新高考数学一轮复习 讲与练第10讲 导数与函数的单调性（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
考点和典型例题
1、不含参函数的单调性
【典例1-1】1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当x＞2时， SKIPIF 1 < 0 ，∴f(x)的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
设函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上增，在 SKIPIF 1 < 0 上减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上减，在 SKIPIF 1 < 0 上增.
(2)
方法一：参数分离
SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减.显然 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
作出 SKIPIF 1 < 0 的图象如下：
所以：∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以： SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ；
下面证明： SKIPIF 1 < 0 .要证： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0
所以： SKIPIF 1 < 0
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式得证.
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
方法二：部分参数分离
零点 SKIPIF 1 < 0 .
从而 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的图像与 SKIPIF 1 < 0 交点的横坐标.对给定的a，令 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，存在且唯一，此时 SKIPIF 1 < 0 的图像与 SKIPIF 1 < 0 有唯一交点.
又 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
（这里要说明 SKIPIF 1 < 0 ）又因为 SKIPIF 1 < 0 成立.
5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
作出 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
含参函数的单调性
【典例2-1】1．（2022·四川绵阳·二模（文））若 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
所以在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极大值，满足条件.
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
所以在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值，不满足条件.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
此时 SKIPIF 1 < 0 无极值.
综上所述： SKIPIF 1 < 0 满足条件
故选：A
2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
解：由已知可得 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
于是，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，舍去此情况，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有极大值点和极小值点B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无极大值点和极小值点
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值小于或等于0
【答案】D
【详解】
由题设， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，无极值点和最大值，A、C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减； SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 无极大值点，有极小值点，B错误；
令 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值小于或等于0，D正确；
故选：D
4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确，选项B错误.
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确，选项D错误.
故选：AC.
5．（2022·广东佛山·三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的零点，过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，试证明直线 SKIPIF 1 < 0 也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线．
【解析】(1)
解：因为 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，没有减区间；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2)
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的零点，所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为
SKIPIF 1 < 0 （*）
假设曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的切线与 SKIPIF 1 < 0 斜率相等，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
把 SKIPIF 1 < 0 代入（*）式得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 在切线 SKIPIF 1 < 0 上．
所以直线 SKIPIF 1 < 0 也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线
根据函数的单调性求参数
【典例3-1】1．（2022·福建南平·三模）对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有意义，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
( 1 ) 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是增函数，
要使函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，
需使 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内内单调递增，
则需使 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立 , 即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是减函数，
要使函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，
需使 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内内单调递减，
则需使 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故选：B
3．（2020·天津市第八中学高三期中）若函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的单调函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
若函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的单调函数，只需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
4．（2018·浙江·模拟预测）若定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
因为导函数的图象为直线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为过原点的二次函数，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由导函数图象可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个不等的正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】(1)
函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为R，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有极大值1，无极小值.
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，两个不等的实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，由(1)知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此有 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
从而有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
综上得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
函数单调性的应用
【典例4-1】1．（2022·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
由题意知方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实数根，
令 SKIPIF 1 < 0 ，作出 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，
数形结合可知直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的交点．
当直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相切时，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
2．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
依题意， SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 有解，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增.
因为 SKIPIF 1 < 0 有解，即 SKIPIF 1 < 0 有解，
所以 SKIPIF 1 < 0 有解，由函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，可得 SKIPIF 1 < 0 有解.
解法一：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
解法二:若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有解. 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有解，易知 SKIPIF 1 < 0 恒小于零，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
解法三：若 SKIPIF 1 < 0 ，如图，在同一平面直角坐标系内作出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象，
当直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相切时，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，再结合切线 SKIPIF 1 < 0 过原点得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 有解，得函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象在直线 SKIPIF 1 < 0 的下方，
所以，数形结合可知 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，易知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象必有一部分在直线 SKIPIF 1 < 0 的下方，符合题意.
若 SKIPIF 1 < 0 ，由函数的单调性可知，不符合题意.
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
4．（2022·山东威海·三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，从下面两个结论中选一个证明．
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；单减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)证明①：由题意知， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入得， SKIPIF 1 < 0 ，
要证明 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知， SKIPIF 1 < 0 ．
证明②： SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 代入得， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调速增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，并求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)要证对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即证 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以只需证 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即证 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
故对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数