2021-2022学年北京十五中七年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京十五中七年级（上）期中数学试卷【含解析】，共24页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列各数﹣5、+3、﹣0.2、、0、﹣、﹣11、2.4中，负数有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
2．（2分）北京大兴国际机场航站楼形如展翅的凤凰，航站楼主体占地面积1030000平方米．将1030000用科学记数法表示为（ ）
A．10.3×105B．1.03×106C．1.03×107D．0.103×107
3．（2分）关于整式3x2﹣y+3xy3+x3﹣1，理解错误的是（ ）
A．它属于多项式
B．它是三次五项式
C．它的常数项是﹣1
D．它的最高次项的系数是3
4．（2分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．a＞bB．﹣a＞bC．|a|＞|b|D．a+b＞0
5．（2分）索玛立方体拼搭是有名的数学游戏，它由七块立体图形组成，如图所示的这1～7号图形中，从正面看所得图形相同的有（ ）块．
A．2B．3C．4D．5
6．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．负数的绝对值都是正数
B．除以一个数，等于乘这个数的倒数
C．有理数包括整数和分数
D．倒数等于它本身的数只有±1
7．（2分）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）如图是2021年11月的月历，用“U”型框（如阴影部分所示）覆盖任意七个数并求它们的和，请你运用所学的知识，探索这七个数的和不可能的是（ ）
A．63B．84C．133D．161
二、填空题（9～15题每小题2分，16题3分，共17分）
9．（2分）如图所示的多面体有 个面．
10．（2分）如果﹣2amb3与是同类项，那么m＝ ，n＝ ．
11．（2分）用四舍五入法取近似数：12.4259≈ ．（精确到0.01）
12．（2分）璀璨的流星划过夜空，留下美丽的轨迹，这说明的事实是 ．
13．（2分）在计算“”时，甲同学的做法如下：
在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是 （写出错误所在行的序号），这一步依据的运算法则应当是：同号两数相加， ．
14．（2分）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB＝10，BC＝6，则线段AC＝ ．
15．（2分）已知，如图1所示，将一个长为6a，宽为2b的长方形沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，并按图2的方式拼出一个大正方形，则这个大正方形的周长是 ．（用含a、b的代数式表示）
16．（3分）已知a为不等于1的有理数，我们把称为a的差倒数．例如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知a1＝﹣3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，以此类推……，则a2＝ ，a2021＝ ．
三、解答题（共67分）
17．（24分）计算：
（1）6+（﹣15）﹣（﹣8）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
18．（9分）化简：
（1）x+7x﹣5x；
（2）；
（3）（﹣x+2x2+5）﹣（4x2﹣3﹣6x）．
19．（6分）先化简，再求值：（5a2b﹣ab2）﹣3（ab2﹣a2b）．其中．
20．（7分）作图题
（1）画数轴表示下列各数，并用“＜”把他们从小到大排列起来．
﹣3，|﹣3|，，﹣（+4），0
＜ ＜ ＜ ＜ ．
（2）已知四点A、B、C、D，根据下列语句，在同一个图中画出图形．
第一步：画直线AB；
第二步：画射线AD、BC，交于点P；
第三步：连接BD，并延长线段BD到点E，使DE＝BD；
第四步：连接CD，并将线段CD反向延长至点F，使CF＝2CD．
21．（4分）如图：线段AB＝14cm，C是AB上一点，且AC＝9cm，O是AB的中点，求线段OC的长度．
22．（4分）有如图8筐白菜，以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后记录如下：
回答下列问题：
（1）这8筐白菜中，最接近标准的那筐白菜为 kg；
（2）以每筐25kg为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？
（3）计算这8筐白菜总计多少千克？
23．（6分）在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，比如计算（﹣3x3+5x2﹣7）+（2x﹣3+3x2）就可以列竖式为：
根据上述阅读材料，解决下列问题：
已知：A＝﹣3x﹣2x3+1+x4，B＝2x3﹣4x2+x．
（1）将A按照x的降幂进行排列是： ；
（2）仿照上面的方法列竖式计算A+B；
（3）小丽说也可以用类似方法列竖式计算A﹣B，请你试试看；
（4）请写一个多项式C＝ ，使其与B的和是二次单项式．
24．（7分）我们知道，|a|的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的，|x﹣y|的几何意义就是：数轴上数x，y对应点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用|2﹣5|表示，通过计算可以得到他们的距离是3．
（1）数轴上1和﹣3两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离可以表示为AB＝ ；如果AB＝2，结合几何意义，那么x的值为 ；
（3）代数式|x﹣1|+|x+2|表示的几何意义是 ，该代数式的最小值是 ．
附加题
25．（5分）附加题：已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
26．（5分）给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为M2（x）．如M2（735）＝111，M2（561）＝101．
对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示，即M2（735）+M2（561）＝1100．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）M2（9653）的值为 ，M2（9653）+M2（58）的值为 ；
（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”．
如M2（124）＝100，M2（630）＝010，
因为M2（124）+M2（630）＝110，M2（124+630）＝M2（754）＝110，
所以M2（124+630）＝M2（124）+M2（630），即124与630满足“模二相加不变”．
①判断12，65中哪个数与23“模二相加不变”，并说明理由；
②再写出一个与23“模二相加不变”的两位数．
2021-2022学年北京十五中七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.（每小题2分，共16分）
1．（2分）下列各数﹣5、+3、﹣0.2、、0、﹣、﹣11、2.4中，负数有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据负数的定义，即负数为小于0的有理数，再判定负数的个数．
【解答】解：在﹣5、+3、﹣0.2、、0、﹣、﹣11、2.4中，负数有﹣5、﹣0.2、﹣、﹣11，共4个．
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握负数的定义．
2．（2分）北京大兴国际机场航站楼形如展翅的凤凰，航站楼主体占地面积1030000平方米．将1030000用科学记数法表示为（ ）
A．10.3×105B．1.03×106C．1.03×107D．0.103×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据1030000科学记数法表示为1.03×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）关于整式3x2﹣y+3xy3+x3﹣1，理解错误的是（ ）
A．它属于多项式
B．它是三次五项式
C．它的常数项是﹣1
D．它的最高次项的系数是3
【分析】先根据多项式的有关定义进行判断，不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
【解答】解：∵3x2﹣y+3xy3+x3﹣1的最高次项是3xy3，
次数为4，常数项为﹣1，它的最高次项的系数是3，
∴它是四次五项式，
∴A不符合题意；
B符合题意；
C不符合题意；
D不符合题意；
故选：B．
【点评】题考查了多项式，解题的关键是掌握多项式的有关概念，并注意符号的处理．
4．（2分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．a＞bB．﹣a＞bC．|a|＞|b|D．a+b＞0
【分析】根据有理数a，b在数轴上对应点的位置，可知，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，再根据有理数加法的计算方法得出答案．
【解答】解：根据有理数a，b在数轴上对应点的位置，可知a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
故选：D．
【点评】考查数轴表示数的意义，根据数轴上两点位置，确定各个数的符号和绝对值是得出正确结论的前提．
5．（2分）索玛立方体拼搭是有名的数学游戏，它由七块立体图形组成，如图所示的这1～7号图形中，从正面看所得图形相同的有（ ）块．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，1号，6号，7号的主视图相同，底层均是两个小正方形，上层右边是一个小正方形，
所以从正面看所得图形相同的有3块．
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，熟悉常见几何体的三视图是解题关键．
6．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．负数的绝对值都是正数
B．除以一个数，等于乘这个数的倒数
C．有理数包括整数和分数
D．倒数等于它本身的数只有±1
【分析】利用有理数的除法法则，有理数定义，绝对值，倒数的性质判断即可．
【解答】解：A、负数的绝对值都是正数，不符合题意；
B、除以一个非0的数，等于乘以这个数的倒数，符合题意；
C、有理数包括整数和分数，不符合题意；
D、倒数等于它本身的数只有±1，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的除法，正数和负数，有理数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
7．（2分）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相交于一点．
【解答】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．
故选：C．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
8．（2分）如图是2021年11月的月历，用“U”型框（如阴影部分所示）覆盖任意七个数并求它们的和，请你运用所学的知识，探索这七个数的和不可能的是（ ）
A．63B．84C．133D．161
【分析】设包括“U”型框内部两个数在内的九个数正中间的数为x，分别用含x的代数式表示“U”型框覆盖的七个数并求出表示它们的和的代数式，另其分别等于问题答案中的四个数，求出相应的x值再分别进行检验，即可得出问题的答案．
【解答】解：设包括“U”型框内部两个数在内的九个数正中间的数为x，
则“U”型框覆盖的七个数分别是x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+7，x+8，
∴x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+1+x+6+x+7+x+8＝7x+7，
由7x+7＝63得x＝8，此时“U”型框只覆盖6个数，不符合题意；
由7x+7＝84得x＝11，符合题意；
由7x+7＝133得x＝18，符合题意；
由7x+7＝161得x＝22，符合题意，
∴这七个数的和不可能是63，
故选：A．
【点评】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数字问题的求解等知识与方法，适当设未知数并且正确地用代数式表示“U”型框覆盖的七个数的和是解题的关键．
二、填空题（9～15题每小题2分，16题3分，共17分）
9．（2分）如图所示的多面体有 8 个面．
【分析】根据图形可得答案．
【解答】解：根据图形可知：共有8个面．
故答案为：8．
【点评】此题考查的是立体图形，正确数出面的个数是解决此题的关键．
10．（2分）如果﹣2amb3与是同类项，那么m＝ 3 ，n＝ 2 ．
【分析】根据同类项的定义即可求得m、n的值．
【解答】解：因为﹣2amb3与a3bn+1是同类项，
所以m＝3，n+1＝3，
所以n＝2．
故答案为：3，2．
【点评】本题考查同类项的定义．解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．要注意同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
11．（2分）用四舍五入法取近似数：12.4259≈ 12.43 ．（精确到0.01）
【分析】把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【解答】解：12.4259≈12.43．
故答案为：12.43．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
12．（2分）璀璨的流星划过夜空，留下美丽的轨迹，这说明的事实是 点动成线 ．
【分析】根据点、线、面、体的关系进行判断即可．
【解答】解：流星可看作“点”，
流星划过夜空，留下美丽的轨迹，
这说明的事实点动成线，
故答案为：点动成线．
【点评】本题考查点、线、面、体，理解“点动成线”是正确判断的关键．
13．（2分）在计算“”时，甲同学的做法如下：
在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是 ② （写出错误所在行的序号），这一步依据的运算法则应当是：同号两数相加， 取相同的符号，并把绝对值相加 ．
【分析】根据有理数的加减混合运算，逐步去判断即可．，
【解答】解：因为：＝﹣4，
所以开始出错的步骤是：②，
这一步依据的运算法则应当是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，
故答案为：②；取相同的符号，并把绝对值相加．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，学生必须熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．（2分）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB＝10，BC＝6，则线段AC＝ 16或4 ．
【分析】分两种情况，点C在点B的右侧，点C在点B左侧．
【解答】解：当点C在点B的右侧时，如图：
所以：AC＝AB+BC＝16，
当点C在点B左侧时，如图：
所以：AC＝AB﹣BC＝4，
故答案为：16或4．
【点评】本题考查了两点间的距离，同时本题渗透了分类讨论的数学思想．
15．（2分）已知，如图1所示，将一个长为6a，宽为2b的长方形沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，并按图2的方式拼出一个大正方形，则这个大正方形的周长是 12a+4b ．（用含a、b的代数式表示）
【分析】先分别求得每个小长方形的长与宽，然后求得正方形的边长，从而求其周长．
【解答】解：如图：
由题意可得：AB＝DE＝＝3a，AC＝EF＝＝b，
∴大正方形的的边长DF＝DE+EF＝3a+b，
∴大正方形的周长为4（3a+b）＝12a+4b，
故答案为：12a+4b．
【点评】本题考查整式的加减的应用，准确识图，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）的运算法则是解题关键．
16．（3分）已知a为不等于1的有理数，我们把称为a的差倒数．例如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知a1＝﹣3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，以此类推……，则a2＝ ，a2021＝ ．
【分析】根据定义分别求出a2＝，a3＝，a4＝﹣3，从而发现每3个数循环一次，则可知a2021＝a2＝．
【解答】解：∵a1＝﹣3，
∴a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝﹣3，
…，
∴每3个数循环一次，
∵2021÷3＝673…2，
∴a2021＝a2＝，
故答案为：，．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过计算，找到数字的循环规律是解题的关键．
三、解答题（共67分）
17．（24分）计算：
（1）6+（﹣15）﹣（﹣8）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【分析】（1）先把减法转化为加法，然后有理数的加法法则计算即可；
（2）先把除法转化为乘法、然后根据有理数的乘法法则计算即可；
（3）先去小括号，再去中括号，最后计算计算即可；
（4）根据乘法分配律计算即可；
（5）先算乘方、再算乘除法、最后算减法即可；
（6）先算乘方、再算括号内的式子，最后计算括号外的乘法和减法即可．
【解答】解：（1）6+（﹣15）﹣（﹣8）
＝6+（﹣15）+8
＝﹣1；
（2）
＝
＝；
（3）
＝+（）
＝
＝
＝
＝；
（4）
＝36×+36×﹣36×
＝4+6﹣27
＝﹣17；
（5）
＝
＝8×（﹣6）﹣1
＝﹣48﹣1
＝﹣49；
（6）
＝
＝0﹣8+（﹣3）
＝﹣11．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用．
18．（9分）化简：
（1）x+7x﹣5x；
（2）；
（3）（﹣x+2x2+5）﹣（4x2﹣3﹣6x）．
【分析】（1）原式合并同类项进行化简；
（2）原式去括号进行化简；
（3）原式去括号，合并同类项进行化简．
【解答】解：（1）原式＝（1+7﹣5）x
＝3x；
（2）原式＝﹣×9y+×3
＝﹣3y+1；
（3）原式＝﹣x+2x2+5﹣4x2+3+6x
＝﹣2x2+5x+8．
【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
19．（6分）先化简，再求值：（5a2b﹣ab2）﹣3（ab2﹣a2b）．其中．
【分析】先去括号，再合并同类项；根据绝对值和偶次方的非负性求出a和b的值，再代入化简结果即可．
【解答】解：原式＝5a2b﹣ab2﹣3ab2+3a2b
＝8a2b﹣4ab2，
∵，
∴．
代入原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键．
20．（7分）作图题
（1）画数轴表示下列各数，并用“＜”把他们从小到大排列起来．
﹣3，|﹣3|，，﹣（+4），0
﹣（+4） ＜ ﹣3 ＜ 0 ＜ ＜ |﹣3| ．
（2）已知四点A、B、C、D，根据下列语句，在同一个图中画出图形．
第一步：画直线AB；
第二步：画射线AD、BC，交于点P；
第三步：连接BD，并延长线段BD到点E，使DE＝BD；
第四步：连接CD，并将线段CD反向延长至点F，使CF＝2CD．
【分析】（1）先画出数轴，再在数轴上找到各数对应的点即可；
（2）根据画图的步骤即可画出图形．
【解答】解：（1）在数轴上表示如图所示：
∴﹣（+4）＜﹣3＜0＜＜|﹣3|；
（2）如图即为所求．
【点评】本题考查了直线，射线，线段，数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较，这些都是学生必备的数学基本功．
21．（4分）如图：线段AB＝14cm，C是AB上一点，且AC＝9cm，O是AB的中点，求线段OC的长度．
【分析】在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，最好准确画出几何图形，再根据题意进行计算．
【解答】解：∵点O是线段AB的中点，AB＝14cm
∴AO＝AB＝7cm
∴OC＝AC﹣AO
＝9cm﹣7cm
＝2cm．
答：线段OC的长度为2cm．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
22．（4分）有如图8筐白菜，以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后记录如下：
回答下列问题：
（1）这8筐白菜中，最接近标准的那筐白菜为 24.5 kg；
（2）以每筐25kg为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？
（3）计算这8筐白菜总计多少千克？
【分析】（1）根据绝对值的意义，绝对值越小越接近标准，可得答案；
（2）根据有理数的加法运算，可得答案；
（3）用25×8，再加上（2）的结果数即可．
【解答】解：（1）在记录的数中，﹣0.5的绝对值最小，
所以这8筐白菜中，最接近标准的那筐白菜为：25﹣0.5＝24.5（千克），
故答案为：24.5；
（2）1.5+（﹣3）+2+（﹣0.5）+1+（﹣2）+（﹣2）+（﹣2.5）＝﹣5.5（千克），
答：不足5.5千克；
（3）25×8﹣5.5＝194.5（千克），
答：总计194.5千克．
【点评】此题主要考查了正负数的意义以及有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．
23．（6分）在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，比如计算（﹣3x3+5x2﹣7）+（2x﹣3+3x2）就可以列竖式为：
根据上述阅读材料，解决下列问题：
已知：A＝﹣3x﹣2x3+1+x4，B＝2x3﹣4x2+x．
（1）将A按照x的降幂进行排列是： x4﹣2x3﹣3x+1 ；
（2）仿照上面的方法列竖式计算A+B；
（3）小丽说也可以用类似方法列竖式计算A﹣B，请你试试看；
（4）请写一个多项式C＝ ﹣2x3﹣x ，使其与B的和是二次单项式．
【分析】（1）根据降幂排列直接排列即可；
（2）列算式，再进行计算即可；
（3）列算式，再进行计算即可；
（4）假设给定一个二次单项式，再作差即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，x4﹣2x3﹣3x+1；
故答案为：x4﹣2x3﹣3x+1；
（2）列式如下：
A+B＝x4﹣4x2﹣2x+1；
（3）列示如下：
A﹣B＝x4﹣4x3+4x2﹣4x+1；
（4）设这个二次单项式为﹣4x2，
则C＝﹣4x2﹣（2x3﹣4x2+x）＝﹣2x3﹣x；
∴答案不唯一，如﹣2x3﹣x．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确理解题意运用竖式计算是解题关键．
24．（7分）我们知道，|a|的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的，|x﹣y|的几何意义就是：数轴上数x，y对应点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用|2﹣5|表示，通过计算可以得到他们的距离是3．
（1）数轴上1和﹣3两点之间的距离可以用 |1﹣（﹣3）| 表示，通过计算可以得到他们的距离是 4 ．
（2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离可以表示为AB＝ |x﹣（﹣3）| ；如果AB＝2，结合几何意义，那么x的值为 ﹣1或﹣5 ；
（3）代数式|x﹣1|+|x+2|表示的几何意义是 数轴上表示数x的点到1和﹣2两点的距离的和 ，该代数式的最小值是 3 ．
【分析】（1）根据题目中的几何意义可以直接得到1和﹣3两点之间的距离的表示方法，再计算即可；
（2）根据题目中的几何意义可以直接得到x和﹣3两点之间的距离的表示方法，再解关于x的绝对值方程|x﹣（﹣3）|＝2即可；
（3）根据两点之间距离的几何意义，结合数轴发现x在1和﹣2之间时，代数式的值最小．
【解答】解：（1）数轴上1和﹣3两点之间的距离可以表示为|1﹣（﹣3）|；
∴1和﹣3两点之间的距离是4．
故答案为：|1﹣（﹣3）|；4．
（2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离可以表示AB＝|x﹣（﹣3）|；
∵AB＝2，
∴|x﹣（﹣3）|＝2，
∴x＝﹣1或﹣5．
故答案为：|x﹣（﹣3）|；﹣1或﹣5．
（3）代数式|x﹣1|+|x+2|表示的几何意义是数轴上表示数x的点到1和﹣2两点的距离的和；
x位于﹣1到2之间时它们的距离和有最小值为3．
故答案为：数轴上表示数x的点到1和﹣2两点的距离的和；3．
【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合思想．
附加题
25．（5分）附加题：已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【分析】（1）若点P对应的数与﹣1、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等．
（2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程．
【解答】解：（1）∵1﹣（﹣1）＝2，2的绝对值是2，1﹣3＝﹣2，﹣2的绝对值是2，
∴点P对应的数是1．
（2）当P在AB之间，PA+PB＝4（不可能有）
当P在A的左侧，PA+PB＝﹣1﹣x+3﹣x＝6，得x＝﹣2
当P在B的右侧，PA+PB＝x﹣（﹣1）+x﹣3＝6，得x＝4
故点P对应的数为﹣2或4；
（3）解：设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：
2a＝4+a，
解得a＝4．
则6a＝24．
答：点P所经过的总路程是24个单位长度．
【点评】本题考查了绝对值、路程问题、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．（5分）给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为M2（x）．如M2（735）＝111，M2（561）＝101．
对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示，即M2（735）+M2（561）＝1100．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）M2（9653）的值为 1011 ，M2（9653）+M2（58）的值为 1101 ；
（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”．
如M2（124）＝100，M2（630）＝010，
因为M2（124）+M2（630）＝110，M2（124+630）＝M2（754）＝110，
所以M2（124+630）＝M2（124）+M2（630），即124与630满足“模二相加不变”．
①判断12，65中哪个数与23“模二相加不变”，并说明理由；
②再写出一个与23“模二相加不变”的两位数．
【分析】（1）根据定义运算即可；
（2）分别求出M2（12）＝10，M2（65）＝01，M2（23）＝01，再求出M2（12）+M2（23）＝11，M2（65）+M2（23）＝10，M2（12+23）＝11，M2（65+23）＝00，
即可求解；
（3）答案不唯一，只需所求数的“模二数”是10即可．
【解答】解：（1）M2（9653）＝1011，M2（58）＝10，
∴M2（9653）+M2（58）＝1011+10＝1101，
故答案为：1011，1101；
（2）①∵M2（12）＝10，M2（65）＝01，M2（23）＝01，
∴M2（12）+M2（23）＝10+01＝11，
M2（65）+M2（23）＝01+01＝10，
∵M2（12+23）＝M2（35）＝11，M2（65+23）＝M2（88）＝00，
∴M2（12）+M2（23）＝M2（12+23），
∴12与23“模二相加不变”；
②∵M2（34）＝10，
∴M2（34）+M2（23）＝10+01＝11，M2（34+23）＝M2（57）＝11，
∴M2（34）+M2（23）＝M2（34+23），
∴34与23“模二相加不变”，（答案不唯一，如55，97等均可）．
【点评】本题考查新定义，理解定义内容，能将定义与已学内容相结合是解题的关键．
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