云南省昆明市第三十中学2023-2024学年八年级下学期开学考数学试题（解析版）

这是一份云南省昆明市第三十中学2023-2024学年八年级下学期开学考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2. 科学家发现一种病毒直径为0.00023微米，则0.00023用科学记数法可以表示为（ ）
A. 2.3×104B. 0.23×10﹣3C. 2.3×10﹣4D. 23×10﹣5
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00023微米用科学记数法可以表示为2.3×10-4微米，
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可．
【详解】解：在△ABC中，AB=4，BC=7，
则7-4＜AC＜7+4，即3＜AC＜11，
∴边AC的长可能是4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. b2•b3＝b6B. （2x+y）2＝4x2+y2
C. （﹣3x2y）3＝﹣27x6y3D. x+x＝x2
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项进行解答．
【详解】解：A、b2•b3＝b5，不符合题意；
B、（2x+y）2＝4x2+4xy+y2，不符合题意；
C、（﹣3x2y）3＝﹣27x6y3，符合题意；
D、x+x＝2x，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项等知识点．
5. 如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ ）
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】由“SAS”可证△AEB≌△ADC，可得∠BAE＝∠CAD＝60°，即可求解．
【详解】解：∵∠1＝∠2＝100°，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∵AD＝AE，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AEB≌△ADC是本题的关键．
6. 若是完全平方式，则m的值等于（ ）
A. 3B. C. 7D. 7或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方式．根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得：或；
故选：D．
7. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】A
【解析】
【分析】利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案．
【详解】解：根据多边形的内角和可得：，
解得：．
则这个多边形是五边形．
故选：A．
【点睛】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式．
8. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．
【详解】解：∵由图可知：
∴，，
∴原式
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，完全平方公式，绝对值，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
9. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形外角性质，根据外角性质求解即可，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
故选：．
10. 已知：﹣=，则的值是（ ）
A. B. ﹣C. 3D. ﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】已知等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后即可得到结果．
【详解】∵﹣=，
∴=，
则=3，
故选C．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，化简求值的方法有直接代入法，整体代入法等常用的方法，解题时可根据题目具体条件选择合适的方法，当未知的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为0.
11. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2 xm/min，根据时间=路程÷速度，结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少15 min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2m/min，
依题意得：
故选：B.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.
12. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 4.8
【答案】D
【解析】
【分析】先作CE⊥AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．
【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME=MN，
∴CM+MN=CM+ME=CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB，
∴，
∴10CE=6×8，
∴CE=4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故应选：D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、角分线性质，找到使CM+MN最小时的动点M和N是解决本题的关键．
13. 如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，且∠B＝60°，则∠EDC的度数等于（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=60°，
∴∠EDC=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14. 如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负数解，那么所有符合条件的整数m的值之和为（ ）
A. -2B. 0C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是由不等式组的解集求参数的取值范围，分式方程的非负整数解问题，掌握以上知识是解题的关键．
先解不等式组，由不等式组的解集求的取值范围，再解分式方程，由分式方程有非负数解，求值的范围，综合得到的范围，结合为整数，可得答案．
【详解】解：
由①得：，
，
由②得：，
，
，
不等式组的解集为：，
，
，
由可得，
，
，
分式方程有非负数解，
，且，
，且，
，且，
综上：且，
又为整数，
为
，
故选：A
15. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质．连接常用的辅助线构造全等三角形是解题关键．
【详解】解：∵为的平分线，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，平分，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，即平分．
∵与不重合，
∴不平分，故③错误；
如图，连接，

∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
∵，，
∴，故④正确．
综上可知正确的有3个．
故选C．
二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：________.
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查提公因式法与公式法分解因式，先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
【详解】解：，
故答案为：．
17. 如图，已知，，请你补充一个条件， 使，你添加的条件是_____．
【答案】或或或．（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】
【分析】已知条件是，，补充的第三个条件可以是边，用SAS判断全等，也可以是角，用AAS或者ASA判定全等，所补充的条件一定要符合全等三角形的判定定理．
【详解】解：，，
根据ASA判断全等添加；
根据AAS判断全等添加；
根据SAS判断全等添加或，
故答案为：或或或．（答案不唯一，符合题意即可）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，熟练运用判定定理是解题的关键．
18. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
19. 如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键．利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用表示出、并找出规律，再利用规律得到结论．
【详解】解：和的平分线交于点，
，．
，
．
，
．
同理可得：，
．
．
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，整式除法的运算方法，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）根据平方差公式，以及整式除法的运算方法计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
．
21. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】观察可得最简公分母是（x−5），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：去分母，得．
化简，得．
解得．
检验：把代入最简公分母．
所以是原分式方程的解．
【点睛】此题考查了分式方程的求解方法．注意掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验．
22. 如图，点在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，进而由可证明，即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
23. 先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．
【答案】，当时，原式值为
【解析】
【分析】先计算分式的减法运算，再把除法转化为乘法运算，得到化简后的结果，再选代入化简求值即可.
【详解】解：原式

，
，
当时，原式.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键.
24. 如图，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）若与关于x轴成轴对称，作出；
（2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______；
（3）计算的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P．
（1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可作出；
（2）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时周长最小
（3）利用割补法求解即可．
小问1详解】
解：如图，即为所求；
小问2详解】
解：如图，点P即所求．P坐标为0,2，
故答案为0,2．
【小问3详解】
解：．
25. 如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE＝BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F，求证：
（1）EF⊥AB；（2）DE＝2DF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可；
（2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
26. 春节前夕，某超市用元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用元购进第二批这种箱装饮料.已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多元，且数量是第一批箱数的倍.
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【答案】（1）第一批箱装饮料每箱的进价是200元；（2）至少标价元.
【解析】
【分析】（1）设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，根据第二批数量是第一批箱数的43倍，列方程求解；
（2）设每箱饮料的标价是y元，根据全部售完后总利润率不低于，列出不等式，求解即可．
【详解】解：（1）设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，依题意列方程得
解得：
经检验，是所列方程的解，
答：第一批箱装饮料每箱的进价是200元.
（2）设每箱饮料的标价是y元，依题意得
解得：
答：至少标价元.
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
27. 如图①，已知是等边三角形，于点M，点P是直线BC上一动点，设点P到两边AB、AC的距离分别为，，的高为h．
（1）当点P运动到什么位置时，，并说明理由．
（2）如图②，试判断，，h之间的关系，并证明你的结论．
（3）如图，当点P运动到BC的延长线上时，求证：．
【答案】（1）当点P与点M重合时，，理由见解析；
（2）h＝h1＋h2，证明见解析；
（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）当点P与点M重合时，过点M作MF⊥AB于点F，ME⊥AC于点E，由等边三角形的性质得出BM＝CM，AB＝AC，则S△ABM＝S△ACM，根据三角形面积公式可得出结论；
（2）连接AP，根据S△ABC＝S△ABP＋S△APC可得出结论；
（3）连接AP，根据S△APC＋S△ABC＝S△ABP可得出h2＋h＝h1，进行变形后可得出结论．
【小问1详解】
解：当点P与点M重合时，h1＝h2，
理由：过点M作MF⊥AB于点F，ME⊥AC于点E，如图①，则MF＝h1，ME＝h2，
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，
∴BM＝CM，AB＝AC，
∴S△ABM＝S△ACM，
∴AB•MF＝AC•ME，
∴MF＝ME，
∴h1＝h2；
【小问2详解】
h＝h1＋h2．
证明：如图②，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP＋S△APC，
∴BC•AM＝AB•PF＋AC•PE，即BC•h＝AB•h1＋AC•h2，
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC，
∴h＝h1＋h2；
【小问3详解】
解：如图③，连接AP，则 S△APC＋S△ABC＝S△ABP，
∴AC•PE＋BC•AM＝AB•PF，即 AC•h2＋BC•h＝AB•h1，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，
∴h2＋h＝h1，
∴，
∴，
两边同时除以2022得，，
∴，即．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，三角形的面积，运用等积法建立关系式是解题的关键．