新高考数学一轮复习 讲与练第17讲 复数（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识梳理
1.复数的有关概念
(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部.
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示.
(5)复数的模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝eq \r(a2＋b2).当b＝0时，|z|＝eq \r(a2)＝|a|.
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
(3)由复数加、减法的几何意义可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
考点和典型例题
1、复数的概念及几何意义
【典例1-1】（2022·江西萍乡·三模（理））在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 所对应的点关于虚轴对称，若 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对应的点关于虚轴对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【典例1-2】（2022·江西师大附中三模（理））对任意复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 是z的共轭复数，则下列结论中不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-3】（2022·浙江·效实中学模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 为实数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-4】（2022·广东广州·三模）若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则在复平面内 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例1-5】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）设i是虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例1-6】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-7】（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例1-8】（2022·天津·二模）如果复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______ ．
【典例1-9】（2021·上海市七宝中学模拟预测）若纯虚数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 等于_________.
【典例1-10】（2022·天津和平·二模）复数：满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________.
2、复数的运算
【典例2-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是z的共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】（2022·江西师大附中三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 的虚部是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知i为虚数单位，则复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-4】（2022·全国·模拟预测）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，i为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-5】（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【典例2-6】（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位），则z的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-7】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-8】（2022·吉林长春·模拟预测（理））若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
【典例2-9】（2022·上海·模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 （i是虚数单位）是关于x的实系数方程 SKIPIF 1 < 0 的一个复数根，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【典例2-10】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）著名数学家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ，根据这个公式可知 SKIPIF 1 < 0 ______.满足条件(a，b为实数)
复数的
分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0