2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中八年级（下）开学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第24届冬奥会于2022年2月20日在世界首个“双奥之城”——北京圆满落下帷幕．下面是从历届冬奥会的会徽中选取的部分图形，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.地处北京怀柔科学城的“北京光源”(HEPS)是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米(nm)级.lnm=0.000000001m.将0.000000001用科学记数法表示应为( )
A. 1×10−8B. 1×10−9C. 10×10−10D. 0.1×10−8
3.下列计算正确的是( )
A. (x3)3=x6B. a6⋅a4=a24
C. (−mn)4÷(−mn)2=m2n2D. 3a+2a=5a2
4.如图所示的正五边形和等边三角形的一边重合，则∠α的度数是( )
A. 48°
B. 58°
C. 60°
D. 108°
5.多项式A与2x+y的乘积含有−xy项，那么A可能是( )
A. 3x−yB. 2x−yC. 1−xD. y−2
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥BC，DE⊥AC.若DE=1，则BD的长是( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
7.如果m2+m=5，那么代数式mm−2+m+22的值为( )
A. 14B. 9C. −1D. −6
8.如图，OA⊥OD，OA=2，P是射线OD上的一个动点，连接AP，以A为直角顶点向右作等腰直角△PAB，在OD上取一点C，使∠BCO=45°，当P在射线OD上自O向D运动时，PC长度的变化( )
A. 一直增大
B. 一直减小
C. 先增大后减小
D. 保持不变
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.使代数式 x−1在实数范围内有意义的x的取值范围是______．
10.分解因式：3x2−3= ______．
11.如图，在正方形方格中，点A，B，C在格点上，则∠ACB+∠ABC= ______°.
12.若分式x2−1x+1的值为0，则x= ．
13.将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是______．
14.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，D是BC的中点，DE/​/AB，则△CDE的周长为______．
15.若n200>6300，则n的最小正整数解为______．
16.某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务.现有三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间(单位：s)依次为a，b，c，其中a三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(3+ 7)(3− 7)− (−2)2+(12)−1．
18.(本小题8分)
计算：(x+2)(x−2)−x(x+1)．
19.(本小题8分)
解方程：2x+1=xx−1．
20.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形.下面是尺规作图过程.作法：
①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；
②作直线CD．
所以直线CD就是所求作的直线．
根据尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DB.(①______)(填推理的依据)
∴∠DCB=∠② ______．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°−∠DCB．
∠A=90°−∠③ ______．
∴∠ACD=∠A．
∴DC=DA.(④______)(填推理的依据)
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(1+1a)÷a2−14a−a−1a2−2a+1，其中a= 3+1．
22.(本小题8分)
如图，一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体无盖盒子，如果纸盒的容积为4a2b，底面长方形的一边长为b(b<4a)，求长方形纸板相邻两条边的长度．
23.(本小题8分)
小明想探究两个关于x的一次多项式相乘的结果中系数变化的规律，他先尝试用x+1与mx+n相乘，变化系数m与n的值，并记录相乘的结果如下：
(1)补全表格；
(2)若b=1，求m与n满足的关系；
(3)小明发现不论m与n如何变化，a，b，c之间都存在一种永恒不变的关系，请直接写出a，b，c满足的关系式______．
24.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，AB=AC，D是AC上的一点，BC= 10，BD=3，CD=1，求AB的长．
25.(本小题8分)
如图1，我们在2019年10月的日历中发现一种“结构”，现定义一种“结构”运算，(a,b,c,d)=bd−ac−2a，可以发现，对于符合结构要求的四个数，运算结果是相同的.如10×16−9×15−2×9=19×25−18×24−2×18=7．
(1)如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置的“结构”运算，可以发现相应的“结构”运算结果也是一个定值，则这个定值为______．
(2)若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“结构”运算结果是与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的一点(不含端点，BD>CD)，点E与点B关于AD对称.连接BE交AC于点F，过点C作直线l⊥AC交射线AE于点P．
(1)依据题意补全图；
(2)若∠CAD=25°，求∠APC的值；
(3)求证：AF+CP=AP．
27.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴、直线l的“二次对称点”．

(1)若点P(−2,0)，直线l是经过(0,1)且平行于x轴的一条直线，则点P的“二次对称点”的坐标为______；
(2)如图1，点A(a,0)是x轴正半轴上的一个动点，直线l经过原点且与x轴正半轴的夹角为30°，若点B是点A关于y轴，直线l的“二次对称点”，求线段AB的长度(用含a的代数式表示)；
(3)如图2，T(t,0)(t>0)是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是R(t,1)，S(t,−2)，直线l经过(0,1)且与x轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点N′是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点N′在y轴上，则点N′纵坐标y的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000001=1×10−9．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：A、(x3)3=x3×3=x9，故本选项错误；
B、a6⋅a4=a6+4=a10，故本选项错误；
C、(−mn)4÷(−mn)2=m2n2，故本选项正确；
D、3a+2a=5a，故本选项错误．
故选C．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；单项式的除法，合并同类项法则对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，合并同类项法则，熟记各性质并理清指数的变化情况是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：正五边形的一个内角为：
180°−360°5=108°，
等边三角形的一个内角为60°，
∴α=108°−60°=48°，
故选：A．
分别算出正五边形一个内角度数和等边三角形一个内角度数，即可得出答案．
本题主要考查了正五边形的内角和等边三角形的内角，解题的关键是求出正五边形一个内角度数和等边三角形一个内角度数．
5.【答案】C
【解析】解：A.∵(2x+y)(3x−y)=6x2−2xy+3xy−y2=6x2+xy−y2，
∴多项式3x−y与2x+y的乘积不含−xy项，故A不符合题意；
B.∵(2x+y)(2x−y)=4x2−y2，
∴多项式2x−y与2x+y的乘积不含−xy项，故B不符合题意；
C.∵(2x+y)(1−x)=2x−2x2+y−xy，
∴多项式1−x与2x+y的乘积含有−xy项，故C符合题意；
D.∵(2x+y)(y−2)=2xy−4x+y2−2y，
∴多项式y−2与2x+y的乘积不含有−xy项，故D不符合题意．
故选：C．
将四个选项中的多项式与2x+y相乘，求出结果，再进行判断即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算．
6.【答案】D
【解析】解：∵DE⊥AC，DE=1，∠C=30°，
∴DC=2DE=2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=2，
故选：D．
根据含有30°角的直角三角形的性质可得DC=2，由等腰三角形的性质，可得BD=CD=2，即可得到答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质、含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含有30°角的直角三角形的性质，是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了整式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
直接利用单项式乘多项式和完全平方公式计算，再把已知代入得出答案．
【解答】
解：mm−2+m+22
=m2−2m+m2+4m+4
=2m2+2m+4．
当m2+m=5时，原式=2(m2+m)+4=2×5+4=10+4=14．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：过点B作BH⊥OA于H，BG⊥OC于G，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴AB=AP，∠BAP=90°，
∴∠PAO+∠BAH=90°，
∵∠PAO+∠OPA=90°，
∴∠OPA=∠BAH，
在△POA和△AHB中，
∠O=∠AHB∠OPA=∠∠BAHAP=AB，
∴△POA≌△AHB(AAS)，
∴OA=BH=2，OP=AH，
∵∠BCO=45°，BG⊥OC，
∴△CGB是等腰直角三角形，
∴CG=BG，
∴PC=CG−PG=OA+AH−(OP−OG)
=OA+AH−OP+OG
=OA+OG=4，
∴PC的长度保持不变，
故选：D．
过点B作BH⊥OA于H，BG⊥OC于G，先证明△POA≌△AHB(AAS)，得OA=BH=2，OP=AH，利用等量代换即可求解．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形进行求解．
9.【答案】x≥1
【解析】解：根据题意得，x−1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
根据被开方数大于等于0计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
10.【答案】3(x+1)(x−1)
【解析】解：3x2−3，
=3(x2−1)，
=3(x+1)(x−1)．
首先提取公因式3，然后运用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查提公因式法，公式法分解因式，注意：这里的公因式是数字3，因式分解要进行彻底．
11.【答案】45
【解析】解：如图，∵AD=BD，且∠ADB=90°，
∴∠DAB=45°，
∵∠DAB=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACB+∠ABC=45°，
故答案为：45．
由网格可知AD=BD且∠ADB=90°，再根据三角形外角的性质即可求解．
本题考查了等腰直角三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．分式的值为0的条件是：①分子为0；②分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】
解：由分式x2−1x+1的值为0，得
x2−1=0且x+1≠0，
解得x=±1且x≠−1，
∴x=1．
故答案为：1．
13.【答案】a2+b2=c2
【解析】解：大正方形的边长为(a+b)，因此面积可以表示为(a+b)2，
大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为c2+4×12ab=c2+2ab，
因此(a+b)2=c2+2ab，
即a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴a2+b2=c2．
故答案为：a2+b2=c2．
用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．
14.【答案】10
【解析】解：连接AD，如图所示：
∵D是BC的中点，BC=4，
∴CD=12BC=2，
∵AB=AC=8，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠EAD=∠EDA，
∴DE=AE，
∴CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=2+8=10．
故答案为：10．
连接AD，根据AB=AC=8，D是BC的中点，得出AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，根据DE/​/AB，得出∠BAD=∠ADE，证明∠EAD=∠EDA，得出DE=AE，得出CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=2+8=10．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明DE=AE．
15.【答案】15
【解析】解：∵n200=(n2)100，6300=(63)100，n为正整数，
∴当n2>63时，n200>6300，
∴n> 63，
即n> 216，
∵142<216<152，
∴14< 216<15，
∴最小的正整数n为15．
故答案为：15．
先根据n200=(n2)100，6300=(63)100，n为正整数，得出当n2>63时，n200>6300，得出n> 63，根据14< 216<15，，即可得出结果．
本题主要考查了积的乘方运算，无理数的估算，掌握积的乘方运算，无理数的估算方法是关键．
16.【答案】U V W
【解析】解：当执行顺序为U→V→W时，三项任务相对等待时间之和为：
S1=aa+a+a+ba+b+a+a+b+a+b+ca+b+c，
当执行顺序为U→W→V时，三项任务相对等待时间之和为：
S2=aa+a+a+ca+c+a+a+c+a+b+ca+b+c，
当执行顺序为V→U→W时，三项任务相对等待时间之和为：
S3=bb+b+b+ab+a+b+b+a+b+a+cb+a+c，
当执行顺序为V→W→U时，三项任务相对等待时间之和为：
S4=bb+b+b+cb+c+b+b+c+b+c+ab+c+a，
当执行顺序为W→U→V时，三项任务相对等待时间之和为：
S5=cc+c+c+ac+a+c+c+a+c+a+bc+a+b，
当执行顺序为W→V→U时，三项任务相对等待时间之和为：
S6=cc+c+c+bc+b+c+c+b+c+b+ac+b+a，
∵a∴不妨取a=1，b=2，c=3，
∴将a=1，b=2，c=3代入可得：
S1=4，S2=4912，S3=92，S4=13730，S5=5912，S6=7415，
∵4912>4，92>4，13730>4，5912>4，7415>4，
∴当执行顺序为U→V→W时，三项任务相对等待时间之和最小，
故答案为：U、V、W．
根据题意可得，共有六种顺序，分别求出每一种顺序中三项任务“相对等待时间”之和，由此能求出六种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小顺序．
本题考查简单的合情推理，解题的关键是读懂题目，理解清楚一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．
17.【答案】解：(3+ 7)(3− 7)− (−2)2+(12)−1
=9−7−2+112
=9−7−2+2
=2．
【解析】根据平方差公式，二次根式性质，负整数指数幂运算法则，进行计算即可．
本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式，二次根式性质，负整数指数幂运算法则，准确计算．
18.【答案】解：原式=x2−4−x2−x
=−x−4．
【解析】根据完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则计算即可．
本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
19.【答案】解：2x+1=xx−1，
方程两边同时乘以x(x−1)，得
2(x−1)+x(x−1)=x2，
∴x=2，
经检验x=2是原分式方程的解；
∴方程的解为x=2．
【解析】方程两边同时乘以x(x−1)，把分式方程转化为整式方程解答．
本题考查解分式方程，掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
20.【答案】垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 DBC B 等角对等边
【解析】解：(1)补全图形，如图：
(2)证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DB.(垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，
∴∠DCB=∠DBC．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°−∠DCB．
∠A=90°−∠B．
∴∠ACD=∠A．
∴DC=DA.(等角对等边)，
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
故答案为：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DBC；B；等角对等边．
(1)根据作图步骤补全图形即可；
(2)根据证明过程补充推理的依据或结论即可．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图方法．
21.【答案】解：(1+1a)÷a2−14a−a−1a2−2a+1
=a+1a÷(a+1)(a−1)4a−a−1(a−1)2
=a+1a⋅4a(a+1)(a−1)−1a−1
=4a−1−1a−1
=3a−1，
把a= 3+1代入得：原式=3 3+1−1=3 3= 3．
【解析】先根据分式混合运算法则化简，然后再代入数据求值即可．
本题主要考查了分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
22.【答案】解：由题意得：
底面长方形的另一边长为：4a2b÷ab=4a，
∴长方形纸板的长为：2a+4a=6a，
长方形纸板的宽为：2a+b，
∴长方形纸板相邻两条边的长度为6a和2a+b．
【解析】根据长方体的容积=长×宽×高，结合条件，列出算式，求出无盖盒子底面长方形的另一边长，然后结合图形，求出答案即可．
本题主要考查了整式的除法，解题关键是根据长方体容积公式求出无盖盒子底面长方形的另一边长．
23.【答案】a+c=b
【解析】解：(1)∵(mx+n)(x+1)=mx2+(m+n)x+n，
∴当m=1，n=−2时，一次项系数b=1+(−2)=−1；
当m=2，c=3时，n=3，b=2+3=5，a=2；
当m=3，b=−2时，n=−2−3=−5，a=3，c=−5；
填表为：
(2)∵(mx+n)(x+1)=mx2+(m+n)x+n，
∴当b=1时，m+n=b=1；
(3)∵(mx+n)(x+1)=mx2+(m+n)x+n，
∴a=m，b=m+n，c=n，
∴a，b，c满足的关系式为a+c=b．
故答案为：a+c=b．
(1)通过多项式与多项式相乘(mx+n)(x+1)=mx2+(m+n)x+n，结合表格中的数据进行填空即可；
(2)根据(mx+n)(x+1)=mx2+(m+n)x+n得出当b=1时，m+n=b=1；
(3)根据(mx+n)(x+1)=mx2+(m+n)x+n得出a=m，b=m+n，c=n，即可得出b=a+c．
本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是关键．
24.【答案】解：在△BCD中，BC= 10，BD=3，CD=1，
则BD2+CD2=32+12=( 10)2=BC2，
∴△BCD为直角三角形，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，即AB2=(AB−1)2+32，
解得AB=5．
【解析】根据勾股定理的逆定理可得△BCD为直角三角形，根据勾股定理即可求得．
本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理判定△BCD为直角三角形．
25.【答案】5
【解析】解：(1)设a=x，则b=x+1，c=x+4，d=x+5，
∴(a,b,c,d)=bd−ac−2a=(x+1)(x+5)−x(x+4)−2x=x2+6x+5−x2−4x−2x=5，
故答案为：5．
(2)定值为k．
理由：
设a=m，则b=m+1，c=m+k−1，d=m+k，
∴(a,b,c,d)=bd−ac−2a=(m+1)(m+k)−m(m+k−1)−2m=m2+km+m+k−m2−km+m−2m=k．
答：定值为k．
(1)设a=x，则b=x+1，c=x+4，d=x+5，故(a,b,c,d)=bd−ac−2a=(x+1)(x+5)−x(x+4)−2x=x2+6x+5−x2−4x−2x=5．
(2)设a=m，则b=m+1，c=m+k−1，d=m+k，故(a,b,c,d)=bd−ac−2a=(m+1)(m+k)−m(m+k−1)−2m=m2+km+m+k−m2−km+m−2m=k．
本题考查了数字的变化知识，按表列式是解题关键．
26.【答案】(1)解：补全图形如图1；

(2)解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠CAD=25°，
∴∠ADB=70°，∠BAD=65°，
∵点E与点B关于AD对称，
∴∠BAE=2∠BAD=130°，
∴∠CAP=∠BAE−90°=40°，
在Rt△ACP中，∠APC=90°−∠CAP=50°；
(3)证明：如图2：延长PC，和AD的延长线交于点G，

∵AB=AC=CH，∠BAC=∠ACG=90°，AG⊥BE，
∴∠GAF=90°−∠AFB，∠ABF=90°−∠AFB，
∴∠GAF=∠ABF，
∴△BAF≌△ACG(ASA)，
∴AF=CG，∠AGP=∠AFB，
∵∠GAF=90°−∠AFB，∠GAF=90°−∠BAG，
∴∠AFB=∠BAG=∠AGP，
∴∠AGP=∠PAG，
∴AP=PG，
故AF+CP=AP．
【解析】(1)根据题意作图即可；
(2)根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质可得∠ADB=70°，∠BAD=65°，根据对称的性质可得∠BAE=2∠BAD=130°，求得∠CAP=∠BAE−90°=40°，根据三角形的内角和定理即可求得；
(3)延长PC，和AD的延长线交于点G，根据全等三角形判定和性质可得AF=CG，∠AGP=∠AFB，等量代换可得∠AGP=∠PAG，根据等角对等边可得AP=PG，即可求得．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对称的性质，全等三角形判定和性质，等角对等边等，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质构建全等三角形．
27.【答案】(2,2) −5≤yN′<1
【解析】解：(1)∵点P(−2,0)，
∴点P关于y轴的对称点为(2,0)，
∵直线l是经过(0,1)且平行于x轴的一条直线，
∴点(2,0)关于直线l的对称点为：(2,2)，
∴点P的“二次对称点”的坐标为(2,2)．
故答案为：(2,2)．
(2)如图1，点A关于y轴的对称点为点C，点C关于直线l的对称点为点B，连接BO，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵A(a,0)是x轴正半轴上的一个动点，
∴C(−a,0)，
∴OC=a，
∵直线l经过原点且与x轴正半轴的夹角为30°，
∴∠COM=∠AON=30°，
∵点C与点B关于直线l对称，
∴OC=OB=a，∠BOM=∠COM=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∵BD⊥x轴，
∴OD=12OC=12a，
∴BD= OB2−OD2= 32a，
∴点B的坐标为(−12a,− 32a)，
∴线段AB的长度为 (−12a−a)2+(− 32a)2= 3a．
(3)当点N与点S重合，且N′在y轴上时，连接SN″交直线l于点K，交y轴于点J，连接KN′，设直线l与x轴，交于点D，交y轴于点C，如图2所示：
∵∠CDO=60°，OD//KJ，
∴∠CKJ=∠CDO=60°，
∴∠CKN″=180°−60°=120°，
∵N′与N″关于直线l对称，
∴∠CKN′=∠CKN″=120°，
∴∠N′KJ=120°−60°=60°，
∵∠CJK=∠N′JK=90°，
∴∠KCJ=90°−∠CKJ=30°，
∠KN′J=90°−∠N′KJ=30°，
∴∠KCJ=∠KN′J，
∴KC=KN′，
∵KJ⊥CN′，
∴N′J=JC=1−(−2)=3，
∴ON′=OJ+JN′=2+3=5，
∴此时点N′的纵坐标为−5；
当点T与原点重合时，N与(0,1)重合，此时点N′，N″都与(0,1)重合，此时点N′的纵坐标为1，如图3所示：
根据题意可知，t>0，观察图象可知，满足条件的N′纵坐标的取值范围是−5≤yN′<1．
故答案为：−5≤yN′<1．
(1)根据题目中的定义进行求解即可；
(2)点A关于y轴的对称点为点C，点C关于直线l的对称点为点B，连接BO，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△BOC为等边三角形，根据等边三角形性质得出OD=12OC=12a，BD= OB2−OD2= 32a，得出B的坐标为(−12a,− 32a)，根据两点间距离公式求出结果即可；
(3)当点N与点S重合，且N′在y轴上时，连接SN″交直线l于点K，交y轴于点J，连接KN′，设直线l与x轴，交于点D，交y轴于点C，求出此时点N′的纵坐标为−5；当点T与原点重合时，N与(0,1)重合，此时点N′，N″都与(0,1)重合，此时点N′的纵坐标为1，结合图象即可得出答案．
本题主要考查了了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，新定义问题，两点间距离公式，解题的关键是理解题意，数形结合，根据题意画出图形．m
1
2
1
2
3
……
n
1
1
−2
……
结果中二次项系数a
1
2
1
……
结果中一次项系数b
2
3
−2
……
结果中常数项c
1
1
−2
3
……
a
b
c
d
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
m
1
2
1
2
3
……
n
1
1
−2
3
−5
……
结果中二次项系数a
1
2
1
2
3
……
结果中一次项系数b
2
3
−1
5
−2
……
结果中常数项c
1
1
−2
3
−5
……