新高考数学一轮复习 讲与练第10练 导数与函数的单调性（2份打包，原卷版+解析版）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
对于A，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是R，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是R上的增函数，满足题意；
对于B，函数 SKIPIF 1 < 0 是R上的减函数， SKIPIF 1 < 0 不满足题意；
对于C，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不满足题意；
对于D，函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域R上不是单调函数， SKIPIF 1 < 0 不满足题意．
故选：A．
2．函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
B． SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
D． SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
【答案】A
【详解】
函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为R，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，故排除选项C，D；
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故选项A正确，选项B错误，
故选：A．
3．函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
解：因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 图象知，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数为增函数，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数为减函数，对应图象为A.
故选：A．
5．若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则实数a的取值范围( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
由题可知， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A﹒
6．设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，若对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
解：因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，表示点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的连线的斜率，
由图可知 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
7．若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数m的最小值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递减函数，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．已知关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
解：令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上函数 SKIPIF 1 < 0 有唯一的零点，即方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一的解，
又因为关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的实数根，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，原方程要有两个不同的实数根，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图像有两个交点，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
结合图像可知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
二、多选题
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （e为自然对数的底数， SKIPIF 1 < 0 ），则关于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点B．有2个极值点C．在 SKIPIF 1 < 0 单调递增D．最小值为1
【答案】BC
【详解】
SKIPIF 1 < 0 定义域为R， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或1，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
如下表：
从而判断出函数有两个极值点，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
BC正确，
由于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 无零点，A错误，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
10．函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．3是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
C． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
D．曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率小于零
【答案】AD
【详解】
A：由导函数的图象可知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以3是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，因此本选项说法正确；
B：由导函数的图象可知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，因此本选项说法不正确；
C：由导函数的图象可知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以本选项说法不正确；
D：：由导函数的图象可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以本选项说法正确，
故选：AD
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 D．方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解
【答案】BC
【详解】
对于A，由 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误，
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确，
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确，
对于D，由C选项可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， 所以函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点个数为1，所以 SKIPIF 1 < 0 有1个解，所以D错误，
故选：BC
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0
C．曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 D．曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，B正确；因为 SKIPIF 1 < 0 .所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，D正确；
故选：BD
三、解答题
13．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在定义域R内单调递增，求a的取值范围.
【详解】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0
单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
（2）由题可知： SKIPIF 1 < 0 在定义域R内单调递增
等价于 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
15．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中k∈R.当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
【详解】
由题设， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，在R上 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
【详解】
函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时，函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
-
0
+
0
-
SKIPIF 1 < 0
递减
极小值1
递增
极大值 SKIPIF 1 < 0
递减