北京市陈经纶中学帝景分校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学帝景分校九年级（上）月考数学试卷（9月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

1.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.如果是方程的一个根，那么另一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

5.把方程化成一般式，则二次项系数，一次项系数，常数项的值分别是
(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6.已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，将绕点顺时针旋转得到，边、相交于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中不正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.在平面直角坐标系中，点的坐标为，若点与点关于原点对称，则点的坐标为______ ．

10.二次函数的图象的对称轴是直线，则常数的值为          ．

11.如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是______ 点

12.若二次函数的图象的开口向下，则的值为______．

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为          ．

14.如图，为等腰直角内一点，连接，，，，，，将绕点顺时针旋转后得到，则的长为______．

15.选择适当的方法解方程：
．
．

16.如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接求证：．

17.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为，各顶点都在格点上，点，，的坐标分别为，，，将绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的，此时点，点的对应点，的坐标分别是______ ，______ ．

18.已知关于的方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程有一个根大于，求的取值范围．

19.已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：

求此抛物线的解析式；
画出函数图象，结合图象直接写出当时，的范围．
 

20.如图，利用长米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出个小长方形，总共用去篱笆米，为了使这个长方形的的面积为平方米，求、边各为多少米．

21.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是．
函数和中是有上界函数的为______只填序号即可，其上确界为______；
如果函数的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．

 

22.将线段绕点逆时针旋转得到线段，继续旋转得到线段，连接．
连接．
如图，若，则的度数为______；
在第二次旋转过程中，请探究的大小是否改变．若不变，求出的度数；若改变，请说明理由．
如图以为斜边作，使得，连接，且试猜想线段，之间的数量关系，写出结论并给予证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

2.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个根是，则
，
把代入上式，得
，
解得．
故选：．
先设方程的另一个根是，根据根与系数的关系，易得，从而易求．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两根之间的关系：，．

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出的范围后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

4.【答案】 

【解析】【分析】
直接利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查二次函数图象的几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键．
【解答】
解：将二次函数的图象向左平移个单位长度，得到：，
再向上平移个单位长度得到：．
故选：．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
、、分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．将原方程展开化简即可得出．
【解答】
解：由方程，得
，
、、的值分别是、、；
故选A．

6.【答案】 

【解析】解：，
该函数开口向下，对称轴为直线，
该函数图象上有、、三点，，
，
故选：．
根据二次函数的性质可以判断、、的大小关系，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

7.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
故选：．
将绕点顺时针旋转得到，得，，于是得到结论．
本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：、抛物线的开口向下，，故正确；
B、抛物线与轴交于正半轴，，故正确；
C、抛物线的对称轴在轴的右边，在直线的左边，，故正确；
D、从图象可以看出，当时，对应的函数值在轴的上方，，故错误．
故选D．
由抛物线的开口方向判定的取值范围，由抛物线于轴的交点判定的取值范围，根据对称轴的位置即可判定的取值范围，由抛物线中，时的函数值即可判定的取值范围．
本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点等与二次函数的系数之间的关系是解决此类问题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
点的坐标为．
故答案为：．
根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

10.【答案】 

【解析】【分析】
根据对称轴方程，列出关于的方程即可解答．
本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解题的关键．
【解答】
解：二次函数的对称轴是直线，
，
．
则的值为．
故答案为：．

11.【答案】 

【解析】解：如图，作出、的垂直平分线，交点为，则点是旋转中心，

故答案为．
根据旋转变换的性质，结合网格结构的特点作出、的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．

12.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的开口向下，
，且，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次函数的定义以及其性质得出的值．
此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键．

13.【答案】或 

【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与轴的两个交点坐标．
根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与轴的另一个交点坐标，由此求得关于的方程的两根．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
关于的方程的解为或．
故答案为：或．

14.【答案】 

【解析】解：，
，
绕点顺时针旋转后得到，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
绕点顺时针旋转后得到，
，
，
，
，
故答案为：．
根据邻补角的定义得到，根据旋转的性质得到，，求得为等腰直角三角形，得到，推出，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，证得为等腰直角三角形是解题的关键．

15.【答案】解：．
，
或，
或．
．
，
或，
或． 

【解析】方程移项后，左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．

16.【答案】证明：
是等边三角形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
即，
，
在与中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
利用等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则，所以，接着证明≌得到，从而得到，然后根据平行线的判定方法得到结论．

17.【答案】   

【解析】解：如图所示，即为所求；

点，．
故答案为：，．
根据旋转的性质分别作出，的对应点，即可解决问题．
本题考查了坐标与图形变化旋转，解答本题的关键是熟练旋转变换的特点，能准确找出各点变换后的位置．

18.【答案】证明：，
，
即．
方程总有两个不相等的实数根．
解：，
，
解得，．
方程有一个根大于，
．
． 

【解析】先求出的值，再根据根的情况与判别式的关系即可得出答案；
利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于，得出不等式解答即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，也考查了解一元二次方程的方法．

19.【答案】解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，
即；
如图，

当时，的范围为． 

【解析】设交点式，然后把代入求出的值，从而得到抛物线解析式；
先利用描点法画出函数图象，然后根据二次函数的性质，结合函数图象写出当时对应的的范围．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．

20.【答案】解：设为米，则为米，

解得：，
当时
不合题意，舍去
当时
．
答：米，米． 

【解析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．

21.【答案】，
，随值的增大而减小，
当时，，
上确界是，
，
函数的最小值不超过，
，
，
，
，
，
的取值范围为：；
的对称轴为直线，
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
；
当时，的最大值为，
为上确界，
，
舍，
综上所述：的值为． 

【解析】解：，
无上确界；
，
，
有上确界，且上确界为，
故答案为：，；
见答案；
见答案．

分别求出两个函数的最大值即可求解；
由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围；
当时，，可得舍；当时，，可得舍；当时，，可得；当时，，可得舍．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．

22.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故答案是；
不变，理由如下：
，
，
，
，
，
如图，

作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，，
即，
是等边三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
．
先推出，在推出，从而得出结果；
同理由推出，由推出，进而推出结果；
作于，推出≌，进而得出是等边三角形，再推出是等腰直角三角形，进而得出关系．
本题考查了旋转性质，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是找出题目中线段间的关系．