2023-2024学年北京市101中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市101中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11C．4，4，8D．8，8，8
3．（3分）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75°B．60°C．105°D．120°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7B．a3•a4＝a12
C．（ab）3＝a3b3D．a6÷a3＝a2
5．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30B．27C．35D．40
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（3分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
8．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．x2+5xB．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2D．（x+3）（x+2）﹣2x
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜2时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3B．2＜n＜3C．3＜m＜5D．n＞3
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP＝CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP＝AD：②BF＝CP：③AC+CD＝AB：④PO⊥BE；⑤BP＝2PF．其中正确的是（ ）
A．①③⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①②③④⑤
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．
12．（3分）计算a2•（﹣6ab）的结果是 ．
13．（3分）如图，BC＝AD，要使△ABC≌△BAD，需补充一个条件，你补充的条件是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝ ．
15．（3分）如图1，已知三角形纸片ABC，AB＝AC，∠A＝50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上．则∠DBC＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，DA＝DB＝3，则AC的长为 ．
17．（3分）如图，△AOB≌△ADC，∠AOB＝90°，且BC∥OA，若∠OAD＝80°，则∠ABO的度数为 ．
18．（3分）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，在△EFG中，若∠G＝2∠F，且△EFG有“等腰线段”，则∠F的度数α的取值范围为 ．
三、解答题（本题共46分，第19-23题，每题5分，24题7分，25题8分，26题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（5分）先化简，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．
20．（5分）如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，∠A＝∠D，BE＝CF，且AB∥CD，求证：AE＝DF．
21．（5分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．
作法：如图，
①在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．
所以∠ADC即为所求的角．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）．
证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝ （ ），
∴∠AOB＝ （ ），
∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）若以线段AB为一边作格点△ABD，使所作的△ABD与△ABC全等，则所有满足条件的点D的坐标是 ．
23．（5分）如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．
（1）求∠ACB的度数；
（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．
24．（7分）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），其中a＞b＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD）的面积．
如图2，上面窗户的遮阳帘水平向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）如果上面窗户的遮阳帘保持图2的位置不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光面积S1与被遮阳帘遮住的面积S2的大小．
（3）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至GD＝AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至BP＝BC处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半，则此时＝ ．
25．（8分）△ABC为等边三角形，射线AP经过点A，∠BAP＝α（0°＜α＜90°），作点B关于射线AP的对称点D，连接AD、CD交直线AP于点E．
（1）如图，当0°＜α＜60°时
①依题意补全图形，并直接写出此时∠ADC＝ °（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段EA、ED、EC的数量关系，并证明；
（2）若△DBC为等腰三角形，直接写出α的度数．
26．（6分）设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义k＝为等腰三角形的“胖瘦度”．设坐标系内两点P（x1，y1），Q（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”．
（1）设△ABC是底边长为2的等腰直角三角形，则△ABC的“胖瘦度”k＝ ；
（2）设P（5，0），点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”k＝5，直接写出点Q的坐标： ；
（3）以x轴，y轴为对称轴的正方形ABCD的一个顶点为A（a，a），且点A在第一象限，点P（12+a，8+a），若正方形ABCD边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足k＝5且h≤5，直接写出a的取值范围： ．
2023-2024学年北京市101中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的只有一个.
1．（3分）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11C．4，4，8D．8，8，8
【分析】根据三角形的三边关系计算判定求解．
【解答】解：由3+4＜8得3，4，8不能构成三角形，故A选项不符合题意；
由5+6＝11得5，6，11不能构成三角形，故B选项不符合题意；
由4+4＝8得4，4，8不能构成三角形，故C选项不符合题意；
由8+8＞8得8，8，8能构成三角形，故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3．（3分）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75°B．60°C．105°D．120°
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a4＝a7B．a3•a4＝a12
C．（ab）3＝a3b3D．a6÷a3＝a2
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，同底数幂的除法公式分别进行判断即可得出结果．
【解答】解：a3与a4不是同类项，所以不能合并计算，故A选项计算错误；
a3•a4＝a3+4＝a7，所以B选项计算错误；
（ab）3＝a3b3，所以C选项计算正确；
a6÷a3＝a6﹣3＝a3，所以D选项计算错误．
故选：C．
【点评】此题主要是考查了整式的运算，能够熟练运用合并同类项法则，同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，同底数幂的除法公式是解答此题的关键．
5．（3分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30B．27C．35D．40
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×4×1＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键．也考查了交平分线的性质．
7．（3分）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
8．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．x2+5xB．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2D．（x+3）（x+2）﹣2x
【分析】根据图形，可以用代数式表示出图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：x2+3x+2×3＝x2+3x+6，故选项A符合题意，
x（x+3）+2×3＝x（x+3）+6，故选项B不符合题意，
3（x+2）+x2，故选项C不符合题意，
（x+3）（x+2）﹣2x，故选项D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜2时，点C的横坐标m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜3B．2＜n＜3C．3＜m＜5D．n＞3
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H，根据等腰直角三角形的性质易证△AOB≌△BHC（AAS），根据全等三角形的性质可得BH＝OA＝3，进一步可得m的取值范围．
【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示，
则有∠BHC＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠CBH＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
在△OAB和△HBC中，
，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA，
∵点A坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∴BH＝3，
∴m＝OH＝OB+BH＝3+a，
∴0＜a＜2，
∴3＜m＜5，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP＝CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP＝AD：②BF＝CP：③AC+CD＝AB：④PO⊥BE；⑤BP＝2PF．其中正确的是（ ）
A．①③⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①②③④⑤
【分析】①根据SAS证明Rt△ADC≌Rt△BPC，即可求出BP＝AD；
③由①中Rt△ADC≌Rt△BPC可知∠PBC＝∠DAC＝22.5，在Rt△BPC中，∠BPC＝90°﹣∠PBC＝67.5°，根据∠CBA＝45°可知，∠ABP＝∠PBC+∠ABC＝67.5°，即可求出AP＝AB，即AC+CD＝AB；
②由③可知，△ABP是等腰三角形，由AF平分∠BAC，故BF＝BP，在Rt△BCP中，若BF＝CP，则∠PBC＝30°，与③中∠PBC＝22.5°相矛盾，故BF≠CP；
④由△ABP是等腰三角形，AF平分∠BAC，可得AF垂直平分BP，根据垂直平分线的性质可得BO＝BP，则∠BPO＝∠PBO＝22.5°+22.5°＝45°，可得出∠BOP＝90°，即PO⊥BE．
⑤由③可知，△ABP是等腰三角形，由AF平分∠BAC，故BF＝BP，即BP＝2PF．
【解答】解：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCP＝90°，
在△ACD与△BCP中，
，
∴△ADC≌△BPC（SAS），
∴BP＝AD；故①正确；
③∵BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠DAC＝22.5°，∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵Rt△ADC≌Rt△BPC，
∴∠PBC＝∠DAC＝22.5°，
在Rt△BPC中，∠BPC＝90°﹣∠PBC＝67.5°，
∵∠CBA＝45°，
∴∠ABP＝∠PBC+∠ABC＝67.5°，
∴∠ABP＝∠BPC，
∴AP＝AB，
∴AC+CP＝AB，
∵CP＝CD，
∴AC+CD＝AB；故③正确；
②由③可知，△ABP是等腰三角形，
∵AF平分∠BAC，
∴BF＝BP，
在Rt△BCP中，若BF＝CP，则∠PBC＝30°，与③中∠PBC＝22.5°相矛盾，故BF≠CP；故②错误；
④∵△ABP是等腰三角形，AF平分∠BAC，
∴AF垂直平分BP，
∴BO＝BP，
∴∠BPO＝∠PBO＝∠PBC+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠BOP＝90°，即PO⊥BE．故④正确；
⑤由③可知，△ABP是等腰三角形，
∵AF平分∠BAC，
∴BF＝BP，
∴BP＝2PF，故⑤正确．
所以①③④⑤正确．
故选：C．
【点评】本题属于三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 9 ．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
12．（3分）计算a2•（﹣6ab）的结果是 ﹣2a3b ．
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行求解即可．
【解答】解：a2•（﹣6ab）
＝×（﹣6）a2+1b
＝﹣2a3b．
故答案为：﹣2a3b．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的运算法则的掌握．
13．（3分）如图，BC＝AD，要使△ABC≌△BAD，需补充一个条件，你补充的条件是 AC＝BD或∠ABC＝∠BAD ．
【分析】根据全等三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：添加AC＝BD，根据SSS得到△ABC≌△BAD；
添加∠ABC＝∠BAD，根据SAS得到△ABC≌△BAD；
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝∠BAD．
【点评】本题考查全等三角形的判定知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝ 5 ．
【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD＝BD，从而得解．
【解答】解：∵S△ABD＝15，AE是BC边上的高，
∴BD•AE＝15，
则×6BD＝15，
解得：BD＝5，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．
15．（3分）如图1，已知三角形纸片ABC，AB＝AC，∠A＝50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E、D分别在AB、AC上．则∠DBC＝ 15° ．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再由翻折变换的性质得出∠ABD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝＝65°．
∵△EBD由△EAD折叠而成，
∴∠EBD＝∠A＝50°，
∴∠DAB＝∠ABC﹣∠EBD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是翻折变换（折叠问题），熟知等腰三角形两个底角相等及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，DA＝DB＝3，则AC的长为 9 ．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A＝∠C＝30°，∠DBC＝30°，得出∠DBC＝90°，由直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵DA＝DB＝3，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴DC＝2DB＝6，
∴AC＝AD+CD＝3+6＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．（3分）如图，△AOB≌△ADC，∠AOB＝90°，且BC∥OA，若∠OAD＝80°，则∠ABO的度数为 40° ．
【分析】据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，于是得到结论．
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴∠OAB＝∠DAC，
∵∠OAD＝∠DAB+∠OAB＝80°，
∴∠BAC＝∠DAB+∠DAC＝80°，
在△ABC中，
∵∠ABC＝∠ACB，
由三角形内角和定理知，∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
又∵BC∥OA，
∴∠OAB＝∠ABC＝50°，
在△AOB中，
∵∠O＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
18．（3分）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，在△EFG中，若∠G＝2∠F，且△EFG有“等腰线段”，则∠F的度数α的取值范围为 0°＜x≤45° ．
【分析】先根据新定义，分两种情况：画出图形1和2，然后根据等腰三角形的性质，找出角与角的关系，进行解答即可．
【解答】解：设∠F＝x，则∠G＝2x，如图1，线段EM是等腰线段，
∵△EMG是等腰三角形，
∴EM＝EG，ME＝MF，
∴∠F＝∠MEF，∠EMG＝∠G＝2x，
∴2x＜90°，
∴x＜45°，
如图2，GN为等腰线段，
∴NF＝NG，GN＝GE，
∴∠F＝∠NGF，∠E＝∠ENG，
∴∠EGN＝x，∠ENG＝2x，
∴∠E＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠F的度数的取值范围为：0°＜x≤45°，
故答案为：0°＜x≤45°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题关键是画出符合题意的图形．
三、解答题（本题共46分，第19-23题，每题5分，24题7分，25题8分，26题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19．（5分）先化简，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x＝时，
原式＝x3﹣x2﹣x3﹣x2+x
＝﹣2x2+x
＝﹣+
＝0
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
20．（5分）如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，∠A＝∠D，BE＝CF，且AB∥CD，求证：AE＝DF．
【分析】由AB∥CD知∠B＝∠C，由∠A＝∠D、BE＝CF，根据“ASA”证△ABE≌△DCF可得．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
∵，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE＝DF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理及其性质、平行线的性质．
21．（5分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．
作法：如图，
①在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．
所以∠ADC即为所求的角．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）．
证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝ DC （ 线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 ），
∴∠AOB＝ DCO （ 等边对等角 ），
∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OD＝DC，则根据等腰三角形的性质得到∠O＝∠DCO，然后根据三角形外角性质得到∠ADC＝2∠AOB．
【解答】解：（1）如图，
∠ADC即为所求作：
（2）证明：∵ED是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝DC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
∴∠O＝∠DCO（等边对等角），
∵∠ADC＝∠O+∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB，
故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）若以线段AB为一边作格点△ABD，使所作的△ABD与△ABC全等，则所有满足条件的点D的坐标是 （﹣4，2）、（2，3）、（2，2） ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据全等三角形的判定画出图形，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）满足条件的点D坐标（﹣4，2）、（2，3）、（2，2）．
故答案为：（﹣4，2）、（2，3）、（2，2）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（5分）如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．
（1）求∠ACB的度数；
（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．
【分析】（1）由方向角求出∠BAC和∠ABC的度数，再由三角形内角和定理即可得出∠ACB的度数；
（2）由（1）得∠BAC＝∠ACB＝70°，则BC＝AB＝75km，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣40°＝70°；
（2）由（1）得：∠BAC＝∠ACB＝70°，
∴BC＝AB＝75km，
∴75÷5＝15（km/h），
即轮船的速度为15km/h．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及等腰三角形的判定等知识，证明BC＝AB是解题的关键．
24．（7分）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），其中a＞b＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD）的面积．
如图2，上面窗户的遮阳帘水平向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）如果上面窗户的遮阳帘保持图2的位置不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光面积S1与被遮阳帘遮住的面积S2的大小．
（3）如果上面窗户的遮阳帘拉伸至GD＝AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至BP＝BC处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半，则此时＝ ．
【分析】（1）根据题意，可以用a、b的代数式表示出AB、AD，然后即可计算出长方形窗户ABCD的总面积；
（2）根据题意和图形，可以分别计算出窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积，然后作差比较即可；
（3）设AD＝BC＝x，根据已知条件得到GD＝AD＝，BP＝BC＝x，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可得，AD＝2a+2b，AB＝a+2b，
∴长方形窗户ABCD的总面积是AD•AB＝（2a+2b）（a+2b）＝2a2+6ab+4b2，
即长方形窗户ABCD的总面积是2a2+6ab+4b2；
（2）当上面窗户的遮阳帘保持不动，下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，窗户透光的面积是：2b•a+2b（a+b）＝2ab+2ab+2b2＝4ab+2b2，
被遮阳帘遮住的面积是：（2a2+6ab+4b2）﹣（4ab+2b2）
＝2a2+6ab+4b2﹣4ab﹣2b2
＝2a2+2ab+2b2，
（4ab+2b2）﹣（2a2+2ab+2b2）
＝4ab+2b2﹣2a2﹣2ab﹣2b2
＝﹣2a2+2ab
＝2a（b﹣a），
∵a＞b＞0，
∴b﹣a＜0，
∴2a（b﹣a）＜0，
即窗户的透光的面积小于被遮阳帘遮住的面积；
（3）设AD＝BC＝x，
∴GD＝AD＝，BP＝BC＝x，
∵窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半，
∴，
解得＝，
故答案为：．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，整式的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应代数式，利用数形结合的思想解答．
25．（8分）△ABC为等边三角形，射线AP经过点A，∠BAP＝α（0°＜α＜90°），作点B关于射线AP的对称点D，连接AD、CD交直线AP于点E．
（1）如图，当0°＜α＜60°时
①依题意补全图形，并直接写出此时∠ADC＝ （60﹣α） °（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段EA、ED、EC的数量关系，并证明；
（2）若△DBC为等腰三角形，直接写出α的度数．
【分析】（1）①根据要求画出图象即可；根据三角形ABC为等边三角形，推出AB＝AC，∠BAC＝60°，由对称可知，∠PAB＝∠PAD，AD＝AB，则AD＝AC，所以∠ADC＝∠ACD，再根据等腰三角形的性质得出∠ADC；
②在CD上截取BG＝BE，则△BGE是等边三角形，证明△BCG≌△DAE，推出AE＝CG，根据EG＝BE＝DE，即可得出EC＝ED+EA；
（2）①当BD＝BC时，②当BD＝CD时，③当BC＝CD时，根据等边三角形的性质，和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①如图1所示：
在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°，
由对称可知：AB＝AD，∠PAB＝∠PAD，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠D，
∵∠BAP＝α，
∴∠PAD＝α，
∴∠CAD＝∠BAC+∠PAB+∠PAD＝60°+2α，
∴∠ADC＝（180°﹣∠CAD）＝60°﹣α，
故答案为：（60﹣α）；
②EC＝ED+EA，
证明：在CD上截取BG＝BE，
∵∠AEC＝∠D+∠PAE＝60°﹣α+α＝60°，
∴∠PED＝60°，
由对称可知：DE＝BE，∠PEB＝∠PED＝60°，
∴∠BEG＝60°，
∴△BGE是等边三角形，
∴EG＝BE＝DE，∠BGC＝∠AED＝120°，
∵∠BAE＝∠DAE＝α，BC＝AD，
∴△BCG≌△DAE（AAS），
∴AE＝CG，
∵EG＝BE＝DE，
∴EC＝ED+EA；
（2）当△DBC是等腰三角形，
①当BC＝BD时，如图3，
∵AP垂直平分BD，
∴AB＝AD，
∴AB＝AD＝BC＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴α＝30°；
②当BD＝CD时，
∵AC＝AB，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴∠DAB＝150°，
∵AP垂直平分BD，
∴AB＝AD，
∴α＝∠PAD＝75°；
③当BC＝CD时，
∵CD＝BC，AD＝AB，
∴AC垂直平分BD，
∴C，A，P三点在同一条直线上，
∴∠PAB＝α＝120°（不合题意，舍去），
综上所述，△DBC是等腰三角形，α的值为30°或75°．
【点评】本题几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26．（6分）设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义k＝为等腰三角形的“胖瘦度”．设坐标系内两点P（x1，y1），Q（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”．
（1）设△ABC是底边长为2的等腰直角三角形，则△ABC的“胖瘦度”k＝ ；
（2）设P（5，0），点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”k＝5，直接写出点Q的坐标： （0，50）或（0，） ；
（3）以x轴，y轴为对称轴的正方形ABCD的一个顶点为A（a，a），且点A在第一象限，点P（12+a，8+a），若正方形ABCD边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足k＝5且h≤5，直接写出a的取值范围： a＞39或a＝24或0＜a≤． ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质推出底边上的高与底边之间的关系即可求出k值；
（2）当分两种情况：①点P，Q的“逐梦三角形”的底边PM在x轴上时；②当点P，Q的“逐梦三角形”的底边PM⊥x轴时．分别根据等腰三角形的性质进行计算即可求出点Q的坐标；
（3）分三种情况：①当a＞24时；②当a＝24时；③当a＜24时，每种情况下根据“筑梦三角形”的定义列出关于a的不等式组，解不等式组求出a的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵w＝BC＝2，AD⊥BC于D，
∴h＝AD＝BC＝1，
∴k＝＝，
故答案为：；
（2）①当点P，Q的“逐梦三角形”的底边PM在x轴上时，如图2，
∵△PQM是等腰三角形，OQ是底边PM上的高，
∴OM＝OP＝5，PM＝10，
∵△PQM是P，Q的“逐梦三角形”，且“胖瘦度”k＝5，
∴＝5，
∴OQ＝5PM＝50，
∴Q（0，50）；
②当点P，Q的“逐梦三角形”的底边PM⊥x轴时，如图3，
∵△PQM是等腰三角形，DQ是底边PM上的高，QD＝OP＝5，
根据＝k＝5，
∴PM＝QD＝1，
∵PD＝MD＝PM＝，
∴Q（0，）；
综上，点Q的坐标为：（0，50）或（0，），
故答案为：（0，50）或（0，）；
（3）①当a＞24时，点P在正方形内，如图4，
此时点P到正方形边的两个较小距离为：
PM＝a﹣（12+a）＝a﹣12，
PN＝a﹣（8+a）＝a﹣8，
若正方形ABCD边上不存在点Q，使得P、Q的“筑梦三角形”满足k＝5且h≤5，
则PM＞5，PN＞5，
∴，
解得：a＞39；
②当a＝24时，点P与点A重合，
此时正方形ABCD边上不存在点Q，使得P、Q的“筑梦三角形”满足k＝5且h≤5；
③当a＜24时，点P在正方形外，
如图5，此时点P到正方形边的两个较小距离为：
PM＝（12+a）﹣a＝12﹣a，
PN＝（8+a）﹣a＝8﹣a，
若正方形ABCD边上存在点Q，使得P、Q的“筑梦三角形”满足k＝5且h≤5，
当点Q在AD上，PM为“筑梦三角形”底边上的高时，h＝12﹣a，
∵k＝＝5，
∴w＝h，
∴底边的一半为，
，
不等式组无解，
∴此时不存在点Q，
当点Q在AD上，PM为“筑梦三角形”底边一半时，，
h＝5w＝10（12﹣a），
，
解得：a≥23，
即23≤a≤24时，存在点Q，使得P、Q的“筑梦三角形”满足k＝5且h≤5；
当点Q在AB上时，PN为“筑梦三角形”底边一半时，w＝2（8﹣a），
底边上的高为h＝5w＝10（8﹣a），
，
解得：a≥，
即≤a≤24时，存在点Q，使得P、Q的“筑梦三角形”满足k＝5且h≤5；
④P到BC、CD的距离大于5，
故BC、CD没有满足条件的点Q．
综上所述，当a＞39或a＝24或0＜a≤时，不存在点Q，使得P、Q的“筑梦三角形”满足k＝5且h≤5．
故答案为：a＞39或a＝24或0＜a≤．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，不等式组的应用以及新定义问题，分类讨论思想，深入理解题意是解决问题的关键．
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