2023-2024学年北京市西城区三帆中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市西城区三帆中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a3）2＝a5
C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6D．3a2÷6a2＝2a
3．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么整数a的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．14
4．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．三个角都相等的三角形是等边三角形
B．等腰三角形的中线就是角平分线
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
5．（2分）如图，已知∠1＝45°，∠B＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．120°C．115°D．110°
6．（2分）△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．有30°角的直角三角形
D．钝角三角形
7．（2分）某中学校庆活动搭建的舞台如图（阴影部分），这个舞台的面积为（ ）
A．a2﹣b2B．a2+b2C．a2﹣2b2D．
8．（2分）△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别是线段BD、线段AB上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．4B．3C．8D．16
二、填空题（本题共16分，每题2分）
9．（2分）若（x﹣4）0＝1，则x的取值范围是 ．
10．（2分）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形．
11．（2分）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的 ．
12．（2分）如图，已知△ABC的面积为10，将△ABC沿某直线对称后得到△EDC（B与D对应，A与E对应），且B、C、D三点共线，连接AD，则△ABD的面积为 ．
13．（2分）如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为 ．
14．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为4cm和8cm，则这根铁丝的长为 cm．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝50°，点E、F分别在BC边和AC边上，作线段EF的垂直平分线l交AB边于D，满足∠ADF＝60°，2AD＝BD时，∠DFE＝ ．
16．（2分）如图，把△ABC放到平面直角坐标系xOy中，使得A（m，n），B（0，2n）．点C在x轴上且∠OCB＝∠BAO．那么下列结论正确的是 （填写序号）．
①AB＝AO；
②∠AOC＝∠ABC；
③∠ACB＝∠BAO；
④OC+BC＝2m；
⑤AD＝n．
三、计算题（本题共16分，每小题8分）
17．（8分）计算：
（1）（x+2y）（x﹣3y）；
（2）（4x2y﹣6xy）÷2xy．
18．（8分）分解因式：
（1）ab2﹣a；
（2）x2y﹣6xy+9y．
四、解答题（本题共52分，第19-23题每题6分，24、25题每题7分，26题8分）
19．（6分）如图，点A、E、B、D在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，AE＝DB．求证：∠C＝∠F．
20．（6分）先化简，再求值：（x+2）2+（x+3）（x﹣3），其中x＝1．
21．（6分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥CB，F是BD的中点．
（1）求证：△BDE是等腰三角形．
（2）若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．
22．（6分）小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：线段CD，使得线段CD将△ABC分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边AC的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；
②连接CD．
则线段CD为所求．
（1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线MN是线段AC的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC＝DA．（ ）（填推理的依据）
∴∠ ＝∠ ．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣ ．
∠B＝90°﹣∠A．
∴∠BCD＝∠B．
∴DC＝DB．（ ）（填推理的依据）
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
23．（6分）我们有公式：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．
反过来，就得到可以作为因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
如果有一个关于x的二次项系数是1的二次三项式x2+px+q，它的常数项可以看作两个数a与b的积，而它的一次项的系数恰是a与b的和，它就可以分解为（x+a）（x+b），也就是说：当p＝a+b，q＝ab时，有x2+px+q＝x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
例如：x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；m2+17m+60＝（m+12）（m+5）；
x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3）；x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）．
下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣2）（x2﹣2x+4）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣2x＝y，则原式＝（y﹣2）（y+4）+9＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2．
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ；
（2）请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3进行因式分解．
24．（7分）阅读理解：
借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题．
（1）如图1是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，相邻两根木条的连接处是可以转动的．在如图2的几种用法中，能作出∠MON的平分线的有 ．（填写序号）
（2）同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题．
如图3是小瑞设计出的三等分角的仪器——勾尺．
勾尺的直角顶点为P，PQ（“宽臂”的宽度）＝QR＝RS，勾尺的另一边为MN，且满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．
小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将∠ABC三等分：
第一步：如图4，画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；
第二步：如图5，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在DE上，使MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；
第三步：如图6，标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．
然后小瑞利用图6，证明射线BQ和射线BP是∠ABC的三等分线，请补全证明过程：
证明：∵BQ垂直平分线段PR，
∴ ＝ ．
∵BQ⊥PR，
∴∠PBQ＝∠RBQ．
（请继续完成后面的证明过程）
25．（7分）如图，△ABC中AB＝AC，过B作BD⊥AB，交直线AC于D，在线段BD上取一点E，使BE＝CD，过E作BC的垂线交BC于F、交AC于G．
（1）根据题意补全图形；
（2）求证：∠DGE＝∠CBD；
（3）探索AG、BD、CG的数量关系，并证明你的结论．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和数b，将点Q（﹣x，y+b）称为点P的“b﹣关联点”．例如，点（1，﹣1）的“3﹣关联点”为（﹣1，2）．
（1）若点Q是点P（3，2）的“1﹣关联点”，则点Q的坐标为 ；
（2）P（﹣1，t﹣1），N（2t，5t）的“b﹣关联点”分别是点P1，N1，且点P1在x轴上，△OP1N1的面积为1，求t和b的值；
（3）点A（1，﹣1），B（5，﹣1），以AB为边在直线AB的下方作正方形ABCD，点E（﹣4，0），F（﹣3，2），G（﹣2，1）的“b﹣关联点”分别为E1，F1，G1，若△E1F1G1与正方形ABCD的边有公共点，直接写出b的取值范围．
2023-2024学年北京市西城区三帆中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每题2分）
1．（2分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a3）2＝a5
C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6D．3a2÷6a2＝2a
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
B．（a3）2＝a6，故此选项不合题意；
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故此选项不合题意；
D．3a2÷6a2＝，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么整数a的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．14
【分析】利用三角形的三边关系可得a的取值范围．
【解答】解：由三角形的三边关系可得：8﹣5＜a＜5+8，
则3＜a＜13，
所以a的值可以是4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边之差小于第三边．
4．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．三个角都相等的三角形是等边三角形
B．等腰三角形的中线就是角平分线
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质和角平分线的性质逐个进行分析判断，即可得到答案．
【解答】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，不符合题意；
B、等腰三角形底边的中线就是顶角的角平分线，说法错误，符合题意；
C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，说法正确，不符合题意；
D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键．
5．（2分）如图，已知∠1＝45°，∠B＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．120°C．115°D．110°
【分析】由∠2是△ABD的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2＝∠1+∠B＝45°+65°＝110°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
6．（2分）△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．有30°角的直角三角形
D．钝角三角形
【分析】直接根据非负数的性质得出结论即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b，b＝c，c＝a，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，偶次方，解此题的关键是根据非负数的性质得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0．
7．（2分）某中学校庆活动搭建的舞台如图（阴影部分），这个舞台的面积为（ ）
A．a2﹣b2B．a2+b2C．a2﹣2b2D．
【分析】根据“阴影部分面积＝大长方形面积﹣小正方形面积”列式化简即可．
【解答】解：由题意得，阴影部分面积＝大长方形面积﹣小正方形面积，
其中大长方形面积＝长×宽＝（+b+）×（a﹣b）＝a2﹣b2．
小正方形面积＝b2．
∴阴影部分的面积＝a2﹣2b2．
故选：C．
【点评】本题考查根据几何图形关系列代数式，解题的关键是清楚题图中各量之间的关系，并能正确的列式化简．
8．（2分）△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别是线段BD、线段AB上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．4B．3C．8D．16
【分析】在BC上取一点F'，使BF'＝BF，连接EF'，AF'，证明出AE+EF的最小值为AC的长，再根据直角三角形的性质得到AC＝AB＝4，于是得到结论．
【解答】解：在BC上取一点F'，使BF'＝BF，连接EF'，AF'，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠F'BE＝∠FBE，
又∵BE＝BE，
∴△EBF'＝△EBF（SAS），
∴EF'＝EF，
∴AE+EF＝AE+EF'≥AF'≥AC，
∴AE+EF的最小值为AC的长，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，三角形两边之和大于第三边，垂线段最短，能将两线段的和的最小值用一条线段的长表示使解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每题2分）
9．（2分）若（x﹣4）0＝1，则x的取值范围是 x≠4 ．
【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．
【解答】解：由（x﹣4）0＝1，得
x﹣4≠0．
解得x≠4，
故答案为：x≠4．
【点评】本题考查了零指数幂，注意零指数幂的底数不能为零．
10．（2分）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 六 边形．
【分析】设这个多边形的边数是n，根据题意得方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得：n＝6，
即这个多边形是六边形，
故答案为：六．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得方程是解题的关键．
11．（2分）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的 稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
12．（2分）如图，已知△ABC的面积为10，将△ABC沿某直线对称后得到△EDC（B与D对应，A与E对应），且B、C、D三点共线，连接AD，则△ABD的面积为 20 ．
【分析】先根据轴对称得到点C为BD的中点，再根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分即可求出△ABD的面积．
【解答】解：将△ABC沿某直线对称后得到△EDC（B与D对应，A与E对应），且B、C、D三点共线，
∴点C是BD的中点，
∴S△ABC＝S△ACD＝10，
∴S△ABD＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键．
13．（2分）如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为 ﹣1 ．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a2﹣a＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）
＝a2﹣2a+1+a2﹣4
＝2a2﹣2a﹣3，
∵a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴当a2﹣a＝1，原式＝2（a2﹣a）﹣3
＝2×1﹣3
＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为4cm和8cm，则这根铁丝的长为 20 cm．
【分析】分情况求出等腰三角形第三边长，再求出周长即可．
【解答】解：若4cm为腰，∵4+4＝8，
∴4cm不可能为腰，
若4cm为底，则8cm为腰，此时可以构成等腰三角形，其周长为4+8+8＝20（cm），
故答案为：20．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝50°，点E、F分别在BC边和AC边上，作线段EF的垂直平分线l交AB边于D，满足∠ADF＝60°，2AD＝BD时，∠DFE＝ 70° ．
【分析】连接DE，根据线段垂直平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质推出BD＝DF＝DE，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：如图，连接DE，
∵线段EF的垂直平分线l交AB边于D，
∴DF＝DE，
∵∠A＝90°，∠ADF＝60°，
∴∠AFD＝30°，
∴DF＝2AD，
∵2AD＝BD，
∴BD＝DF＝DE，
∴∠B＝∠DEB＝50°，
∴∠BDE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠FDE＝180°﹣∠ADF﹣∠BDE＝40°，
∴∠DFE＝∠DEF＝×（180°﹣∠FDE）＝70°，
故答案为：70°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16．（2分）如图，把△ABC放到平面直角坐标系xOy中，使得A（m，n），B（0，2n）．点C在x轴上且∠OCB＝∠BAO．那么下列结论正确的是 ①②④ （填写序号）．
①AB＝AO；
②∠AOC＝∠ABC；
③∠ACB＝∠BAO；
④OC+BC＝2m；
⑤AD＝n．
【分析】过点A作AE⊥x轴，AG⊥y轴，过点A作AF⊥BC，然后根据三角形相似及三角形全等判断即可．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴，AG⊥y轴，如图，则：
AB＝，OA＝，
∴AB＝AO，故①正确；
在△ABD和△CDO中：∠OCB＝∠BAO．∠CDO＝∠ADB，
∴∠AOC＝∠ABC，故②正确；
∵∠OCB＝∠BAO．∠CDO＝∠ADB，
∴△CDO∽△ADB，
∴，
∴△ADC∽△BDO，
∴∠ACD＝∠BOD，
即∠ACB＝∠BOA，
∵无法判断BO＝AB，
∴不能得到∠BOA＝∠BAO，
∴∠ACB与∠BAO大小关系无法判断，故③错误；
过点A作AF⊥BC，
∵∠AFB＝∠AEO＝90°，∠ABF＝∠AOE，AB＝AO，
∴△ABF≌△AOE（AAS），
∴BF＝OE，AF＝AE，
∵AF＝AE，AC＝AC，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴CF＝CE，
∴OC+BC＝OC+CF+BF＝OC+CE+OE＝2OE＝2m，故④正确；
∵AE＝AF＝OG＝n，
∴当D与F不重合时 AD＞AF，即AD＞n，
当D与F重合时 AD＝AF，即AD＝n，故⑤错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
三、计算题（本题共16分，每小题8分）
17．（8分）计算：
（1）（x+2y）（x﹣3y）；
（2）（4x2y﹣6xy）÷2xy．
【分析】（1）直接利用多项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则化简，进而得出答案
【解答】解：（1）原式＝x2﹣3xy+2xy﹣6y2
＝﹣xy+x2﹣6y2；
（2）原式＝2x﹣3．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）分解因式：
（1）ab2﹣a；
（2）x2y﹣6xy+9y．
【分析】（1）直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）ab2﹣a
＝a（b2﹣1）
＝a（b+1）（b﹣1）；
（2）x2y﹣6xy+9y
＝y（x2﹣6x+9）
＝y（x﹣3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
四、解答题（本题共52分，第19-23题每题6分，24、25题每题7分，26题8分）
19．（6分）如图，点A、E、B、D在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，AE＝DB．求证：∠C＝∠F．
【分析】求出AB＝DE，根据SAS证△ACB≌△DFE，根据全等三角形的性质推出即可．
【解答】证明：∵AE＝DB，
∴AE+BE＝DB+BE，
∴AB＝DE，
在△ACB和△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（SAS），
∴∠C＝∠F．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等 三角形的对应边相等，对应角相等．
20．（6分）先化简，再求值：（x+2）2+（x+3）（x﹣3），其中x＝1．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+2）2+（x+3）（x﹣3）
＝x2+4x+4+x2﹣9
＝2x2+4x﹣5，
当x＝1时，原式＝2×12+4×1﹣5＝2+4﹣5＝1．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
21．（6分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥CB，F是BD的中点．
（1）求证：△BDE是等腰三角形．
（2）若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBD是等腰三角形，即可解答；
（2）先利用平行线的性质可得∠DEB＝130°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DEF＝∠DEB＝65°，即可解答．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥CB，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴△EBD是等腰三角形；
（2）解：∵DE∥CB，
∴∠DEB＝180°﹣∠ABC＝130°，
∵EB＝ED，F是BD的中点，
∴∠DEF＝∠DEB＝65°，
∴∠DEF的度数为65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（6分）小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：线段CD，使得线段CD将△ABC分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边AC的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；
②连接CD．
则线段CD为所求．
（1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线MN是线段AC的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC＝DA．（ 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ）（填推理的依据）
∴∠ A ＝∠ DCA ．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣ ∠DCA ．
∠B＝90°﹣∠A．
∴∠BCD＝∠B．
∴DC＝DB．（ 等角对等边 ）（填推理的依据）
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）分别证明DA＝DC，DC＝DB，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵直线MN是线段AC的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC＝DA（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），
∴∠A＝∠DCA．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠DCA．
∠B＝90°﹣∠A．
∴∠BCD＝∠B．
∴DC＝DB（等角对等边），
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，A，DCA，∠DCA，等角对等边．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（6分）我们有公式：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．
反过来，就得到可以作为因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
如果有一个关于x的二次项系数是1的二次三项式x2+px+q，它的常数项可以看作两个数a与b的积，而它的一次项的系数恰是a与b的和，它就可以分解为（x+a）（x+b），也就是说：当p＝a+b，q＝ab时，有x2+px+q＝x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
例如：x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；m2+17m+60＝（m+12）（m+5）；
x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3）；x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）．
下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣2）（x2﹣2x+4）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣2x＝y，则原式＝（y﹣2）（y+4）+9＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2．
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ 否 （填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣1）4 ；
（2）请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3进行因式分解．
【分析】（1）根据分解因式的方法得出答案即可；
（2）设x2﹣2x＝y，则原式＝y（y﹣2）﹣3，去括号后分解因式，再代入，最后再分解因式即可．
【解答】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是（x﹣1）4．
故答案为：否，（x﹣1）4；
（2）（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3，
设x2﹣2x＝y，则原式＝y（y﹣2）﹣3
＝y2﹣2y﹣3
＝（y﹣3）（y+1）
＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1）
＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．
【点评】本题考查了分解因式，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
24．（7分）阅读理解：
借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题．
（1）如图1是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，相邻两根木条的连接处是可以转动的．在如图2的几种用法中，能作出∠MON的平分线的有 ①③ ．（填写序号）
（2）同学们在探究的过程中，发现利用勾尺可以解决一个尺规作图不可能完成的三等分角问题．
如图3是小瑞设计出的三等分角的仪器——勾尺．
勾尺的直角顶点为P，PQ（“宽臂”的宽度）＝QR＝RS，勾尺的另一边为MN，且满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．
小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将∠ABC三等分：
第一步：如图4，画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；
第二步：如图5，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在DE上，使MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；
第三步：如图6，标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．
然后小瑞利用图6，证明射线BQ和射线BP是∠ABC的三等分线，请补全证明过程：
证明：∵BQ垂直平分线段PR，
∴ BP ＝ BR ．
∵BQ⊥PR，
∴∠PBQ＝∠RBQ．
（请继续完成后面的证明过程）
【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质一一判断即可；
（2）由“ASA”可证△BPJ≌△PBT，可得∠PBJ＝∠PBT，由等腰三角形的性质可求∠PBQ＝∠RBQ，即可求解．
【解答】（1）解：①∵OB＝OD，CD＝CB，OC＝OC，
∴△OCD≌△OCB（SSS），
∴∠DOC＝∠BOC，
∴OC是∠MON的平分线．正确；
②∵AO＝AB，OC＝BC，
∴AC垂直平分OB，
∴不能证明OB是∠MON的平分线．错误；
③∵AD＝AB，AO＝AO，DO＝BO，
∴△ADO≌△ABO（SSS），
∴∠AOD＝∠AOB，
∴OA是∠MON的平分线．正确；
故答案为：①③；
（2）如图6，设DE与BQ交于点J，BC与PT交于点T，
∵BQ垂直平分线段PR，
∴BP＝BR，
∵BQ⊥PR，
∴∠PBQ＝∠RBQ．
∵JP∥BT，BJ∥PT，
∴∠BPJ＝∠PBT，∠PBJ＝∠BPT，
又∵BP＝BP，
∴△BPJ≌△PBT（ASA），
∴∠PBJ＝∠PBT，
∴∠PBT＝∠PBJ＝∠RBQ，
∴射线BQ和射线BP是∠ABC的三等分线，
故答案为：BP，BR．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．（7分）如图，△ABC中AB＝AC，过B作BD⊥AB，交直线AC于D，在线段BD上取一点E，使BE＝CD，过E作BC的垂线交BC于F、交AC于G．
（1）根据题意补全图形；
（2）求证：∠DGE＝∠CBD；
（3）探索AG、BD、CG的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据题意作图；
（2）根据直角三角形的性质证明；
（3）根据全等三角形的性质及线段的和差求解．
【解答】（1）解：如图1所示：
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ABD＝∠GFC＝90°，
∴∠ACB+∠CGF＝∠ABC+∠DBC＝90°，
∴∠DGE＝∠CBD；
（3）2AG+CG＝BD，
理由：过D作DG⊥BM于M，延长BA和EG交于H，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠DCM＝∠ACB＝∠ABC，
∴∠MDC＝∠DGE＝∠CBD，
∵CD＝BE，∠DMB＝∠BFE＝90°，
∴△CDM≌△EBF（AAS），
∴DM＝BF，
∵∠H+∠MBH＝∠BCA+∠CGF＝90°，
∴∠H＝∠CGF，
∴AG＝AH，∠H＝∠MBD，
∵∠DMB＝∠HFB＝90°，
∴△HBF≌△BDM（AAS），
∴BD＝BH＝AB+AH＝AC+AG＝AG+CG+AG＝2AG+CG．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握三角形全等的判定定理和性质定理及线段的和差是解题的关键．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和数b，将点Q（﹣x，y+b）称为点P的“b﹣关联点”．例如，点（1，﹣1）的“3﹣关联点”为（﹣1，2）．
（1）若点Q是点P（3，2）的“1﹣关联点”，则点Q的坐标为 （﹣3，3） ；
（2）P（﹣1，t﹣1），N（2t，5t）的“b﹣关联点”分别是点P1，N1，且点P1在x轴上，△OP1N1的面积为1，求t和b的值；
（3）点A（1，﹣1），B（5，﹣1），以AB为边在直线AB的下方作正方形ABCD，点E（﹣4，0），F（﹣3，2），G（﹣2，1）的“b﹣关联点”分别为E1，F1，G1，若△E1F1G1与正方形ABCD的边有公共点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）直接运用点P的“b﹣关联点”的定义即可求得答案；
（2）运用点P的“b﹣关联点”的定义可得：P1（1，t﹣1+b），N1（﹣2t，5t+b），根据x轴上的点的特征可得t﹣1+b＝0，即b＝1﹣t，再利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
（3）根据正方形的性质可得：C（5，﹣5），D（1，﹣5），再运用“b﹣关联点”可得：E1（4，b），F1（3，2+b），G1（2，1+b），再由△E1F1G1与正方形ABCD的边有公共点，列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）∵点Q是点P（3，2）的“1﹣关联点”，
∴Q（﹣3，3），
故答案为：（﹣3，3）；
（2）∵P（﹣1，t﹣1），N（2t，5t）的“b﹣关联点”分别是点P1，N1，
∴P1（1，t﹣1+b），N1（﹣2t，5t+b），
∵点P1在x轴上，
∴t﹣1+b＝0，OP1＝1，
∴b＝1﹣t，
∵△OP1N1的面积为1，
∴×1×|5t+b|＝1，即|4t+1|＝2，
∴4t+1＝2或4t+1＝﹣2，
解得：t＝或﹣，
当t＝时，b＝1﹣＝；
当t＝﹣时，b＝1﹣（﹣）＝；
综上所述，t＝，b＝或t＝﹣，b＝；
（3）∵点A（1，﹣1），B（5，﹣1），四边形ABCD是正方形，如图，
∴C（5，﹣5），D（1，﹣5），
∵点E（﹣4，0），F（﹣3，2），G（﹣2，1）的“b﹣关联点”分别为E1，F1，G1，
∴E1（4，b），F1（3，2+b），G1（2，1+b），
∵△E1F1G1与正方形ABCD的边有公共点，
∴或，
∴﹣3≤b≤﹣1或﹣7≤b≤﹣5．
【点评】本题是正方形综合题，考查了三角形面积，正方形的性质，不等式组，正确理解和熟练应用关联点的定义是解题关键．
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