2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝（ ）
A．5B．8C．﹣8D．6
2．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
3．（2分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点都在二次函数y＝2（x+1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
4．（2分）用配方法将一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0变形为（x+m）2＝n的形式是（ ）
A．（x+3）2＝13B．（x﹣3）2＝4C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝13
5．（2分）如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．65°B．50°C．30°D．25°
6．（2分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
7．（2分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．D．2π﹣2
8．（2分）如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B．以点A为圆心，线段AP的长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S．则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系、一次函数关系
B．一次函数关系，正比例函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系
D．正比例函数关系，二次函数关系
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣5）的抛物线的表达式 ．
10．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
11．（3分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为100万人，5月份的参观人数增加到144万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
12．（3分）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 mm．
13．（3分）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A，B．如果OP＝2，∠AOB＝120°，则PA＝ ．
14．（3分）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝3，则AB的长为 ．
15．（3分）用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
16．（3分）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 m．
三、解答题（本题共60分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
18．（5分）已知，关于x的一元二次方程x2+ax﹣a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．
19．（5分）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O．
求作：⊙O的内接正方形．
作法：①作⊙O的直径AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N；
③作直线MN交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC，AD，BD．
∴四边形ACBD就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是AB的 ，
∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°．
∴AC＝BC＝BD＝AD．（ ）（填推理依据）
∴四边形ACBD是菱形．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．（ ）（填推理依据）
∴四边形ACBD是正方形．
20．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
21．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）根据表格填空：抛物线与x轴的交点坐标是 和 ；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）m的值为 ；
（4）在给定的平面直角坐标系中，酉出这个二次函数的图象．
22．（5分）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于58cm2，则李明剪的这两个正方形的边长分别是多少？
解决问题：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长可以表示为 ．
请你帮助李明完成后面的解答过程．
23．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，⊙O与AC的另一个交点为E．
（1）求证：BO平分∠ABC；
（2）若∠A＝30°，AE＝1，求BO的长．
24．（5分）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为x米时，距地面的高度为y米．
请你解决以下问题：
（1）结合表中所给的数据，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
（2）求起跳点A距离地面的高度；
（3）在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？请说明理由．
25．（6分）抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）经过点（2，﹣2），点A（n﹣2，y1），B（n﹣l，y2）．C（n+1，y3）在该抛物线上．
（1）求该抛物线的对称轴：
（2）若0＜n＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由，
26．（7分）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
27．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．
（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中， 是点A的“直角点”；
（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．
2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝（ ）
A．5B．8C．﹣8D．6
【分析】x＝m满足方程m2﹣2m﹣3＝0．利用整体代入的思想解决问题；
【解答】解：将x＝m代入方程，可得m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3．
∴2m2﹣4m+2＝2（m2﹣2m）+2＝2×3+2＝8；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+4是顶点式，
∴顶点坐标是（1，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
3．（2分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）三点都在二次函数y＝2（x+1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：∵y＝2（x+1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1），
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
4．（2分）用配方法将一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0变形为（x+m）2＝n的形式是（ ）
A．（x+3）2＝13B．（x﹣3）2＝4C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝13
【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0，
移项得，x2﹣6x＝4，
配方得，x2﹣6x+32＝4+32，
（x﹣3）2＝13，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．（2分）如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．65°B．50°C．30°D．25°
【分析】求出∠BOC，根据圆周角定理得出∠BDC＝BOC，代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝50°，
∴∠BDC＝BOC＝25°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，能熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键．
6．（2分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
【分析】根据勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD的长，然后与300m比较大小，即可解答本题．
【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵点D是斜边AC的中点，
∴AD＝CD＝250m，BD＝AC＝250m，
∵250＜300，
∴点A、B、C都在圆内，
∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．
故选：D．
【点评】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到D点的距离．
7．（2分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．D．2π﹣2
【分析】根据图形得出△AOC、△OBC、△OBD都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出OC，再分别求出扇形COE，扇形OFE，扇形EOD和△OBD的面积即可．
【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°，
∴∠AOC＝∠ACO＝45°，
同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD）
＝[﹣]+[﹣]
＝π﹣+π﹣2
＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
8．（2分）如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B．以点A为圆心，线段AP的长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S．则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系、一次函数关系
B．一次函数关系，正比例函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系
D．正比例函数关系，二次函数关系
【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
【解答】解：y＝5﹣t，属于一次函数关系，
S＝πt2，属于二次函数关系，
故选：C．
【点评】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣5）的抛物线的表达式 y＝2x2﹣x﹣5（答案不唯一） ．
【分析】根据a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点即可解答．
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于点（0，﹣5），
∴c＝﹣5，
∴一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣5）的抛物线的表达式为：y＝2x2﹣x﹣5，
故答案为：y＝2x2﹣x﹣5（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 k＜1 ．
【分析】利用根的判别式进行计算，令Δ＞0即可得到关于k的不等式，解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即4﹣4k＞0，
k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
11．（3分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为100万人，5月份的参观人数增加到144万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 100（1+x）2＝144 ．
【分析】利用5月份的参观人数＝3月份的参观人数×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：100（1+x）2＝144．
故答案为：100（1+x）2＝144．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（3分）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 900 mm．
【分析】利用弧长的计算公式即可求解．
【解答】解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm，
由弧长公式得：＝800π，
解得：R＝900，
即此圆弧所在圆的半径为900mm，
故答案为：900．
【点评】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长公式是解题的关键．
13．（3分）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A，B．如果OP＝2，∠AOB＝120°，则PA＝ ．
【分析】利用切线的性质和切线长定理得到OP平分∠APB，∠PAO＝∠PBO＝90°，则利用四边形内角和可计算出∠APB＝60°，所以∠APO＝∠APB＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠APO＝∠APB＝30°，
在Rt△OAP中，∵OA＝OP＝1，
∴PA＝OP＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
14．（3分）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝3，则AB的长为 2 ．
【分析】连接OB、OA．根据正六边形的性质得到∠BOA＝60°，OB＝OA，根据等腰三角形的性质得到AH＝BH，∠AOH＝AOB＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OB、OA．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOA＝60°，OB＝OA，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，∠AOH＝AOB＝30°，
∵OH＝3，
∴AH＝OH＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
15．（3分）用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 1 ．
【分析】设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得：r＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（3分）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 11.25 m．
【分析】首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点B的纵坐标．
【解答】解：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立直角坐标系，
由题意得：A（3，10），C（5，0），对称轴为直线x＝3.5，
设解析式为y＝a（x﹣3.5）2+k，
所以，
解得a＝﹣5，k＝11.25，
所以y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
所以B（3.5，11.25），点B距离水面11.25m．
故答案为：11.25．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题关键．
三、解答题（本题共60分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26、27题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】移项后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，开方后得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x﹣2）2＝11，题目比较典型，难度适中．
18．（5分）已知，关于x的一元二次方程x2+ax﹣a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．
【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出﹣a﹣1＜0，解不等式求得a的取值范围即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4×（﹣a﹣1）＝（a+2）2≥0，
∴无论a为何值，方程总有两个实数根；
（2）∵方程有一个根是负数，
∴﹣a﹣1＜0，
解得，a＞﹣1．
∴a的取值范围为a＞﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
19．（5分）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O．
求作：⊙O的内接正方形．
作法：①作⊙O的直径AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB同样长为半径作弧，两弧交于M，N；
③作直线MN交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC，AD，BD．
∴四边形ACBD就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵MN是AB的 垂直平分线 ，
∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°．
∴AC＝BC＝BD＝AD．（ 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 ）（填推理依据）
∴四边形ACBD是菱形．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．（ 直径所对圆周角是直角 ）（填推理依据）
∴四边形ACBD是正方形．
【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形即可；
（2）根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，然后根据圆心角、弧、弦定理证明四边形ACBD是菱形，再根据直径所对圆周角是直角可判断四边形ABCD是正方形．
【解答】解：（1）如图，四边形ADBC为所作；
（2）证明：∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°．
∴AC＝BC＝BD＝AD．（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
∴四边形ACBD是菱形．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．（直径所对圆周角是直角），
∴四边形ACBD是正方形．
故答案为：垂直平分线，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，直径所对圆周角是直角．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和正方形的判定方法．
20．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
21．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）根据表格填空：抛物线与x轴的交点坐标是 （﹣1，0） 和 （3，0） ；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）m的值为 ﹣4 ；
（4）在给定的平面直角坐标系中，酉出这个二次函数的图象．
【分析】（1）由表中数据直接得出结论；
（2）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出得到抛物线解析式；
（3）把x＝1代入解析式即可求得；
（4）利用描点法画函数图象．
【解答】解：（1）由表中数据得，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝3时，y＝0，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（3，0），
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；
（2）设 y＝a（x+1）（x﹣3），
将（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（3）把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3得，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
∴m＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（4）∵图象经过点（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
如图所示：
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知待定系数法是解题的关键．
22．（5分）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于58cm2，则李明剪的这两个正方形的边长分别是多少？
解决问题：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长可以表示为 （10﹣x）cm ．
请你帮助李明完成后面的解答过程．
【分析】设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（10﹣x）cm，根据两个正方形的面积和等于58cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出其中一个正方形的边长，再将其代入（10﹣x）中可求出另一个正方形的边长．
【解答】解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为＝（10﹣x）cm，
依题意得：x2+（10﹣x）2＝58，
整理得：x2﹣10x+21＝0，
解得：x1＝3，x2＝7，
当x＝3时，10﹣x＝10﹣3＝7；
当x＝7时，10﹣x＝10﹣7＝3．
答：李明剪的这两个正方形的边长分别是3cm和7cm．
故答案为：（10﹣x）cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，⊙O与AC的另一个交点为E．
（1）求证：BO平分∠ABC；
（2）若∠A＝30°，AE＝1，求BO的长．
【分析】（1）连接OD，由圆O与AB相切得∠ODB＝90°，由HL定理证明Rt△BDO≌Rt△BCO，由全等三角形的性质得∠DBO＝∠CBO，即可得证；
（2）设的半径为x，则OD＝OE＝OC＝x，得出关系式2x＝1+x，求出x＝1，可得出AC的长，在△ACB中，由正切值求出BC，在Rt△BOC中，由勾股定理求出OB即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB与圆O相切，
∴∠ODB＝90°，
在Rt△BDO和Rt△BCO中，
，
∴Rt△BDO≌Rt△BCO（HL），
∴∠DBO＝∠CBO，
∴BO平分∠ABC；
（2）解：设圆O的半径为x，则OD＝OE＝OC＝x，
∵∠A＝30°，AE＝1，
∴2x＝1+x，
∴x＝1，
∴AC＝1+1+1＝3，
在Rt△ACB中，tanA＝，
∴BC＝AC•tan30°＝3×＝，
∴BO＝＝＝2．
【点评】本题考查了圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．
24．（5分）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为x米时，距地面的高度为y米．
请你解决以下问题：
（1）结合表中所给的数据，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
（2）求起跳点A距离地面的高度；
（3）在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？请说明理由．
【分析】（1）合表中数据和函数图象直接得出结论；
（2）先用待定系数法求出函数解析式，再令x＝0，即可得出结论；
（3）先把x＝3时代入函数解析式求出y＝4.60≠3.40，得出此次表演不成功．
【解答】解：（1）结合表中所给的数据可知：
当x＝2.50时，y取得最大值4.75，
∴演员身体距离地面的最大高度为4.75米；
（2）结合表中所给的数据可知：此抛物线的对称轴是直线x＝2.50，顶点坐标为（2.50，4.75），
∴设此抛物线为y＝a（x﹣2.50）2+4.75（a≠0），
把（1.00，3.40）代入，得：
3.40＝a（1.00﹣2.50）2+4.75，
解得：a＝﹣0.60，
∴此抛物线为y＝﹣0.60（x﹣2.50）2+4.75，
当x＝0时，y＝﹣0.60×（0﹣2.50）2+4.75＝1.00，
∴起跳点A距离地面的高度为1.00米；
（3）在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米，
由已知表格中的对应数据可知：x＝3.00时，y＝4.60≠3.40，
∴此次表演不成功．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据数据求出函数解析式．
25．（6分）抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）经过点（2，﹣2），点A（n﹣2，y1），B（n﹣l，y2）．C（n+1，y3）在该抛物线上．
（1）求该抛物线的对称轴：
（2）若0＜n＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由，
【分析】（1）将点（2，﹣2）代入解析式可得a与b的数量关系，再由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．
（2）由（1）可得抛物线开口向下及对称轴，根据点A，B，C到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：（1）将（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2得﹣2＝4a+2b﹣2，
∴b＝﹣2a，
∴﹣＝1，
∴抛物线对称轴为直线x＝1．
（2）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵0＜n＜1，
∴﹣2＜n﹣2＜﹣1，﹣1＜n﹣1＜0，1＜n+1＜2
∴1﹣（n﹣2）＞1﹣（n﹣1）＞n+1﹣1，
∴y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
26．（7分）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 60° ；
②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
【分析】（1）利用SAS证明△ABP'≌△ACP，即可得出答案；
（2）①由三角形内角和定理知∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，再利用角度之间的转化对∠P'BP进行转化，∠P'BP＝∠4+∠7＝∠5+60°﹣∠8＝60°﹣∠6+60°﹣∠8，从而解决问题；
②延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，得出四边形PBNC为平行四边形，则BN∥CP且BN＝CP，再利用SAS证明△P'BP≌△NBP，得PP'＝PN＝2PM．
【解答】解：（1）BP'＝CP，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠2+∠3＝60°
∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP；
（2）①当∠BPC＝120°时，
则∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，
∵△ABP'≌△ACP，
∴∠4＝∠5，
∴∠P'BP＝∠4+∠7
＝∠5+60°﹣∠8
＝60°﹣∠6+60°﹣∠8
＝120°﹣（∠6+∠8）
＝120°﹣60°
＝60°，
故答案为：60°；
②AP＝2PM，理由如下：
延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∴四边形PBNC为平行四边形，
∴BN∥CP且BN＝CP，
∴BN＝BP'，∠9＝∠6，
又∵∠8+∠6＝60°，
∴∠8+∠9＝60°，
∴∠PBN＝60°＝∠P'BP，
又∵BP＝BP，P'B＝BN，
∴△P'BP≌△NBP（SAS），
∴PP'＝PN＝2PM，
又∵△APP'为正三角形，
∴PP'＝AP，
∴AP＝2PM．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
27．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．
（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中， Q1和Q3 是点A的“直角点”；
（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据两点间距离公式和勾股定理的逆定理证明OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，可得∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，再根据“直角点”的定义可得结论；
（2）连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，分别以M，N为圆心，OB，OC为直径作圆，由图可知，Q1，Q2为两个临界点，即可求得答案；
（3）如图2，分别以OB，OC为直径作圆，确定正方形DEFG的极限位置如图2中的①②③④，当t+1＜0，即t＜﹣1时，正方形DEFG位于正方形①位置时，可得t＝﹣3，正方形DEFG位于正方形②位置时，利用两点间距离公式和勾股定理可得t＝1﹣，即﹣3≤t≤1﹣．同理可得：≤t≤3，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4），点A（6，8），
∴OQ1＝＝8，
OQ2＝＝，
OQ3＝＝＝，
OA＝＝10，
AQ1＝＝6，
AQ2＝＝＝，
AQ3＝＝＝，
∴OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，OQ22+AQ22≠OA2，
∴∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，
∴Q1和Q3是点A的直角点；
故答案为：Q1和Q3；
（2）如图1所示，连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，
分别以M，N为圆心，OB，OC为直径作圆，
由图可知，Q1，Q2为两个临界点，
则＝xM﹣Q2M＝﹣﹣＝﹣4，
同理，＝2+2，
∴﹣4≤n≤2+2；
（3）如图2，分别以OB，OC为直径作圆，
当t+1＜0，即t＜﹣1时，
正方形DEFG位于正方形①位置时，可得t＝﹣3，
正方形DEFG位于正方形②位置时，
∵F2（t+1，1），OF22+CF22＝OC2，
∴（t+1）2+12+（t﹣3）2+（1﹣4）2＝42+42，
解得：t＝1﹣或t＝1+（舍去），
∴﹣3≤t≤1﹣．
当t＞0时，
正方形DEFG位于正方形③位置时，
∵G3（t，1），OG32+BG32＝OB2，
∴t2+12+（t+3）2+（1﹣4）2＝32+42，
解得：t＝或t＝（舍去），
正方形DEFG位于正方形④位置时，
∵E4（t+1，0），
∴t+1＝4，
解得：t＝3，
∴≤t≤3，
综上所述，﹣3≤t≤1﹣或≤t≤3．
【点评】本题考查了勾股定理及逆定理，圆的性质，不等式组的应用等，解题关键是理解并应用新定义“直角点”．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/11 11:35:52；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111x
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