2022-2023学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣xy＝2C．D．2（x﹣1）＝x
2．（2分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）二次函数y＝（x﹣6）2+3的顶点为（ ）
A．（﹣6，3）B．（6，3）C．（﹣6，﹣3）D．（6，﹣3）
4．（2分）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上的一个点是（ ）
A．（4，4）B．（，）C．（3，﹣1）D．（﹣2，﹣8）
5．（2分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴是（ ）
A．直线x＝aB．直线x＝2aC．直线x＝1D．直线x＝﹣1
6．（2分）已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
8．（2分）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）请写出抛物线y＝﹣4x2+3x的顶点坐标 ．
10．（2分）根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，共有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，所列方程为： ．
11．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）与点 关于原点O对称．
12．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是 ．
13．（2分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为 ，CE的长为 ．
15．（2分）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，函数值y的取值范围是 ．
16．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：
①抛物线过点（2，m）；
②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；
③a+b＝4；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．
其中结论正确的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25题6分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．
18．（5分）求证：关于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
19．（5分）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
21．（5分）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．
22．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2+2x﹣3的图象；
（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．
23．（6分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
（1）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是 和 ；
②抛物线经过点（﹣3， ）；
③在对称轴右侧，y随x的增大而 ；
（2）试确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
24．（5分）在刚刚结束的校运动会的实心球比赛中，小宇在决赛中，实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为4米时，达到最大高度5米的B处．小宇此次投掷的成绩是多少米？
25．（6分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．
（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；
（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．设抛物线的对称轴为x＝t．若对于x1+x2＞3．都有y1＜y2，求t的取值范围．
27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（45°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”，如图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，点A的“正轨点”的坐标是 ；
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标是 ；
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x+m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
2022-2023学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣xy＝2C．D．2（x﹣1）＝x
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此解答即可．
【解答】解：A．x2﹣2x﹣3＝0只含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；
B．x2﹣xy＝2，含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．为分式方程，故该选项不符合题意；
D．2（x﹣1）＝x是一元一次方程，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．（2分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2分）二次函数y＝（x﹣6）2+3的顶点为（ ）
A．（﹣6，3）B．（6，3）C．（﹣6，﹣3）D．（6，﹣3）
【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣6）2+3是顶点式，
∴顶点坐标为（6，3）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，熟记形式，解决问题．
4．（2分）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上的一个点是（ ）
A．（4，4）B．（，）C．（3，﹣1）D．（﹣2，﹣8）
【分析】把x＝4、﹣、3、﹣2分别代入y＝x2﹣4x﹣4，计算出对应的函数值后进行判断．
【解答】解：∵当x＝4时，y＝x2﹣4x﹣4＝42﹣4×4﹣4＝﹣4；
当x＝﹣时，y＝x2﹣4x﹣4＝（﹣）2﹣4×（﹣）﹣4＝﹣；
当x＝3时，y＝x2﹣4x﹣4＝32﹣4×3﹣4＝﹣7；
当x＝﹣2时，y＝x2﹣4x﹣4＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣4＝8；
∴点（﹣，﹣）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4上．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，其图象上点的坐标满足其解析式．
5．（2分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴是（ ）
A．直线x＝aB．直线x＝2aC．直线x＝1D．直线x＝﹣1
【分析】利用对称轴方程x＝﹣解答．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣＝1，即x＝1．
故选：C．
【点评】考查了二次函数的性质，解答此题时，利用对称轴方程x＝﹣即可求得答案．
6．（2分）已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0
【分析】根据Δ＝4﹣4k≥0，且k≠0解出k的范围即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣4k≥0且k≠0，
4﹣4k≥0，
k≤1且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是正确列出Δ＝4﹣4k≥0，本题属于基础题型．
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．2
【分析】利用抛物线的对称性确定（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，
∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
8．（2分）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得其与O点连线的夹角即可求得旋转角．
【解答】解：如图，当经过一次旋转后点C旋转至点B的位置上，
此时∠COB＝360°÷6＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角，从而确定旋转角的度数，难度不大．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）请写出抛物线y＝﹣4x2+3x的顶点坐标 （，） ．
【分析】先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：由y＝﹣4x2+3x＝﹣4（x﹣）2+知，该抛物线的顶点坐标为（，）．
故答案为：（，）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为直线x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10．（2分）根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，共有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，所列方程为： x（x﹣1）＝10 ．
【分析】设有x人参加聚会，根据每两人都握手一次手，所有人共握手10次，列出方程即可．
【解答】解：设有x人参加聚会，
根据题意得x（x﹣1）＝10，
故答案为：x（x﹣1）＝10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出问题之间的等量关系．
11．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）与点 （﹣2，1） 关于原点O对称．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P（2，﹣1）关于原点O的对称点是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，把点的横坐标、纵坐标都换成它的相反数是解题的关键．
12．（2分）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+2（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c＝2，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），
∴c＝2．
取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2．
故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c＝是解题的关键．
13．（2分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤且k≠1 ．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤且k≠1．
故答案为k≤且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为 45° ，CE的长为 ．
【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接CE，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝45°，
∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，
∴旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，
∴BE＝1，
∴CE＝＝＝，
故答案为：45°，．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
15．（2分）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，函数值y的取值范围是 0≤y≤4 ．
【分析】由二次函数的增减性即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝x2，
∴该抛物线的对称轴为y轴，
当x＝0时，y＝0，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2＝1，当x＝2时，y＝22＝4，
∴0≤y≤4，
故答案为：0≤y≤4．
【点评】本题主要考查二次函数的增减性，关键是要确定出抛物线顶点的位置．
16．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：
①抛物线过点（2，m）；
②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；
③a+b＝4；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．
其中结论正确的序号是 ①②④ ．
【分析】①把x＝2代入解析式，求得函数值即可判断；
②当m＝0时，根据抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；
③根据根与系数的关系即可判断；
④根据二次函数图象即可判断．
【解答】解：①∵把x＝2代入y＝﹣x2+2x+m得，y＝m，
∴抛物线过点（2，m），
故①正确；
②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），
对称轴为x＝1，
∴△ABD是等腰直角三角形，
故②正确；
③∵抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），
∴a、b是方程＝﹣x2+2x+m＝0的两个根，
∴a+b＝﹣＝2，
故③错误；
④观察二次函数图象可知：
当x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．
故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25题6分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．
【分析】整理后求出b2﹣4ac，再代入公式求出即可．
【解答】解：5x2﹣3x＝x+1，
5x2﹣4x﹣1＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
∴x＝，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能熟记公式是解此题的关键．
18．（5分）求证：关于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义只要说明二次项系数不为零即可证明结论成立，根据配方法可以说明二次项系数不为零．
【解答】证明：（m2﹣8m+17）x2+2mx+1＝0，
∵m2﹣8m+17＝（m﹣4）2+1≥1，
∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确一元二次方程的定义．
19．（5分）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE．
【分析】根据中心对称的性质可得BO＝DO，AO＝CO，再利用等式的性质可得FO＝EO，然后再证明△FOD≌△EOB，利用全等三角形的性质可得DF＝BE．
【解答】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AF＝CE，
∴AO﹣AF＝CO﹣CE，
∴FO＝EO，
在△FOD和△EOB中
，
∴△FOD≌△EOB（SAS），
∴DF＝BE．
【点评】此题主要考查了中心对称以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令m＝1，将m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m＞﹣．
（2）m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，
即x（x+3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元一次不等式；（2）选取m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
21．（5分）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数．
【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
（2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1＝α＝90°．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）如图所示，∠COC1＝α＝90°．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质．
22．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2+2x﹣3的图象；
（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．
【分析】（1）用配方法把二次函数化为顶点式，从而可得出答案；
（2）根据题意画出图象即可；
（3）由图象可得出答案．
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4．
（2）图象如图所示：
（3）由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0）和（﹣3，0），
∴y＞0时x的取值范围是x＞1或x＜﹣3．
【点评】本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（6分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
（1）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是 （﹣2，0） 和 （1，0） ；
②抛物线经过点（﹣3， 8 ）；
③在对称轴右侧，y随x的增大而 增大 ；
（2）试确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
【分析】（1）①在表中找出函数值为0对应的自变量的值可确定抛物线与x轴的交点坐标；
②利用表中函数值的变化，可知抛物线的对称轴是直线x＝﹣，由抛物线的对称性可得出答案；
③由二次函数的性质可得出答案；
（2）设交点式y＝a（x+2）（x﹣1），然后把（0，﹣4）代入求出a即可．
【解答】解：（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0）；
故答案为：（﹣2，0）和（1，0）；
②由表中数据可知抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴x＝2和x＝﹣3的函数值相同，
∴x＝﹣3时，y＝8，
∴抛物线经过点（﹣3，8）；
故答案为：8；
③∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴由表中数据可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大；
故答案为：增大；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），
把（0，﹣4）代入得﹣4＝a×2×（﹣1），解得a＝2，
所以抛物线解析式为y＝2（x+2）（x﹣1），
即y＝2x2+2x﹣4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式．
24．（5分）在刚刚结束的校运动会的实心球比赛中，小宇在决赛中，实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知实心球出手处A距离地面的高度是米，当实心球运行的水平距离为4米时，达到最大高度5米的B处．小宇此次投掷的成绩是多少米？
【分析】根据题意设出函数解析式，根据点的坐标求出解析式，再令y＝0求出x即可．
【解答】解：根据题意，点A的坐标为（0，），顶点为B（4，5），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+5，
∵点A（0，）在抛物线上，
∴a（0﹣4）2+5＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5，
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+5＝0，
解得：x＝9或x＝﹣1（不合实际，舍去），
答：小宇此次投掷的成绩是9米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，设函数解析式，确定相应点的坐标是解题关键．
25．（6分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．
（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；
（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？
【分析】（1）把y＝70代入y＝﹣5x+150，求出x即可；
（2）每月销售量y＝﹣5x+150，乘以每件利润（x﹣10）即可得到每月获得的利润w元的表达式；
（3）转化为二次函数求出最大值即可．
【解答】解：（1）当y＝70时，70＝﹣5x+150，
解得x＝16，
则（16﹣10）×70＝420元；
（2）w＝（x﹣10）（﹣5x+150）
＝﹣5x2+200x﹣1500，
∵，
∴自变量的取值范围为10≤x≤18；
（3）w＝﹣5x2+200x﹣1500
＝﹣5（x﹣20）2+500
∵a＝﹣5＜0，
∴当10≤x≤18时，w随x的增大而增大，
∴当x＝18时，w有最大值，为480元．
答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．设抛物线的对称轴为x＝t．若对于x1+x2＞3．都有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵y1＜y2，
∴ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x2＞﹣＝2t，
当x1+x2＞3时，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t≤，
∴满足条件的值为：t≤．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（45°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用圆周角定理解决问题即可．
（3）结论；DE＝AF．作AH⊥AF，交FB的延长线于点H，证明△HAB≌△FAD（ASA），推出HB＝FD，AH＝AF，推出HF＝DE，∠H＝45°，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）结论：∠FBE＝45°．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠DCB＝90°，
∵CB＝CD＝CE，
∴∠BED＝∠BCD＝45°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠FBE＝90°﹣45°＝45°．
（3）结论；DE＝AF．
证明：作AH⊥AF，交FB的延长线于点H，
由（2）得∠FBE＝∠FEB＝45°．
∴FB＝FE．
∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，
∴∠HAB＝∠FAD，
∵∠BFD＝∠DAB＝90°，
∴∠ABH+∠ABF＝180°，∠ABF+∠ADF＝180°，
∴∠ABH＝∠ADF，
∴△HAB≌△FAD（ASA），
∴HB＝FD，AH＝AF，
∴HF＝DE，∠H＝45°．
∴HF＝AF．
∴DE＝AF．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”，如图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）中，点A的“正轨点”的坐标是 （﹣3，﹣1），（2，2） ；
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标是 （3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1） ；
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x+m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①根据正方形的性质可得出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，对照（﹣3，﹣1），（2，2），（3，3）即可得出结论；②根据“正轨点”的坐标特征即可求得；
（2）根据题意列出关于x的绝对值方程，解方程即可；
（3）根据题意表示出“正轨点”，由“正轨正方形”面积小于4即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵点P（x1，y1）、点Q（x2，y2）是正轨正方形的点，
∴|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．
∵|1﹣（﹣3）|＝|3﹣（﹣1）|，|1﹣2|＝|3﹣2|，|1﹣3|≠|3﹣3|，
∴点A的“正轨点”的坐标是（﹣3，﹣1），（2，2），
故答案为（﹣3，﹣1），（2，2）；
②∵点A的“正轨正方形”的面积是4，
∴边长为2，
∴点A的“正轨点”的坐标是（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1），
故答案为（3，5）或（﹣1，1）或（﹣1，5）或（3，1）；
（2）∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x+2上，
∴设点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（x，2x+2），
根据题意得|x﹣1|＝|2x+2﹣0|，
解得x＝﹣3或x＝﹣，
∴点B（1，0）的“正轨点”的坐标为（﹣3，﹣4）或（﹣，）；
（3）∵直线y＝2x+m上存在点C（m，0）的“正轨点”，
∴点C的“正轨点”的坐标为（0，m）或（﹣2m，﹣3m），
∵正轨正方形”面积小于4，
∴﹣2＜m＜2且m≠0或﹣2＜﹣3m＜2且m≠0，
∴m的取值范围是﹣2＜m＜2且m≠0．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据正方形的性质找出|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|；（2）根据题意列出方程；（3）表示出点C的“正轨点”的坐标．
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