2020-2021学年山东省德州市庆云县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年山东省德州市庆云县八年级下学期期中数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
3．已知且，化简二次根式的符合题意结果是（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题：
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②④
5．如图，在平行四边形中，E，F是对角线上不同的两点，连接，，，.下列条件中，不能得出四边形一定是平行四边形的为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12B．24C．12 D．16
7．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.则线段EF的最小值为（ ）
A．6B．C．5D．
8．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD=50°，则∠OED的度数是（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
9．如图，平行四边形中，对角线相交于O，，分别是的中点，以下结论：①；②；③；④平分，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
10．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结 若 ， ，则 的度数为( )
A．B．C．D．
11．如图，在正方形 中，E为 边上一点，F为 延长线上一点，且 ，连接 .给出下列至个结论:① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
12．边长为1的等边，分别取，边的中点D，E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作照此规律作下去，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每题4分，共24分)
13．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
14．已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为 ．
15．如图，已知，数轴上点A所表示的数是 ．
16．如图，点O是菱形对角线的交点，，连接，设，则的长为 ．
17．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是
18．如图，四边形ABCD中，，，，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止；点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ分原四边形为两个新四边形；则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
三、解答题(共78分)
19．
（1）
（2）
20．先化简，再求值： .其中 .
21．
（1）如图，在四边形 中，，，，，，求证：．
（2）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6 秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米?（假设绳子是直的，结果保留根号）．
22．如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别在和的延长线上，且，连接，．
（1）求证：≌；
（2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
23．如图，中，，是边上的高，点O是中点，延长到E，使，连接，．
求证：四边形是矩形．
24．如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为t秒（）．过点作于点F，连接．
（1）求证：；
（2）四边形可能成为菱形吗？如果可能，求出相应的t值；如果不可能，说明理由．
25．如图一，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．
（1）求证：（提示：取的中点G，连接）．
（2）如图二所示，若把条件“点E是边的中点”改为“点E为上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．
（3）如图三所示，若把条件“点E是边的中点”改为“点E为延长线上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 符合最简二次根式的定义，故本选项符合题意；
C、 含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 被开方数含分母，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式满足的两个条件：被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式；被开方数不能含有分母，对各选项逐一判断即可。
2．【答案】C
【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得m≥1且m≠2．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分母不为0即可求解.
3．【答案】D
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意：，即ab≤0，
∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
所以原式= = ，
故答案为：D．
【分析】由二次根式的被开方数为非负数，可得ab≤0，由a＜b可得a＜0，b≥0，利用二次根式的性质化简即可.
4．【答案】C
【考点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：①正确，∵a2+b2=c2，∴（4a）2+（4b）2=（4c）2，
②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”
③错误，∵122+212≠252，∴不是直角三角形；
④正确，∵b=c，c2+b2=2b2=a2，∴a2：b2：c2=2：1：1，
故选C．
【分析】本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形．
5．【答案】B
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可
A、若BE=DF，则OB-BE=OD-DF，即OE=OF，不符合题意
B、若AE=CF，则无法判断OE=OF，符合题意
C、AF∥CE能利用角角边证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF，放选项不符合题意
D、∠BAE=∠DCF能够利用角角边证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后根据A选项可得OE=OF，不符合
题意
故答案为：B．
【分析】连接AC与BD相交于O，由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可，据此逐项解答即可.
6．【答案】D
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2 ，即AB=2 ，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2 ×8=16 ．
故答案为：16 ．
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．
7．【答案】D
【考点】垂线段最短；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CD,
∵ , ,
∴四边形 是矩形， ,
由垂线段最短可得 时线段 的长度最小，
∵ ;
∴ ;
∵四边形 是矩形
∴
故答案为： .
【分析】连接CD,判断四边形 是矩形，得到 ，在根据垂线段最短求得最小值.
8．【答案】C
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=50°，
∴O为BD中点，∠DBE= ∠ABC=65°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE=BE=OD，
∴∠OEB=∠OBE=65°．
∴∠OED=90°-65°=25°．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=BE=OD，根据菱形性质可得∠DBE= ∠ABC=65°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°-∠OEB即可．
9．【答案】B
【考点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；角平分线的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=DO= BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，
又∵BD=2AD，
∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，故①符合题意；
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF= CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE= AB=AG=BG
∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故②不符合题意；
∵BG=EF，AB∥CD∥EF，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF=BE，且BG=EF，GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），故③符合题意；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG，
∴∠AEG=∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④符合题意，
故答案为：B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形且BD=2AD，可得OB=BC=OD=DA，利用等腰三角形三线合一可得BE⊥AC，据此判断①；由三角形中位线定理可得EF∥CD，EF=CD，根据直角三角形斜边中线的性质可得GE=AB=AG=BG，即得EG=EF=AG=BG，据此判断②；证明四边形BGFE是平行四边形，可得GF=BE，且BG=EF，GE=GE，证明△BGE≌△FEG（SSS），据此判断③；由EF∥CD∥AB可得
∠BAC=∠ACD=∠AEF，由AG=GE可得∠GAE=∠AEG，继而得出∠AEG=∠AEF，据此判断④.
10．【答案】B
【考点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 ， ，
，
▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
是 的中位线，
，
，
故答案为：B．
【分析】直接利用三角形内角和定理得出 的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
11．【答案】C
【考点】三角形全等及其性质；正方形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，延长BE，交DF于点G，
四边形ABCD是正方形，
，
在 和 中， ，
，
，则结论①正确；
即 ，则结论④正确；
由对顶角相等得： ，
，即 ，
，则结论②正确；
，
，则结论③正确；
假设 ，
，
，
则在 中， ，
，
点 为 边上一点，
，不一定等于 ，
则假设不一定成立，结论⑤错误；
综上，正确结论的个数是4个，
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），①先根据正方形的性质可得 ，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得；②先根据三角形全等的性质可得 ，再根据三角形的内角和定理、等量代换可得 ，由此即可得；③根据勾股定理即得；④根据①中所证的全等三角形的性质即可得；⑤假设 ，再解直角三角形可得 ，从而得出与题意不符，由此即可得.
12．【答案】C
【考点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E是BC的中点，EF∥AC，
∴EF是△ABC的中位线，
∴
∵BC 边的中点为 D ，
∴，
∴四边形EDAF是菱形，
∴ ；
同理求得： ，
∴．
故答案为：C．
【分析】由三角形中位线定理可得 ，从而可证四边形EDAF是菱形，可得 ，同理求出C2、C3···，从而得出规律，将n=2021代入即可得解.
13．【答案】4
【考点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴3a﹣1＝2a＋3，
∴a＝4，
故答案为：4.
【分析】由于最简二次根式 与可以合并，可得被开方数相同，据此解答即可.
14．【答案】-2
【考点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可求出x值，再求出y值，从而得解.
15．【答案】
【考点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，由勾股定理得：CB=，
∴CA=CB= ，
∴A到原点的距离是 ，
∵A在原点左侧，
∴点A所表示的数是 ，
故答案为： ．
【分析】由勾股定理得CB= ，观察图形可得CA=CB=，从而求出A到原点的距离是，由点A的位置写出结论即可.
16．【答案】13
【考点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC=5，OB=OD= BD=12，
∴∠DOC=90°，CD= =13，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE=CD=13，
故答案为：13．
【分析】由两组对边分别平行推出四边形OCED为平行四边形，由菱形的性质可得AC⊥BD，OA=OC
= AC=5，OB=OD=BD=12，利用勾股定理求出CD=13，从而可证平行四边形OCED为矩形，利用矩形的性质即可得解.
17．【答案】25
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，
四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，
∴2ab=12，
联立解得：（a+b）2=13+12=25．
故答案为：25．
【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．
18．【答案】4或5
【考点】平行四边形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设点P和点Q运动时间为t
∵，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止
∴点P运动时间 秒
∵，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止
∴点Q运动时间 秒
∴点P和点Q运动时间
直线PQ分原四边形为两个新四边形，其中一个新四边形为平行四边形，分两种情况分析：
当四边形PDCQ为平行四边形时
结合题意得： ，
∴
∴，且满足
当四边形APQB为平行四边形时
结合题意得： ，
∴
∴，且满足
∴当P，Q同时出发秒4或5后其中一个新四边形为平行四边形．
【分析】分两种情况：①当四边形PDCQ为平行四边形时，；②当四边形APQB为平行四边形时 ，据此分别求解即可.
19．【答案】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=
【考点】实数的运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算乘方、开方、负整数幂、绝对值，再计算加减即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式进行计算，再合并即可.
20．【答案】解：原式
当 时，原式
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】首先将括号内的第二个分式利用分式的性质改变符号，然后将括号内的部分利用同分母分式的减法法则计算，再分别将各分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，约分化简，最后代入x的值计算即可.
21．【答案】（1）证明：∵∠C=90°，BC=4，CD=3，
∴BD=5．
又∵AB=13，AD=12，
∴
即：．
∴AD⊥BD．
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴ （米）
∵此人以0.5m/s的速度收绳，6 s后船移动到点D的位置，
∴CD=13-0.5×6=10（米），
∴
∴（米）
答船向岸边移动了米．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理推出△ADB为直角三角形且∠ADB=90°
（2） 在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，由题意求出CD=13-0.5×6=10（米）， 再利用勾股定理求出AD，根据BD=AB-AD即可求解.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADB=∠CBD，
又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠ADE=∠CBF
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF；
（2）解：四边形是菱形
理由如下：
如图，连接，，
由（1）得△ADE≌△CBF
∴CF=AE， ∠E=∠F
∴AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形
当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD
又∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ABD
∴AD=AB=BC
∴△ABC为等腰三角形
由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF
∴平行四边形AFCE是菱形
【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 由平行四边形的性质可得AD=BC，∠ADB=∠CBD， 利用补角的性质可得∠ADE=∠CBF，根据SAS证明△ADE≌△CBF；
（2）四边形是菱形，理由：连接，， 根据一组对边平行且相等可证 四边形AFCE是平行四边形 ，由角平分线的定义及平行线的性质可求出∠ABD=∠ABD ，利用等角对等边可得 AD=AB
=BC ， 由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF ，根据菱形的判定即证.
23．【答案】证明：∵点O是中点，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴四边形矩形
【考点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】 根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形， 利用高线的定义可得 ，根据有一个角是直角的平行四边形是菱形即证.
24．【答案】（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）解：能； 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB==5，
∴AC=2AB=10，
∴AD=AC-DC=10-2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=10-2t，
∴t=，
即当t=时，△DEF为等边三角形．
【考点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由题意可得DC=2t，AE=t， 根据含30°角的直角三角形的性质可得DF= CD=t，即得AE=DF；
（2）能为菱形，理由： 易证四边形AEFD为平行四边形， 根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=10， 从而求出 AD=AC-DC=10-2t， 当AE=AD时平行四边形AEFD为菱形 ，可得t=10-2t， 求出t值即可.
25．【答案】（1）证明：取AB中点M，连接EM，
∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM=CE=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：成立，
理由是：如图2，在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（3）解：成立．
证明：如图3，在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．
∴BN=BE，
∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
即∠DAE+90°=∠BEA+90°，
∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1） 取AB中点M，连接EM，证明△AME≌△ECF（ASA），可得AE=EF；
（2）成立. 在AB上截取BM=BE，连接ME，证明△AME≌△ECF（ASA），可得AE=EF；
（3）成立. 在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．证明△ANE≌△ECF（ASA），可得AE=EF．