2020-2021学年山东省烟台市蓬莱区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年山东省烟台市蓬莱区八年级下学期期中数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．当a为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个
，，，，，
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．使式子有意义的实数x的取值范围是（ ）
A．x≤3B．x≤3且x≠0C．x＜3D．x＜3且x≠0
3．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．且D．且
4．如图，四边形 是菱形，E、F分别是 、 两边上的点，不能保证 和 一定全等的条件是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．方程是关于x的一元二次方程
B．方程的常数项是4
C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D．用配方法解一元二次方程，可化为
7．下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．如下图，在菱形中，，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
9．已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如下图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，在矩形 中， ， ，过对角线交点 作 交 于点 ，交 于点 ，则 的长是( )
A．1B．C．2D．
二、填空题
13．若关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ．
14．若，则的值是 ．
15．对于实数 ，定义运算“◎”如下： ◎ .若 ◎ ，则 .
16．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形 的内角，正方形 变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形 的面积之比为 ．
17．若，则的值为 ．
18．如图1，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线、剪开，拼成如图2所示的，若中间空白部分四边形恰好是正方形，且的面积为，则正方形的面积为 ．
三、解答题
19．计算：
（1）
（2）
20．解方程：
（1）
（2）
21．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，点 、 在 上， ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 和 的长．
22．求 的值.
解：设x= ，两边平方得： ，即 ，x2=10
∴x= .
∵ ＞0，∴ = .
请利用上述方法，求 的值.
23．已知关于x的方程 有两实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为 、 ，且 ，求实数k的值.
24．某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
25．如图，四边形是正方形，点E在直线上，连接将沿所在直线折叠，点B的对应点是点，连接并延长直线于点F．
（1）当点F与点C重合时，如图1，试证明：；
（2）当点F在的延长线上时，如图2，当点F在的延长线上时，如图3，线段、、有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：是二次根式的有：、、、共4个．
故答案为：B．
【分析】此题实质是考查二次根式有意义的条件，即被开方数必须是非负数。常见的非负数有代数式的绝对值、完全平方式及其与正数的和。
2．【答案】B
【考点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：使式子有意义的实数x的取值范围是：3﹣x≥0，且x≠0，
解得：x≤3且x≠0．
故答案为：B．
【分析】（1）代数式首先是分式，所以分母不等于0；
（2）其次分式的分子是二次根式，所以被开方数必须是非负数，注意不能遗漏任何一个条件。
3．【答案】D
【考点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得： 且
故答案为：D．
【分析】（1）首先要注意一元二次方程的概念，即二次项系数不为0；
（2）其次由于一元二次方程有实数根，所以根的判别式是非负数。
4．【答案】C
【考点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】∵四边形 是菱形，
∴AB=BC=CD=DA， ， ，
如果 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ (ASA)，故A符合题意；
如果EC=FC，
∴BC-EC=CD-FC，即BE=DF，
∵ ，
∴ (SAS)，故B符合题意；
如果AE=AF，
∵AB=DA， ，
是SSA，则不能判定 和 全等，故C不符合题意；
如果 ，
则 ，
∴ (SAS)，故D符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质结合全等三角形的判定方法，对各选项分别判断即可得解．
5．【答案】D
【考点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. ，故A不是最简二次根式，不符合题意；
B. ，故B不是最简二次根式，不符合题意；
C. ，故C不是最简二次根式，不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意．保存进入下一题
故答案为：D．
【分析】注意最简二次根式的被开方数不能是分数或分式，也不能含有开得尽方的因数或因式。
6．【答案】C
【考点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、当a=0时，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、方程 化为一般形式为3x2-4=0，所以常数项是-4，故此选项不符合题意；
C、一元二次方程常数项为0时，方程为ax2+bx=0（a≠0），当x=0时，左边=右边，所以0必是此方程的一个根，故此选项符合题意；
D、y2﹣2y﹣19=0，配方得(y﹣1)2=20，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】此题主要考查一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程解的意义及求解方法，学生必须熟练掌握并灵活运用一元二次方程三种求解方法。
7．【答案】D
【考点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ,本选项不成立；
B. ，本选项不成立；
C. = ，本选项不成立；
D. ，本选项成立.
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
8．【答案】B
【考点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图．
四边形 是菱形， ，
， ， ，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】此题既考查了菱形的性质，又考查了菱形面积的两种计算方法，解题关键是后者。
9．【答案】A
【考点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：已知m方程的根，
，
即 ，
，
．
．
故答案为：A．
【分析】此题既考查了一元二次方程解的概念，又考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键就是方程解的概念。
10．【答案】A
【考点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．
∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=3，CE= CD=1，
∴BE= = ．
故答案为：A．
【分析】因为正方形ABCD是轴对称图形，所以PD＝PB，则PD+PE转化为PB+PE，显然当B、P、E三点共线时，PB+PE有最小值。
11．【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故答案为：A．
【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．
12．【答案】B
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
即 ；
故答案为：B．
【分析】连接 ，由矩形的性质得出 ， ， ， ，由线段垂直平分线的性质得出 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
13．【答案】1
【考点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x=0是关于x的一元二次方程的一个根
∴把x=0代入方程中得：
即(k+3)(k-1)=0
解得： ，
∵
∴ k ≠ − 3
∴ k = 1
故答案为：1．
【分析】根据方程解的意义可得到关于k的一元二次方程，解方程可计算出k的值，但要注意一元二次方程的二次项系数不能为0，所以要对k的值进行取舍。
14．【答案】2
【考点】二次根式有意义的条件；非负数的性质：算术平方根
【解析】【解答】解：∵，，且
∴，
∴，
解得：a=2，b=−1
∴
故答案为：2．
【分析】因为算术平方根是非负数，所以当几个非负数的和为0时，每一个非负数都等于0，即可确定出a、b的值。
15．【答案】-3或4
【考点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
，
，
或 ，
所以 。
故答案为： 或 。
【分析】根据新定义运算的法则列出方程，求解即可。
16．【答案】
【考点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，过 作 于点E
∵在 中，
∴
∵四边形ABCD为正方形，四边形 为菱形
∴AB=AD，
∴
∴
∵ ，
∴
∴菱形 的面积与正方形 的面积之比为 ．
故答案为： ．
【分析】先根据题意得出菱形的边长和正方形的边长相等，再根据，得出菱形的高等于其边长的一半，最后分别列出正方形的面积和菱形的面积，在求出比值即可。
17．【答案】0
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；分母有理化
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
=0
故答案为：0
【分析】（1）首先对m进行分母有理化；
（2）再对所求代数式分解因式和变形；
解题的关键是熟练运用乘法公式，并能对所求代数式进行适当变形，达到简化计算目的。
18．【答案】25
【考点】因式分解﹣运用公式法；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设EF=a，BC=b，AB=c，则PQ=a-c，RQ=b-a，PQ=RQ，
∴a= ，
∵▱ALMN的面积为50，∴bc+a2+(a-c)2=50，
把a= 代入化简求值得b+c=10,，
∴a=5,
∴正方形EFGH的边长为5，
∴正方形EFGH的面积为25，
故答案为：25.
【分析】求正方形面积实则是求该正方形的边长，解题的关键是能找出图2中相邻两个三角形的边长与正方形的边长之间的数量关系，不难发现，图1中的正方形的边长恰好等于图1中矩形两邻边和的一半，再利用面积关系计算即可。
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【考点】0指数幂的运算性质；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）二次根式混合运算用到的知识点较多，必须熟练掌握0次幂或负整数指数幂运算法则、二次根式的加减乘除运算法则，并熟练进行二次根式的化简；
（2）会灵活运用平方差公式对二次根式进行分母有理化或简化运算。
20．【答案】（1）解：
，
（2）解：
，或
，
【考点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】一元二次方程的求解方法比较灵活，当系数比较简单时可考虑公式法或配方法；当等式两边有公因式时，可考虑因式分解法。
21．【答案】（1）证明： 四边形 为菱形
点 为 的中点
点 为 的中点
为 的中位线
∵OG∥EF
四边形 为平行四边形
又
四边形 为矩形
（2） 点 为 的中点， ，四边形 是菱形
，∠DOA=90°，AB=AD=10
∴
，
四边形 是矩形
∴
【考点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知 点为的中点，点为的中点 ，得出 为的中位线，得出，再根据 OG∥EF ，求证 四边形为平行四边形 ，因为 ，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质，得出 ，利用勾股定理得出AF的值，根据 四边形是矩形，得出 ， ，即可得出答案。
22．【答案】解：设x= + ，
两边平方得：x2=（ ）2+（ ）2+2 ，
即x2=4+ +4﹣ +6，
x2=14
∴x=± .
∵ + ＞0，∴x= .
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用平方法可求出x2，再根据二次根式的非负性，可得到x的值，即可求解。
23．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴△≥0，即 ≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3.
（2）解：由根与系数的关系可得 ，
由 可得 ，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得： ， （舍去），
经检验， 是原方程的根，
故 .
【考点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝ ≥0，解之可得.（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.
24．【答案】（1）解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）解：设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【考点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．
25．【答案】（1）解：由折叠可得，，
四边形是正方形，
，，
，
，
即；
（2）解：图（2）的结论：；
图（3）的结论：；
图（2）的证明：延长到点G，使，连接，
∵AB=AD，∠B=∠ADG，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
图（3）的证明：在上取点M，使，连接，
∵AB=AD，∠B=∠ADF，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠可得，，根据正方形的性质得出，即可得解；
（2）图（2）的结论：；图（3）的结论：；图（2）的证明：延长到点G，使，连接，证出，得出，即可得解；
（3）证出 ，再根据，得出，再根据平行线的性质得出，，即可得解。