断若0＜x＜3，则y的取值范围是 0＜y≤4 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，然后用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）描点、连线画出函数图象即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．
∴c＝3，﹣＝＝1，
∴b＝2，
∵二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
y＝﹣x2+2x+3
＝﹣x2+2x﹣1+4
＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）画出函数图象如图：
；
（3）由图象可知，若0＜x＜3，则y的取值范围是0＜y≤4，
故答案为0＜y≤4．
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
22．（5分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．
（1）求证：∠CBO＝∠ABD；
（2）若AE＝4cm，CE＝8cm，求弦BD的长．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后利用∠C＝∠CBO得到∠CBO＝∠ABE；
（2）先根据垂径定理得到BE＝DE，再计算出OB＝10cm，OE＝6cm，则利用勾股定理可计算出BE，从而得到BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
即∠ABD+∠CBD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABE；
（2）解：∵AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∵AE＝4cm，CE＝8cm，
∴AC＝12cm，
∴OB＝6cm，OE＝2cm，
在Rt△OBE中，BE＝＝4（cm），
∴BD＝2BE＝8（cm）．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
23．（5分）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式，然后令y＝0，即可求得CD的长度．
【解答】解：以DC所在直线为x轴，过点A作DC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A（0，2），B（4，4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），
∵A（0，2）在抛物线上，
∴2＝a（0﹣4）2+4，
解得，a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣4）2+4，
将y＝0代入，得
﹣（x﹣4）2+4＝0
解得，x1＝4﹣4（舍去），x2＝4+4，
∴DC＝4+4，
答：该同学把实心球扔出（4+4）米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，CD＝2，所以BD＝CD＝2，可求得AD＝BD•tan30°＝2，再证明△AOD是等边三角形，则OD＝AD＝2，而∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，根据弧长公式求出的长即可．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝BD•tan30°＝2×＝2，
∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝2，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴＝＝，
∴的长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．
25．（6分）小朋在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x﹣3）2．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
（1）观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有 最小 值（填“最大”或“最小”），这个值是 0 ；
（2）进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如表：
结合上表，画出当x≥0时，函数y＝|x|（x﹣3）2的图象；
（3）结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为 4.2 （结果保留小数点后一位）．
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性可得结论；
（2）描点，连线可得；
（3）先把x＝2代入方程，求出k的值，再根据图象解方程即可．
【解答】解：（1）∵|x|≥0，（x﹣3）2≥0，
∴y＝|x|（x﹣3）2≥0．
∴y＝|x|（x﹣3）2有最小值，且最小值为0；
故答案为：最小值；0．
（2）在坐标系中线先描点，再划线，如图所示：
（3）把x＝2代入|x|（x﹣3）2＝kx﹣1中，有×|2|×（2﹣3）2＝2k﹣1，解得k＝1，
在图中画出函数y＝x﹣1，如图所示：
从图象可看，其他的实数根约为4.2．
故答案为：4.2．
【点评】本题考查函数的综合应用，涉及数形结合思想等知识．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2m﹣6）x+1经过点（1，2m﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．
【分析】（1）代入点（1，2m﹣4）即可求解；
（2）利用对称轴公式即可求解；
（3）利用二次函数的性质即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）由题意得：a+（2m﹣6）+1＝2m﹣4，
解得：a＝1；
（2）∵a＝1，
∴y＝x2+（2m﹣6）x+1，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝＝3﹣m；
（3）当m＞0时，可知点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）从左至右分布，
∵y2＜y3≤y1，
∴，
解得1＜m≤2；
当m＜0时，
∴m＜﹣m＜﹣m+3，
∴y2≥y1，不合题意，
综上，m的取值范围是1＜m≤2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD＝BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°（0＜n＜180）得线段PE．
（1）如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；
（2）当n＝135°时，M为线段AE的中点，连接PM．
①在图2中依题意补全图形；
②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）按照题意画出图形即可，根据等腰直角三角形、平行四边形性质可求得n的值；
（2）①根据题意补全图形即可；
②延长PM到F，使FM＝PM，连接AF、CF、EF，由SAS证明△APC≌△APF，即得CP＝FP，故CP＝2PM．
【解答】解：（1）当四边形ACPE是平行四边形时，如图：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵四边形ACPE是平行四边形，
∴∠APE＝∠CAB＝45°，
即n＝45°；
（2）①当n＝135°时，M为线段AE的中点，补全图形如下：
②CP＝2PM，证明如下：
延长PM到F，使FM＝PM，连接AF、CF、EF，设CF交AP于O，如图：
∵M为AE的中点，PM＝FM，
∴四边形APEF是平行四边形，
∴AF∥PE，AF＝PE，
∴∠PAF＝180°﹣∠APE，
∵∠APE＝n＝135°，
∴∠PAF＝45°，
∴∠CAO＝45°＝∠FAO，
∵AC＝BC＝PD＝PE，PE＝AF，
∴AC＝AF，
在△APC和△APF中，
，
∴△APC≌△APF（SAS），
∴CP＝FP，
而FM＝PM＝FP，
∴CP＝2PM．
【点评】本题考查三角形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，平行四边形判定与性质，补全图形等问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为 （2，0） ；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 （﹣1，2） ；
（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′．
①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．
【分析】（1）①②根据“垂直图形”的定义解决问题即可．
（2）①构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解即可．
②如图3中，观察图象可知，满足条件的点E′在第一象限的⊙O上．求出点E′的坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，观察图象可知B（2，0）．
故答案为：（2，0）．
②如图，A′（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
（2）①如图2中，过点E作EP⊥x轴于P，过点E′作E′H⊥x轴于H．
∵∠EPG＝∠EGE′＝∠GHE′＝90°，
∴∠E+∠PGE＝90°，∠PGE+∠E′GH＝90°，
∴∠E＝∠E′GH，
∵EG＝GE′，
∴△EPG≌△GHE′（AAS），
∴EP＝GH＝3，PG＝E′H＝a+3，
∴OH＝3+a，
∴E′（3+a，3+a）．
②如图3中，观察图象可知，满足条件的点E′在第一象限的⊙O上．
∵E′（3+m，3+m），OE′＝2，
∴3+m＝，
∴m＝﹣3，
∴E′（，），
∴EE′＝＝．
【点评】本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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