安徽省安庆市怀宁县2023-2024年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，每小题A、B、C、D四个选项中，只有一个是正确的）
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.对每一项进行判断即可.
【详解】=5，错误；B=，正确；C.，错误；D.=，错误
故答案选B
【点睛】本题考查了同类二次根式的意义，解决本题的关键是正确的将二次根式化成最简.
2. 在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和及勾股定理可进行求解．
【详解】解：A、∵，，∴，能判定是直角三角形，故不符合题意；
B、∵，∴，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
C、由可设，则有，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
D、由可设，所以，解得，则，所以不能判定是直角三角形，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞B. k≥C. k＞且k≠1D. k≥且k≠1
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A. 140米B. 150米C. 160米D. 240米
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知小华走出了一个正多边形，根据正多边形的外角和公式可求解.
【详解】解：已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
所以多边形的边数为360°÷24°=15，
所以小明一共走了：15×10=150米．
故选B．
【点睛】本题考查多边形的外角和，熟练掌握运用多边形的外角和是解题关键.
6. 为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可．
【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
7. 四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据第一四分位数的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第2个与第3个数的平均数即为所求．
【详解】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为：
，
则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数，理解第一四分位数的定义是解题的关键．
8. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ）
A. 1.2B. 1.5C. 2.4D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案．
【详解】解：连接CM，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，，，
∴四边形CEMF是矩形，
∴，
∵点P是EF的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
9. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A. 5B. 5或C. 或D. 5或
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可．
【详解】解：当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），，
综上：x的值是5或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
10. 如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A. ①②④B. ①③④
C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；①先根据角平分线和平行得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断．
【详解】解：①平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②，，
，，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
中，，
，故②正确；
③由②知：，
，故③正确；
④由②知：是的中位线，
，
，
，
故④正确；
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11. 若有意义，则实数的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件“分母不为0”以及二次根式有意义的条件“被开方数不小于0”列不等式组，求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：且，
故答案为：且．
12. 已知，分别是的整数部分和小数部分，则式子的值是____.
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算．根据的整数范围先确定、的值，再计算的值．
【详解】解：，
，．
．
故答案为：4．
13. 某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按对员工进行年终考评．公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为 _____分．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，该职员的年终考评为（分，
故答案为：．
14. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．
【答案】5
【解析】
【分析】先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可
详解】解：由题意可得：
∴
∴
∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根
∴
∴
∴α2＋2β=5
故答案是：5
【点睛】本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键
15. 如图，已知矩形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠矩形，使点B，C分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合）．
（1）若为线段的中点，则____________；
（2）折痕的长度的取值范围为_____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）设，则，运用勾股定理计算即可．
（2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值，当与点A重合时，取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵矩形中，，，沿着折叠矩形，为线段的中点，
∴；
设，则，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
（2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值，
∵矩形中，，，，
∴四边形是矩形，
∴；
当与点A重合时，取得最大值，
∵矩形中，，，沿着折叠矩形，
∴；
设，则，
∴，
∴，
解得．
∵矩形中，沿着折叠矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
过点N作于点E，
则四边形是矩形，
∴；
∴，
∴，
故折痕的长度的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
三、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的计算，负整数指数幂，去绝对值，正确的计算是解题的关键；
先计算负整数指数幂，去绝对值，然后把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：
17. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第个图案有 颗黑色棋子，第个图案中黑色棋子的颗数为 ；
（2）据此规律用颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）能，是第个图案
【解析】
【分析】此题考查了图形变化规律的问题，能熟练运用归纳的方法从特殊到一般是解此题的关键．
（1）根据图形中黑色棋子的个数总结规律，即可求解；
（2）令第个图形的代数式等于，求得的值为正整数就能，否则就不能．
【小问1详解】
解：由图可得，第一个图形有个黑色棋子；
第二个图形有个黑色棋子；
第三个图形有个黑色棋子；
第四个图形有个黑色棋子；
，
由此可得，
第五个图形有个黑色棋子，
第n个图形有个黑色棋子；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：不能；理由如下：
设第个图形有颗黑色棋子，
由（1）可得，，
解得，（舍去）
∴用颗黑色棋子能摆放成一个图案，是第个图案．
18. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______．
（2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？
【答案】（1）30 （2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；
（2）过A作交于点D．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边，
∴这块试验基地的面积为，
故答案为：30；
【小问2详解】
解：过A作交于点D．
设，则．
在和
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得,
∴．
四、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 在网格中，点和直线的位置如图所示：
（1）将点向右平移个单位，再向上平移个单位长度得到点，在图1中网格中标出点，并写出线段的长度______．
（2）在（1）的条件下，在直线上确定一点，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出的最小值______；
（3）若点，点的坐标分别为0,2，；点为直线l上的点，是以为斜边的直角三角形，在图2网格中建立直角坐标系，并标出点点，点的坐标是______．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析，
（3）作图见解析，或
【解析】
【分析】本题考查作图—平移变换，轴对称—最短问题，勾股定理的应用，
（1）根据要求画出线段即可，利用勾股定理求出的长．
（2）作点关于直线对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小．
（3）设，根据勾股定理建立方程，求解即可；
解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质及勾股定理．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所作，
根据题意，每个小正方形的边长为个单位长度，
∴，
故答案为：；
小问2详解】
如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴，
∴，
∴的最小值为的长，则点即为所作，
此时，
∴的最小值为，
故答案为：；
小问3详解】
建立平面直角坐标系如图，设，
∵，，
∴，，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
即：，
解得：或，
∴点的坐标是2,0或．
故答案为：2,0或．
20. 某校深入开展了以“珍爱生命 谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，）
九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，，
九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，，
通过数据分析，结果如下：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
九年级（2）班学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述、、的值： ， ， ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？
【答案】（1），，
（2）学校会选派九年级（1）班
（3）人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，能从统计图中获取有用数据是解题的关键；
（1）先求出组所占百分比，再将减去其他三组所占百分比，即可求出的值；根据中位数和众数的概念即可确定，的值；
（2）根据方差的意义即可判断会选派哪一个班级；
（3）用样本估计总体的思想即可解决问题．
【小问1详解】
解：组占，
，
，
∵九年级（2）班名学生的成绩A组有（人），B组有（人），
九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，，
∴第5名和第6名的成绩为92，94，
，
九年级（1）班名学生的成绩中，出现两次，是出现最多的数据，
；
故答案为：，，；
【小问2详解】
这次比赛，学校会选派九年级（1）班，
，且两班的平均数相同，
九年级（1）班成绩更稳定，
学校会选派九年级（1）班；
【小问3详解】
（人），
答：估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数为人．
五、（本题12分）
21. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）
【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元
【解析】
【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；
（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．
【详解】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，
∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．
故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；
（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，
整理，得
x2﹣420x+32000=0，
解得x1=320，x2=100．
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
六、（本题14分）
22. 【方法回顾】
如图1，过正方形的顶点作一条直线交边于点，于点，于点，求证：：

【问题解决】
如图2，菱形的边长为，过点作一条直线交边于点，且，点是上一点，且，过点作，与直线交于点，若，求的长：

【思维拓展】
如图3，在正方形中，点在所在直线的上方，，连接、，若的面积与的面积之差为，则的值为________．（用含的式子表示）

【答案】【方法回顾】见解析；【问题解决】；【思维拓展】．
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识：
方法回顾：如图1，利用“”证明，则，然后利用得到．
问题解决：证明，推出，，再利用勾股定理构建方程解决问题即可．
思维拓展：如图3中，过点P作交的延长线于N，交的延长线于M，设，，设，由，推出，可得，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：方法回顾：如图1中，

四边形为正方形，
，，
，
，
，
，，
问题解决：如图2中，

四边形是菱形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
．
，
．
思维拓展：如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，则，

设，．
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，设，
，
，
，
在中，，
∴，
在中，
∴
．年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
九年级（2）班
入住的房间数量
房间价格
总维护费用
提价前
60
200
60×20
提价后