新高考数学一轮复习讲与练第10讲 复数（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，
平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.

考点一 复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R).
考点二 复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
考点三 复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
考点四 常用结论
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2.
4.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
高频考点一 复数的概念
【例1】(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是( )
A.eq \f(1,z)对应的点在第一象限 B.|z|<|z＋1|
C.z的虚部为i D.z＋eq \(z,\s\up6(－))<0
【答案】D
【解析】∵z＝－1＋i，∴eq \f(1,z)＝eq \f(1,－1＋i)＝eq \f(－1－i,（－1＋i）（－1－i）)＝－eq \f(1,2)－eq \f(i,2).
则eq \f(1,z)对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝eq \r(2)，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋eq \(z,\s\up6(－))＝－2<0，故D正确.
【方法技巧】
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq \(z,\s\up6(－))|＝eq \r(z·\(z,\s\up6(－)) )，若z∈R，则eq \(z,\s\up6(－))＝z.
利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.
【变式训练】
1.(2019·全国Ⅰ卷)设z＝eq \f(3－i,1＋2i)，则|z|＝( )
A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.1
【答案】C
【解析】∵z＝eq \f(3－i,1＋2i)＝eq \f(（3－i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq \f(1－7i,5)，∴|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,5)))\s\up12(2))＝eq \r(2).
高频考点二 复数的几何意义
【例2】 (2020·临沂质检)已知eq \f(a,1－i)＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】由eq \f(a,1－i)＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＋1＝0，,a＝b－1，))即a＝－2，b＝－1，
∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.
【方法技巧】
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
【变式训练】
1.若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为( )
A.(－eq \r(2)，eq \r(2)) B.(－eq \r(2)，0)
C.(0，eq \r(2)) D.[0，eq \r(2))
【答案】B
【解析】z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a<0，,a2－2<0，))解得－eq \r(2)2.(2022·郑州模拟)已知复数z1＝eq \f(2－i,2＋i)在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量eq \(AB,\s\up6(→))与虚轴垂直，则z2的虚部为________.
【答案】－eq \f(4,5)
【解析】z1＝eq \f(2－i,2＋i)＝eq \f(（2－i）2,（2＋i）（2－i）)＝eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，设复数z2对应的点B(x0，y0)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,5)，y0＋\f(4,5)))，
又向量eq \(AB,\s\up6(→))与虚轴垂直，∴y0＋eq \f(4,5)＝0，故z2的虚部y0＝－eq \f(4,5).
高频考点三 复数的运算
【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A.0 B.1 C.eq \r(2) D.2
(2)在数学中，记表达式ad－bc为由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))所确定的二阶行列式.若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝eq \f(2＋i,1－i)，z3＝eq \(z,\s\up6(－))2，则当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝eq \f(1,2)－i时，z4的虚部为________.
【答案】(1)D (2)－2
【解析】(1)法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.
法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2.故选D.
(2)依题意，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝z1z4－z2z3，
因为z3＝eq \(z,\s\up6(－))2，且z2＝eq \f(2＋i,1－i)＝eq \f(（2＋i）（1＋i）,2)＝eq \f(1＋3i,2)，所以z2·z3＝|z2|2＝eq \f(5,2)，
因此有(1＋i)z4－eq \f(5,2)＝eq \f(1,2)－i，即(1＋i)z4＝3－i，
故z4＝eq \f(3－i,1＋i)＝eq \f(（3－i）（1－i）,2)＝1－2i.所以z4的虚部是－2.
【方法技巧】
1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
2.记住以下结论，可提高运算速度：
(1)(1±i)2＝±2i；(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq \f(1－i,1＋i)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).
【变式训练】
1.(2022·南宁模拟)已知z＝eq \f(3－i,1－i)(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))的虚部是( )
A.－1 B.－2
C.1 D.2
【答案】A
【解析】∵z＝eq \f(3－i,1－i)＝eq \f(（3－i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq \f(4＋2i,2)＝2＋i，
∴eq \(z,\s\up6(－))＝2－i，∴eq \(z,\s\up6(－))的虚部为－1.
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(6)＋eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________.
【答案】－1＋i
【解析】原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(（1＋i）2,2)))eq \s\up12(6)＋eq \f(（\r(2)＋\r(3)i）（\r(3)＋\r(2)i）,（\r(3)）2＋（\r(2)）2)
＝i6＋eq \f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝－1＋i.
项目
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0