河南省信阳市潢川县2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份河南省信阳市潢川县2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共25页。

1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上，答题前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】A
解析：解：的绝对值是，
故选：A．
2. 如图，该三棱柱的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：该三棱柱的主视图是一个长方形内部有一条虚线，
故选：A
3. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：解：亿，
故选：B．
4. 如图，直线、交于点平分，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：D．
5. 下列各式从左向右变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：A、分子、分母都加2，分式的值改变，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误．
故选：B．
6. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：令圆心为，连接，如图所示：
以量角器的直径为斜边画直角三角形，
在上，
量角器上点对应的读数是，
，
，
，
，
故选：B．
7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
解析】解：
整理得，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8. 中国古代将天空分成东、北、西、南、中区域，称东方为苍龙象，北方为玄武（龟蛇）象，西方为白虎象，南方为朱雀象，是为“四象”．现有四张正面分别印有“苍龙象”“玄武象”“白虎象”“朱雀象”的不透明卡片（除正面图案外，其余完全相同），将其背面朝上洗匀，并从中随机抽取一张，记下卡片正面上的图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：将四张卡片分别记为A，B，C，D，
根据题意可画树状图如下，
由图可知共有16种等可能的结果，其中有2种结果为抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”，
∴抽到的两张卡片恰好是“苍龙象”和“朱雀象”的概率为．
故选D.
9. 如图是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点A到地面的距离为30，，，若用去一部分液体后液面降至，测量发现点E到地面的距离为，则EF的长为（ ）
A. 9B. 8C. 6D. 5
【答案】D
解析：解：设延长交于点G，设延长交于点，
点到地面的距离为30，
，
，
，
有题意可知，是等腰三角形，，
∴，
在中，
，
又到地面的距离为22，
，
在中，
，
，
．
故选：D．
10. 如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（ ）
A. 函数图象的横轴表示的长
B. 当点P为中点时，点H为线段的三等分点
C. 两段抛物线的形状不同
D. 图象上点的横坐标为时，纵坐标为
【答案】D
解析：解：∵在两段函数中，
∴点P点C重合．
∵等边的边长为1，，
∴．
∴，
∴．
∵符合所给点．
∴横轴表示的长，故A错误；
如图：作于点D．
又∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵P为中点，
∴．
∴．
∴．
∴点H为的四等分点，故B错误；
当P在上时，为x，则，
∴．
当P在上时，为x，则，
∴，
∴．
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
∴形状相同，故C错误；
当时，点P在上，
∴，故D正确．
故选D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 要根式有意义，则实数的取值范围为_____________．
【答案】
解析：解：由题意得：
∴，
故答案为：．
12. 不等式组的整数解为 __．
【答案】2
解析：解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组解集为，
不等式组的整数解为2．
故答案为：2．
13. 学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为1.92米，方差分别为米，米，则身高较整齐的球队为__________队（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
解析：解：由于，故身高较整齐的球队为甲队．
故答案为：甲．
14. 如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧， 以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E 处，若，则阴影部分的面积为____．
【答案】##0.5
解析】解：连接，如下图：
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∴扇形的面积为：，
∵的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过直角边中点时，的长为___．

【答案】或##或
解析：解：∵，，，
∴，，
的垂直平分线经过直角边中点，可分为以下二种情况：经过的中点E；经过的中点F．
当经过的中点E时，交于点G，如图：，

∵，垂直，
∴，
∴，
在中，，设，则，
由题意可得：，即
∴，
∴，
∵点G在上，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴由勾股定理得：；
当经过的中点F时，交于点F（G），如图：，

同理可证：，
在中，，，
∴．
综上：的长为 5或3．
故答案为： 3或5
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【小问1解析】
解：原式
；
【小问2解析】
解：原式
17. 为提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校现有学生七年级2000名，八年级1800名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】（1）92.5，94，
（2）八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好，见解析
（3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为2370人
【小问1解析】
解：，
∴中位数是第10位、第11位的平均数，
观察条形统计图可得，中位数在C组，
∴，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，，
，
故答案为：92.5，94，；
【小问2解析】
解：∵，
∴八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好；
【小问3解析】
解：七年级优秀人数为（人），
八年级优秀人数为（人），
（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为2370人．
18. 如图，点A，点C在反比例函数图像上，点C在点A下方，且点C坐标为，连接，过点A作轴交于点B，点B的纵坐标为．
（1）求k的值以及点A和点B的坐标；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1），，
（2）
【小问1解析】
解：把代入中可得，
设直线的解析式为：，则，解得，
∴直线的解析式为：，
把代入，得，解得，
∴，
∵轴，
∴A点的横坐标为2，
∵，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴．
【小问2解析】
解：∵，
∴．
19. 如图，是等边三角形，点分别在上，与相交于点．
（1）求证：；
（2）在线段的延长线上求作一点P，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】（1）证明见解析
（2）见解析
【小问1解析】
证明：∵是等边三角形，
∴
又∵，
∴．
∴
【小问2解析】
解：∵，
∴
作法一：如图所示，以B为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点P，则点P即为所求；或者以F为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点P，则点P即为所求．
作法二：如图所示，点P即为所求．
作法三：如图所示，作线段的垂直平分线，交的延长线于点P，则点P即为所求．
20. 如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600米至菜鸟驿站C取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．（参考数据：，）
（1）求菜鸟驿站C与超市B的距离（精确到个位）；
（2）若小南的步行速度为80米/分钟，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．（忽略小南买素描画纸的时间）
【答案】（1）424米
（2）会迟到，见解析
【小问1解析】
过点C作交的延长线于点D，
由题意知，，，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∴．
答：菜鸟驿站C与超市B的距离424米．
【小问2解析】
会迟到，理由如下：
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴小南上美术网课会迟到．
21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】（1）A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元
（2）共有以下3种购买方案：
方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆；
方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆；
方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆．
（3）方案3获利最大，最大利润是12.1万元
【小问1解析】
解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，依题意得：
，
解得：，
答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元．
【小问2解析】
解：设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，依题意得：
，
即：，
因为两种型号的汽车均购买，
所以a、b均为正整数，
所以或或，
所以共有以下3种购买方案：
方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆；
方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆；
方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆．
【小问3解析】
解：方案1可获利：（万元）
方案2可获利：（万元）
方案3可获利：（万元）
因为
所以方案3获利最大，最大利润是12.1万元．
22. 某街心公园设置灌两喷检为绿色观叶相物进行浇水，喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，喷头上下移动时，抛物线型水流随之竖直上下平移．小明先是固定灌溉喷枪，并量出喷枪的现有高度为，以地面为x轴，喷水口所在竖直方向为y轴建立直角坐标系，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平距离为，距地面的高度为，y与x的部分对应数值汇总如表．
（1）直接写出这股水流的路径所在抛物线的解析式，在图①中画出该函数在网格中的图象；
（2）如图②在地面上距离喷水杆处有一段斜坡长，坡角为，若要使喷出的水正好落在斜坡以内，那么P处的喷水口的高度的最大值是多少？
【答案】（1），图象见解析；
（2）．
【小问1解析】
根据题意得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为，与轴的交点为；
因此可设抛物线的解析式为：，
把代入，得，
解得：，
画出函数图象如图①所示．
图①
【小问2解析】
作轴于点如图②所示，
图②
则
；
，
则点的坐标为
根据题意，可设现在的抛物线解析式为：
因为点在抛物线上，
所以
解得：
因此，处的喷水口的高度的最大值为：．
23. 综合与实践：
（1）问题发现：如图，在中，是外角的平分线，则与的位置关系如何______．
（2）问题解决：如图，在矩形中，，点是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，求和线段的长．
（3）拓展迁移：如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点（点在点上方），若，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2），
（3）或
小问1解析】
解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是外角的平分线，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
【小问2解析】
解：∵沿直线翻折，点落在点处，
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）的证明可得，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，点是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴；
∵，
∴是等腰三角形，且，如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
解得，，
∴；
【小问3解析】
解：根据题意，的平行线的位置会随着点的位置的变化而变化，
第一种情况，当点在线段上时，如图所述，
∵折叠，
∴，
∴，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
设，则，，
∴，
∴，
解得，，
∴，则；
第二种情况，当点在线段上时，如图所述，延长交于点，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，，且，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴,
根据折叠性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴；
综上所述，的长为或．
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
a
95
m
八
91
93
b
x
…
1
2
3
5
…
y
…
1.875
2
1.875
0.875
…