新高考数学一轮复习学案第19讲 复数（2份打包，原卷版+解析版）

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一.基本概念
（1） SKIPIF 1 < 0 叫虚数单位，满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
（2）形如 SKIPIF 1 < 0 的数叫复数，记作 SKIPIF 1 < 0 .
= 1 \* GB3 ①复数 SKIPIF 1 < 0 与复平面上的点 SKIPIF 1 < 0 一一对应， SKIPIF 1 < 0 叫z的实部，b叫z的虚部； SKIPIF 1 < 0 Z点组成实轴； SKIPIF 1 < 0 叫虚数； SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
= 2 \* GB3 ②两个复数 SKIPIF 1 < 0 相等 SKIPIF 1 < 0 （两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数 SKIPIF 1 < 0 的模，也就是向量 SKIPIF 1 < 0 的模，即有向线段 SKIPIF 1 < 0 的长度，其计算公式为 SKIPIF 1 < 0 ，显然， SKIPIF 1 < 0 .
二.基本性质
1.复数运算
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
其中 SKIPIF 1 < 0 ，叫z的模； SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 .
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2.复数的几何意义
（1）复数 SKIPIF 1 < 0 对应平面内的点 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）复数 SKIPIF 1 < 0 对应平面向量 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 表示复平面内的点 SKIPIF 1 < 0 到原点的距离.
【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位）在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．|z|=2 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα= SKIPIF 1 < 0
例4．（2022·上海·高三专题练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
例5．（2022·江苏·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 是实数， SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 _________
例6．（2022·全国·高三专题练习）若复数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 的虚部为_____________.
例7．（2022·全国·高三专题练习）复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点位于第一象限，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____________.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 ，虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为纯虚数；③ SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤若实数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·浙江·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0
B．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0
C．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0
D．如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·浙江·高三专题练习）复数 SKIPIF 1 < 0 ，若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点与复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点（ ）
A．关于实轴对称B．关于虚轴对称
C．关于原点对称D．关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
8．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·全国·高三专题练习）若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则在复平面内 SKIPIF 1 < 0 所对应的点为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 10．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．（2022·全国·高三专题练习（理））设复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．（2022·全国·高三专题练习）若复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当 SKIPIF 1 < 0 时，就有 SKIPIF 1 < 0 ，根据上述背景知识，试判断 SKIPIF 1 < 0 表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
15．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， SKIPIF 1 < 0 表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
16．（2022·全国·模拟预测）已知复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
17．（2022·全国·高三专题练习）设复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 18．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
19．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．（2022·浙江·高三专题练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，复数z的实部为 SKIPIF 1 < 0 ，则复数z的虚部是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
21．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
22．（2022·全国·高三专题练习（文））若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．0B．2C．4D．6
23．（2021·全国·高三专题练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．25B．5C． SKIPIF 1 < 0 D．41
24．（2021·全国·高三阶段练习（理））复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
25．（2022·全国·高三专题练习）若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的值可能为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
26．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是纯虚数B． SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第二象限
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
27．（2022·江苏·高三专题练习）若复数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则下列结论正确的是
A． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数D． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0
28．（2021·江苏·海安高级中学高三阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
29．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 是实数D． SKIPIF 1 < 0 是纯虚数
30．（2021·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
31．（2021·重庆·模拟预测）已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位）在复平面内的对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A．复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
32．（2021·全国·高三专题练习（理））设 SKIPIF 1 < 0 为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
33．（2021·湖南·高三阶段练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位）在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数）
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
34．（2022·浙江·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
35．（2022·全国·高三专题练习（文）） SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有实根，则实数 SKIPIF 1 < 0 ___________，
36．（2022·上海·高三专题练习）若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
37．（2022·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，若复数 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数，则实数m的值为___________.
38．（2022·全国·高三专题练习（理））复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为实数，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
39．（2022·上海·高三专题练习）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正实数，则复数 SKIPIF 1 < 0 __________.
40．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若 SKIPIF 1 < 0 为实数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
41．（2022·全国·高三专题练习）已知m∈R，复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位），若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是_____
42．（2022·全国·高三专题练习）若复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，i为虚数单位）满足 SKIPIF 1 < 0 ，写出一个满足条件的复数 SKIPIF 1 < 0 __________．
43．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的实系数方程 SKIPIF 1 < 0 的一个复数根，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
44．（2021·重庆梁平·高三阶段练习） SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
45．（2021·全国·高三专题练习）i是虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ________．