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2023年河南省信阳市潢川县中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省信阳市潢川县中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省信阳市潢川县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数π，0，|−3|，−12中，最小的数是( )
A. −12 B. |−3| C. 0 D. π
2. “十三五”期间，河南将安排40.27亿元资金支持郑州大学、河南大学“双一流”建设.数据“40.27亿”用科学记数法表示为( )
A. 4.027×1010 B. 0.4027×1010 C. 4.027×109 D. 0.4027×109
3. 如图，圆锥的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在
4. 下列运算正确的是( )
A. −(a3)2=a5 B. a2+a2=a4
C. (12)−2=4 D. | 3−2|= 3−2
5. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中记载：“今有共买物人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人去购买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱，问有多少人，物品的价格是多少”？设有m人，物品价格是n钱，下列四个等式：①8m+3=7m−4；②n−38=n+47；③n+38=n−47；④8m−3=7m+4，其中正确的是( )
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④
6. 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是( )
A. 49 B. 13 C. 29 D. 19
7. 下列图象中，函数y=kx+k与y=kx(k≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
8. 如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE=3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N.设运动时间为t秒，当PM//BC时，t的值为( )
A. 2
B. 2
C. 3
D. 32
9. 在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1,0)，与y轴交于点B (0,3)，则a的取值范围是( )
A. a<0
B. −3
D. −92
10. 如图1，Rt△ABC中，点P从点C出发，匀速沿CB−BA向点A运动，连接AP，设点P的运动距离为x，AP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为BC中点时，AP的长为( )
A. 5 B. 8 C. 5 2 D. 2 13
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 已知一元二次方程x2+2kx−3=0有一个根为1，则k的值为______．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D.若点D到AB的距离为1，则BC的长为______ ．
13. 若点A(−3,y1)，B(−2,y2)，C(1,y3)都在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．
14. 如图，正五边形ABCDE的边长为1，分别以点C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为______ .(结果保留π)
15. 在正方形ABCD中，点E在AD上，AE=2，ED=4，连接BE，F是BE的中点，点G在CD上，且∠EFG=45°，则FG= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：(− 3)2−(12)−1−|−5|+tan45°；
(2)化简：2xx+2−x2−4x+4x2−4．
17. (本小题9.0分)
某区举办了一次安全知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】
从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
甲：30，60，60，70，60，80，30，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60
乙：80，90，40，60，80，80，90，40，80，50，80，70，70，70，70，60，80，50，80，80
【整理、描述数据】
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
学校
30≤x≤50
50
2
14
4
乙
4
14
2
(说明：优秀成绩为80
学校
平均分
中位数
众数
甲
67
60
60
乙
70
75
a
其中a= ______ ；
【得出结论】
(1)小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是______ 校的学生；(填“甲”或“乙”)
(2)张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为______ ；
(3)根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
18. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
(1)求证：DE=DC；
(2)连接OD，OE，当∠BAC= ______ 时，四边形ODCE为菱形；
(3)若AB=10，CE=4，则DE= ______ ．
19. (本小题9.0分)
小明想要测量如图所示的大树AB的高度，从树的底部B处沿BC方向走15米到了坡比为3：4的斜坡坡底C处，再沿斜坡向上走10米到D处，测得大树顶部A的仰
角为24°，小明的身高DE=1.6米，求树高AB.(精确到0.1米，参考数据：sin24°≈0.41.cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)
20. (本小题9.0分)
开学前夕，某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费125元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费90元．
(1)求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；
(2)若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
21. (本小题9.0分)
如图，抛物线y=ax2+4x+c与直线y=−x+5交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当−2≤x≤3时，请求出y的最大值和最小值；
(3)以AB为边作矩形ABCD，设点C的横坐标为m.当CD边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
22. (本小题10.0分)
参照学习函数y=2x的过程与方法，探究函数y=2x−2(x≠2)的图象与性质．
x
…
−2
−1
0
12
1
32
2
52
3
72
4
5
6
…
y=2x
…
−1
−2
■
4
2
43
1
45
23
47
12
25
13
…
y=2x−2
…
−12
−23
−1
m
−2
−4
■
4
2
43
1
23
12
…
(1)m= ______ ；
(2)请画出函数y=2x−2(x≠2)的图象；
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x<2时，y随x的增大而______ ；(填“增大”或“减小”)
②y=2x−2的图象是由y=2x的图象向平移______ 个单位长度而得到的；
③图象关于点______ 中心对称.(填点的坐标)
23. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别是AB和AC边上的动点，且AE=BD，AF⊥DE于点F，交BC于点G．
(1)如图1，当点D为AB的中点时，请直接写出BG与CE的数量关系：______ ；
(2)当D，E两点运动到图2所示的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若AB=2，当AD=2AE时，请直接写出BG的长度：______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得
−12<0<|−3|<π，
故在实数π，0，|−3|，−12中，最小的数是−12．
故选：A．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】C
【解析】解：40.27亿=4027000000=4.027×109．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的左视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的俯视图是圆，是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：C．
先判断圆锥的三视图，然后结合中心对称及轴对称的定义进行判断即可．
本题考查了简单几何体的三视图、轴对称及中心对称的定义，解答本题关键是判断出圆锥的三视图．
4.【答案】C
【解析】A.−(a3)2=−a6，故A错误；
B.a2+a2=2a2，故B错误；
C.(12)−2=4，故C正确；
D.| 3−2|=−( 3−2)=− 3+2，故D错误；
故选：C．
分别计算积的乘方、合并同类项、负指数幂运算、绝对值，进行判断即可．
本题考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方、合并同类项、负指数幂运算、绝对值计算则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
8m−3=7m+4，故①错误，④正确，
n+38=n−47，故②错误，③正确，
故选：D．
根据钱数可以列出相应的方程或者根据人数列出相应的方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【解答】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为49，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：当k>0时，函数y=kx+k的图象在第一、二、三象限，反比例函数y=kx的图象在第一、三象限，故选项A错误，选项D错误；
当k<0时，函数y=kx+k的图象在第二、三、四象限，反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误．
故选：B．
根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接ME，
∵MN垂直平分PE，
∴MP=ME，
当MP//BC时，四边形BCPM是矩形，
∴BC=MP=5，
∴ME=5，
又∵AE=3，
∴AM=4=DP，
∴t=4÷2=2(s)，
故选：B．
连接ME，依据MN垂直平分PE，可得MP=ME，当MP//BC时，四边形BCPM是矩形，即可得到BC=MP=5，ME=5，依据E=3，可得AM=4=DP，即可得到t的值．
本题主要考查了正方形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9.【答案】B
【解析】解：根据图象得：a<0，b<0，
∵抛物线与x轴交于A(1,0)，与y轴交于点B (0,3)，
∴a+b+c=0c=3，
∴a+b=−3，
∵b<0，
∴−3
根据图象得出a<0，b<0，由抛物线与x轴交于A(1,0)，与y轴交于点B (0,3)，得出a+b=−3，得出−3
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
通过观察图2可以得出AC=6，BC=a，AB=a+2，由勾股定理可以求出a的值，从而得出BC=8，AB=10，当P为BC的中点时CP=4，由勾股定理求出AP长度．
【解答】
解：因为P点是从C点出发的，C为初始点，
观察图象x=0时y=6，则AC=6，P从C向B移动的过程中，AP是不断增加的，
而P从B向A移动的过程中，AP是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即x=a时，BC=PC=a，此时y=a+2，
即AP=AB=a+2，AC=6，BC=a，AB=a+2，
∵∠C=90°，
由勾股定理得：(a+2)2=62+a2，
解得：a=8，
∴AB=10，BC=8，
当点P为BC中点时，CP=4，
∴AP= AC2+CP2= 62+42=2 13，
故选D．
11.【答案】1
【解析】解：把x=1代入原方程得，1+2k−3=0，
解得k=1，
故答案为：1．
根据一元二次方程的解(根)的意义，把x=1代入原方程，解出即可．
此题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解(根)的意义，把x=1代入原方程，解出k是解题关键．
12.【答案】1+ 2
【解析】解：过点D作DH⊥AB，则DH=1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD=DH=1，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B=45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD= 2HD= 2，
则BC=CD+BD=1+ 2，
故答案为：1+ 2．
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则CD=DH=1，进而求解．
本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
13.【答案】y3
∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵−3<−2<0，
∴点A(−3,y1)，B(−2,y2)在第二象限，
∴0
∴C(1,y3)点在第四象限，
∴y3<0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
14.【答案】 32−π15
【解析】解：连接CF，DF，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠CDE=∠AED=∠ABC=∠A=(5−2)×180°5=108°，BC=CD=DE=AB=AE=1，
∵分别以点C、D为圆心，边CD长为半径画弧，两弧交于点F，
∴CF=DF=CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠FCD=60°，
∴∠BCF=∠BCD−∠FCD=108°−60°=48°，
∴扇形BCF的面积=48⋅π×1360=2π15，△CDF的面积=12×1× 32= 34，扇形DCF的面积=60⋅π×1360=π6，
∴图中阴影部分的面积为2×2π15+ 34−2×π6+ 34= 32−π15，
故答案为： 32−π15．
根据正多边形的性质得出∠BCD=∠CDE=∠AED=∠ABC=∠A=108°，BC=CD=DE=AB=AE=1，根据等边三角形的判定得出△FCD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠FCD=60°，求出∠BCF，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
此题重点考查正多边形与圆、正多边形的中心角、等腰三角形的“三线合一”、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解是的关键．
15.【答案】5 52
【解析】解：延长BE交CD的延长线于点H，过点G作GP⊥BH于点P，
在Rt△ABE中，BE= 22+62=2 10，EF=BF= 10，
∵AB//DH．
∴△ABE∽△DHE．
∴BEEH=AEED=12，
∴EH=2BE=4 10，
∴FH=EF+EH=5 10，∠H=∠ABE．
∴tanH=PGPH=AEAB=13，
设PG=x，则PH=3x，
∵∠EFG=45°，
∴PF=PG=x，FG= 2x，
∴FH=FP+PH=4x=5 10，
即x=5 104，
∴FG= 2x=5 104× 2=5 52．
故答案为：5 52．
延长BE交CD的延长线于点H，过点G作GP⊥BH于点P，根据勾股定理得到BE= 22+62=2 10，EF=BF= 10，根据相似三角形的性质得到EH=2BE=4 10，根据三角函数的定义得到tanH=PGPH=AEAB=13，设PG=x，则PH=3x，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(− 3)2−(12)−1−|−5|+tan45°
=3−2−5+1
=−3；
(2)2xx+2−x2−4x+4x2−4
=2xx+2−(x−2)2(x+2)(x−2)
=2xx+2−x−2x+2
=2x−(x−2)x+2
=2x−x+2x+2
=x+2x+2
=1．
【解析】(1)先根据二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值和特殊角的三角函数值进行计算，再算加减即可；
(2)先分解因式，约分，再根据分式的减法法则进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，实数的混合运算和分式的加减等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的加减法法则进行计算是解此题的关键．
17.【答案】80 甲 110
【解析】解：【分析数据】，由表格中的数据可知，乙校的众数是80，故a=80，
故答案为：80；
(1)由表格可知，甲校的中位数是60，乙校的中位数是75，
小伟同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是甲校的学生，
故答案为：甲；
(2)乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为：220=110，
故答案为：110；
(3)乙学校竞赛成绩较好，
理由：第一，乙学校的中位数大于甲学校，说明乙学校的一半以上的学生成绩好于甲学校；第二，乙学校的平均分高于甲学校，说明乙学校学生的总体水平高于甲学校．
【分析数据】中，根据表格中的数据可以得到乙的众数，从而可以得到a的值；
(1)根据表格中两所学校的中位数可以解答本题；
(2)根据表格中的数据可以求得这名学生的竞赛成绩为优秀的概率；
(3)本题答案不唯一，只要说出理由合理即可．
本题考查利用频率估计概率、频数分布表、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】60° 2 5
【解析】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，设∠B=∠C=α，
在圆内接四边形ABDE中，∠AED=180°−∠B=180°−α，
∴∠DEC=180°−∠AED=180°−(180°−α)=α，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
(2)解：若四边形ODCE为菱形，则OE//BC．
∴∠AOE=∠B=α.同理∠AEO=∠C=α，
∴∠AOE=∠AEO．
∴AO=AE．
∴AO=AE=OE．
∴△AOE为等边三角形．
∴∠BAC=60°．
故答案为：60°．
(3)解：如图，连接BE，
∵AB=AG=10，
∴AE=10−4=6.在Rt△ABE中，BE= 102−62=8，
在Rt△BEC中，BC= 82+42=4 5．
连接AD，则AD⊥BC．
∴BD=CD．
在Rt△BEC中，DE=BC2=2 5．
故答案为：2 5．
(1)先根据等腰三角形的性质得出底角相等，设∠B=∠C=α，由题意求出∠DEC=a即可证明；
(2)若四边形ODCE为菱形，求证△AOE为等边三角形即可．
(3)连接BE，AD，根据勾股定理BE，BC即可求出DE．
本题考查与圆有关的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．
19.【答案】解：如图所示：
作EF⊥AB于点F，延长ED交BC的延长线于点G，
∴EG⊥BG.在Rt△CDG中，tan∠DCG=DGCG=34，
设DG=3x，则GG=4x，
(3x)2+(4x)2=102，解得x=±2(负值舍去)，
∴DG=6，CG=8，
在矩形BGEF中，BG=EF=15+8=23，BF=EG=6+1.6=7.6，
在Rt△AEF中，∠AEF=24°，
∴AF=EFtan24°≈23×0.45=10.35，
∴AB=AF+BF=10.35+7.6=17.95≈18(米)．
答：树高AB约为18米．
【解析】作EF⊥AB于点F，延长ED交BC的延长线于G，先解直角三角形Rt△CDG，求出CG，DG，再根据锐角三角函数定义求出AF的长，即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用一坡度问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)设购进A品牌文具袋的单价为a元，购进B品牌文具袋的单价为b元，根据题意得，
5a+5b=1253a+4b=90,
解得a=10b=15,
答：购进A品牌文具袋的单价为10元，购进B品牌文具袋的单价为15元；
(2)①由题意可得，y=(12−10)x+(23−15)(100−x)=800−6x，
则y关于x的函数关系式是y=−6x+800；
②由题意可得，
−6x+800≤40%[10x+15(100−x)]，
解得：x≥50，
又由①得：y=−6x+800，k=−6<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=50时，y达到最大值，即最大利润y=−50×6+800=500，
此时100−x=100−50=50，
答：购进A品牌文具袋50个，B品牌文具袋50个时所获利润最大，利润最大为500元．
【解析】本题综合考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及一元一次不等式的相关知识．
(1)设购进A品牌文具袋的单价为a元，购进B品牌文具袋的单价为b元，列出方程组求解即可；
(2)①根据总利润等于A，B的利润和列式即可解答；
②根据题意可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质即可求得y的最大值和相应的进货方案．
21.【答案】解：(1)∵直线y=−x+5交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为(5,0)，点B的坐标为(0,5)，
∵抛物线y=ax2+4x+c经过A，B两点．
∴25a+20+c=0c=5，解得：a=−1c=5，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+4x+5；
(2)由(1)得，y=−x2+4x+5=−(x−2)2+9，
∴当−2≤x≤2时，y随x的增大而增大，当2
当x=−2时，y=−(−2−2)2+9=−7；
当x=3时，y=−(3−2)2+9=8；
∴当−2≤x≤3时，y的最大值为9，最小值为−7；
(3)∵点A的坐标为(5,0)，点B的坐标为(0,5)，
∴OA=OB=5，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
当m>0时，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，点C的横坐标为m．
∴CB⊥AB，
∴∠CBE=∠OBA=45°，
∴CE=BE=m，
∴点C的坐标为(m,m+5)；
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，CD//AB，
∵点B是点A向右平移5个单位，向下平移5个单位得到的，
∴点D的坐标为(m+5,m)；
当点C恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，
∴−m2+4m+5=m+5，
解得：m1=0，m2=3，
当x=0时，点C与点B重合，不符合要求，
当m<0时，可得点D的坐标为(5+m,m)，
当点D恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，
∴−(5+m)2+4(5+m)+5=m，
解得：m1=0，m2=−7，
∴m的取值范围为−7≤m≤3且m≠0．
【解析】(1)先求得点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
(2)根据二次函数的性质可得出结论；
(3)利用等腰直角三角形的性质以及坐标与图形的性质可求得点C的坐标；再利用平移的性质求得点D的坐标即可；根据点C、D恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，据此求解即可．
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，直线和抛物线的交点以及解方程组和不等式组，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
22.【答案】−43 减小 2 (2,0)
【解析】解：(1)把x=12代入y=2x−2，
得y=212−2=−43，
∴m=−43．
故答案为：−43；
(2)函数图象如图所示：
(3)①当x<2时，y随x的增大而减小；
②y=2x−2的图象是由y=2x的图象向右平移2个单位长度而得到的；
③图象关于点(2,0)中心对称．
故答案为：减小；2；(2,0)．
(1)把x=12代入数y=2x−2(x≠2)即可得m的值；
(2)用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
(3)数形结合，观察函数图象即可得到答案．
本题考查了函数图象和性质，解题的关键是掌握列表、描点、连线作图象，再数形结合得函数性质．
23.【答案】BG= 2CE 4 23
【解析】解：(1)连接GE，
∵当点D为AB的中点，
∴AD=BD=12AB，
∵AB=AC，AE=BD，
∴AE=12AC，
∴DE//BC，AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
又∵AB=AC，
∴AG=GC，BG=GC．
又∵AE=12AC，
∴GC= 2CE，
∴BG= 2CE；
(2)(1)中的结论还成立，理由如下：
如图1，过点E作EM⊥EC且使EM=EC，
∴∠DAE=∠AEM=90°，
∴AD//EM，
∵AC=AB，BD=AE，
∴AD=CE，
∴AD=EM，
∴四边形ADEM为平行四边形，
∴AM//DE，
∵AG⊥DE，
∴AG⊥AM，
∴∠BAC=∠GAM=90°，
∴∠CAM=∠BAG，
又∵∠ACM=∠ABG=45°，AC=AB，
∴△ACM≌△ABG(ASA)．
∴CM=BG，
∵EM⊥EC，EM=EC，
∴CM= 2CE，
∴BG=CM= 2CE；
(3)设AE=x，则BD=AE=x，
∴CE=AD=2x，
∴AB=2，
∴x+2x=2，
∴x=23，
∴CE=43，
由(2)知BG= 2CE=4 23．
故答案为：4 23．
(1)先证AE=12AC，由等腰直角三角形的性质可求解；
(2)先证四边形ADEM为平行四边形，可得AM//DE，由“ASA”可证△ACM≌△ABG，可得CM=BG，由等腰直角三角形的性质可求解；
(3)先求出CE的长，由(2)的结论可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2023年河南省信阳市潢川县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数π，0，|−3|，−12中，最小的数是( )
A. −12 B. |−3| C. 0 D. π
2. “十三五”期间，河南将安排40.27亿元资金支持郑州大学、河南大学“双一流”建设.数据“40.27亿”用科学记数法表示为( )
A. 4.027×1010 B. 0.4027×1010 C. 4.027×109 D. 0.4027×109
3. 如图，圆锥的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在
4. 下列运算正确的是( )
A. −(a3)2=a5 B. a2+a2=a4
C. (12)−2=4 D. | 3−2|= 3−2
5. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中记载：“今有共买物人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人去购买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱，问有多少人，物品的价格是多少”？设有m人，物品价格是n钱，下列四个等式：①8m+3=7m−4；②n−38=n+47；③n+38=n−47；④8m−3=7m+4，其中正确的是( )
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④
6. 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是( )
A. 49 B. 13 C. 29 D. 19
7. 下列图象中，函数y=kx+k与y=kx(k≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
8. 如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE=3，动点P由点D向点C运动，速度为每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N.设运动时间为t秒，当PM//BC时，t的值为( )
A. 2
B. 2
C. 3
D. 32
9. 在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1,0)，与y轴交于点B (0,3)，则a的取值范围是( )
A. a<0
B. −3
D. −92
10. 如图1，Rt△ABC中，点P从点C出发，匀速沿CB−BA向点A运动，连接AP，设点P的运动距离为x，AP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为BC中点时，AP的长为( )
A. 5 B. 8 C. 5 2 D. 2 13
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 已知一元二次方程x2+2kx−3=0有一个根为1，则k的值为______．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D.若点D到AB的距离为1，则BC的长为______ ．
13. 若点A(−3,y1)，B(−2,y2)，C(1,y3)都在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．
14. 如图，正五边形ABCDE的边长为1，分别以点C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为______ .(结果保留π)
15. 在正方形ABCD中，点E在AD上，AE=2，ED=4，连接BE，F是BE的中点，点G在CD上，且∠EFG=45°，则FG= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：(− 3)2−(12)−1−|−5|+tan45°；
(2)化简：2xx+2−x2−4x+4x2−4．
17. (本小题9.0分)
某区举办了一次安全知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】
从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
甲：30，60，60，70，60，80，30，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60
乙：80，90，40，60，80，80，90，40，80，50，80，70，70，70，70，60，80，50，80，80
【整理、描述数据】
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
学校
30≤x≤50
50
2
14
4
乙
4
14
2
(说明：优秀成绩为80
学校
平均分
中位数
众数
甲
67
60
60
乙
70
75
a
其中a= ______ ；
【得出结论】
(1)小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是______ 校的学生；(填“甲”或“乙”)
(2)张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为______ ；
(3)根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
18. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
(1)求证：DE=DC；
(2)连接OD，OE，当∠BAC= ______ 时，四边形ODCE为菱形；
(3)若AB=10，CE=4，则DE= ______ ．
19. (本小题9.0分)
小明想要测量如图所示的大树AB的高度，从树的底部B处沿BC方向走15米到了坡比为3：4的斜坡坡底C处，再沿斜坡向上走10米到D处，测得大树顶部A的仰
角为24°，小明的身高DE=1.6米，求树高AB.(精确到0.1米，参考数据：sin24°≈0.41.cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)
20. (本小题9.0分)
开学前夕，某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费125元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费90元．
(1)求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；
(2)若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
21. (本小题9.0分)
如图，抛物线y=ax2+4x+c与直线y=−x+5交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当−2≤x≤3时，请求出y的最大值和最小值；
(3)以AB为边作矩形ABCD，设点C的横坐标为m.当CD边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
22. (本小题10.0分)
参照学习函数y=2x的过程与方法，探究函数y=2x−2(x≠2)的图象与性质．
x
…
−2
−1
0
12
1
32
2
52
3
72
4
5
6
…
y=2x
…
−1
−2
■
4
2
43
1
45
23
47
12
25
13
…
y=2x−2
…
−12
−23
−1
m
−2
−4
■
4
2
43
1
23
12
…
(1)m= ______ ；
(2)请画出函数y=2x−2(x≠2)的图象；
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x<2时，y随x的增大而______ ；(填“增大”或“减小”)
②y=2x−2的图象是由y=2x的图象向平移______ 个单位长度而得到的；
③图象关于点______ 中心对称.(填点的坐标)
23. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别是AB和AC边上的动点，且AE=BD，AF⊥DE于点F，交BC于点G．
(1)如图1，当点D为AB的中点时，请直接写出BG与CE的数量关系：______ ；
(2)当D，E两点运动到图2所示的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若AB=2，当AD=2AE时，请直接写出BG的长度：______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得
−12<0<|−3|<π，
故在实数π，0，|−3|，−12中，最小的数是−12．
故选：A．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】C
【解析】解：40.27亿=4027000000=4.027×109．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的左视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的俯视图是圆，是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：C．
先判断圆锥的三视图，然后结合中心对称及轴对称的定义进行判断即可．
本题考查了简单几何体的三视图、轴对称及中心对称的定义，解答本题关键是判断出圆锥的三视图．
4.【答案】C
【解析】A.−(a3)2=−a6，故A错误；
B.a2+a2=2a2，故B错误；
C.(12)−2=4，故C正确；
D.| 3−2|=−( 3−2)=− 3+2，故D错误；
故选：C．
分别计算积的乘方、合并同类项、负指数幂运算、绝对值，进行判断即可．
本题考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方、合并同类项、负指数幂运算、绝对值计算则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
8m−3=7m+4，故①错误，④正确，
n+38=n−47，故②错误，③正确，
故选：D．
根据钱数可以列出相应的方程或者根据人数列出相应的方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【解答】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为49，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：当k>0时，函数y=kx+k的图象在第一、二、三象限，反比例函数y=kx的图象在第一、三象限，故选项A错误，选项D错误；
当k<0时，函数y=kx+k的图象在第二、三、四象限，反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误．
故选：B．
根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接ME，
∵MN垂直平分PE，
∴MP=ME，
当MP//BC时，四边形BCPM是矩形，
∴BC=MP=5，
∴ME=5，
又∵AE=3，
∴AM=4=DP，
∴t=4÷2=2(s)，
故选：B．
连接ME，依据MN垂直平分PE，可得MP=ME，当MP//BC时，四边形BCPM是矩形，即可得到BC=MP=5，ME=5，依据E=3，可得AM=4=DP，即可得到t的值．
本题主要考查了正方形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9.【答案】B
【解析】解：根据图象得：a<0，b<0，
∵抛物线与x轴交于A(1,0)，与y轴交于点B (0,3)，
∴a+b+c=0c=3，
∴a+b=−3，
∵b<0，
∴−3
根据图象得出a<0，b<0，由抛物线与x轴交于A(1,0)，与y轴交于点B (0,3)，得出a+b=−3，得出−3
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
通过观察图2可以得出AC=6，BC=a，AB=a+2，由勾股定理可以求出a的值，从而得出BC=8，AB=10，当P为BC的中点时CP=4，由勾股定理求出AP长度．
【解答】
解：因为P点是从C点出发的，C为初始点，
观察图象x=0时y=6，则AC=6，P从C向B移动的过程中，AP是不断增加的，
而P从B向A移动的过程中，AP是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即x=a时，BC=PC=a，此时y=a+2，
即AP=AB=a+2，AC=6，BC=a，AB=a+2，
∵∠C=90°，
由勾股定理得：(a+2)2=62+a2，
解得：a=8，
∴AB=10，BC=8，
当点P为BC中点时，CP=4，
∴AP= AC2+CP2= 62+42=2 13，
故选D．
11.【答案】1
【解析】解：把x=1代入原方程得，1+2k−3=0，
解得k=1，
故答案为：1．
根据一元二次方程的解(根)的意义，把x=1代入原方程，解出即可．
此题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解(根)的意义，把x=1代入原方程，解出k是解题关键．
12.【答案】1+ 2
【解析】解：过点D作DH⊥AB，则DH=1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD=DH=1，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B=45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD= 2HD= 2，
则BC=CD+BD=1+ 2，
故答案为：1+ 2．
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则CD=DH=1，进而求解．
本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
13.【答案】y3
∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵−3<−2<0，
∴点A(−3,y1)，B(−2,y2)在第二象限，
∴0
∴C(1,y3)点在第四象限，
∴y3<0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
14.【答案】 32−π15
【解析】解：连接CF，DF，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠CDE=∠AED=∠ABC=∠A=(5−2)×180°5=108°，BC=CD=DE=AB=AE=1，
∵分别以点C、D为圆心，边CD长为半径画弧，两弧交于点F，
∴CF=DF=CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠FCD=60°，
∴∠BCF=∠BCD−∠FCD=108°−60°=48°，
∴扇形BCF的面积=48⋅π×1360=2π15，△CDF的面积=12×1× 32= 34，扇形DCF的面积=60⋅π×1360=π6，
∴图中阴影部分的面积为2×2π15+ 34−2×π6+ 34= 32−π15，
故答案为： 32−π15．
根据正多边形的性质得出∠BCD=∠CDE=∠AED=∠ABC=∠A=108°，BC=CD=DE=AB=AE=1，根据等边三角形的判定得出△FCD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠FCD=60°，求出∠BCF，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
此题重点考查正多边形与圆、正多边形的中心角、等腰三角形的“三线合一”、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解是的关键．
15.【答案】5 52
【解析】解：延长BE交CD的延长线于点H，过点G作GP⊥BH于点P，
在Rt△ABE中，BE= 22+62=2 10，EF=BF= 10，
∵AB//DH．
∴△ABE∽△DHE．
∴BEEH=AEED=12，
∴EH=2BE=4 10，
∴FH=EF+EH=5 10，∠H=∠ABE．
∴tanH=PGPH=AEAB=13，
设PG=x，则PH=3x，
∵∠EFG=45°，
∴PF=PG=x，FG= 2x，
∴FH=FP+PH=4x=5 10，
即x=5 104，
∴FG= 2x=5 104× 2=5 52．
故答案为：5 52．
延长BE交CD的延长线于点H，过点G作GP⊥BH于点P，根据勾股定理得到BE= 22+62=2 10，EF=BF= 10，根据相似三角形的性质得到EH=2BE=4 10，根据三角函数的定义得到tanH=PGPH=AEAB=13，设PG=x，则PH=3x，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(− 3)2−(12)−1−|−5|+tan45°
=3−2−5+1
=−3；
(2)2xx+2−x2−4x+4x2−4
=2xx+2−(x−2)2(x+2)(x−2)
=2xx+2−x−2x+2
=2x−(x−2)x+2
=2x−x+2x+2
=x+2x+2
=1．
【解析】(1)先根据二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值和特殊角的三角函数值进行计算，再算加减即可；
(2)先分解因式，约分，再根据分式的减法法则进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，实数的混合运算和分式的加减等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的加减法法则进行计算是解此题的关键．
17.【答案】80 甲 110
【解析】解：【分析数据】，由表格中的数据可知，乙校的众数是80，故a=80，
故答案为：80；
(1)由表格可知，甲校的中位数是60，乙校的中位数是75，
小伟同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是甲校的学生，
故答案为：甲；
(2)乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为：220=110，
故答案为：110；
(3)乙学校竞赛成绩较好，
理由：第一，乙学校的中位数大于甲学校，说明乙学校的一半以上的学生成绩好于甲学校；第二，乙学校的平均分高于甲学校，说明乙学校学生的总体水平高于甲学校．
【分析数据】中，根据表格中的数据可以得到乙的众数，从而可以得到a的值；
(1)根据表格中两所学校的中位数可以解答本题；
(2)根据表格中的数据可以求得这名学生的竞赛成绩为优秀的概率；
(3)本题答案不唯一，只要说出理由合理即可．
本题考查利用频率估计概率、频数分布表、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】60° 2 5
【解析】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，设∠B=∠C=α，
在圆内接四边形ABDE中，∠AED=180°−∠B=180°−α，
∴∠DEC=180°−∠AED=180°−(180°−α)=α，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
(2)解：若四边形ODCE为菱形，则OE//BC．
∴∠AOE=∠B=α.同理∠AEO=∠C=α，
∴∠AOE=∠AEO．
∴AO=AE．
∴AO=AE=OE．
∴△AOE为等边三角形．
∴∠BAC=60°．
故答案为：60°．
(3)解：如图，连接BE，
∵AB=AG=10，
∴AE=10−4=6.在Rt△ABE中，BE= 102−62=8，
在Rt△BEC中，BC= 82+42=4 5．
连接AD，则AD⊥BC．
∴BD=CD．
在Rt△BEC中，DE=BC2=2 5．
故答案为：2 5．
(1)先根据等腰三角形的性质得出底角相等，设∠B=∠C=α，由题意求出∠DEC=a即可证明；
(2)若四边形ODCE为菱形，求证△AOE为等边三角形即可．
(3)连接BE，AD，根据勾股定理BE，BC即可求出DE．
本题考查与圆有关的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．
19.【答案】解：如图所示：
作EF⊥AB于点F，延长ED交BC的延长线于点G，
∴EG⊥BG.在Rt△CDG中，tan∠DCG=DGCG=34，
设DG=3x，则GG=4x，
(3x)2+(4x)2=102，解得x=±2(负值舍去)，
∴DG=6，CG=8，
在矩形BGEF中，BG=EF=15+8=23，BF=EG=6+1.6=7.6，
在Rt△AEF中，∠AEF=24°，
∴AF=EFtan24°≈23×0.45=10.35，
∴AB=AF+BF=10.35+7.6=17.95≈18(米)．
答：树高AB约为18米．
【解析】作EF⊥AB于点F，延长ED交BC的延长线于G，先解直角三角形Rt△CDG，求出CG，DG，再根据锐角三角函数定义求出AF的长，即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用一坡度问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)设购进A品牌文具袋的单价为a元，购进B品牌文具袋的单价为b元，根据题意得，
5a+5b=1253a+4b=90,
解得a=10b=15,
答：购进A品牌文具袋的单价为10元，购进B品牌文具袋的单价为15元；
(2)①由题意可得，y=(12−10)x+(23−15)(100−x)=800−6x，
则y关于x的函数关系式是y=−6x+800；
②由题意可得，
−6x+800≤40%[10x+15(100−x)]，
解得：x≥50，
又由①得：y=−6x+800，k=−6<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=50时，y达到最大值，即最大利润y=−50×6+800=500，
此时100−x=100−50=50，
答：购进A品牌文具袋50个，B品牌文具袋50个时所获利润最大，利润最大为500元．
【解析】本题综合考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及一元一次不等式的相关知识．
(1)设购进A品牌文具袋的单价为a元，购进B品牌文具袋的单价为b元，列出方程组求解即可；
(2)①根据总利润等于A，B的利润和列式即可解答；
②根据题意可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质即可求得y的最大值和相应的进货方案．
21.【答案】解：(1)∵直线y=−x+5交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为(5,0)，点B的坐标为(0,5)，
∵抛物线y=ax2+4x+c经过A，B两点．
∴25a+20+c=0c=5，解得：a=−1c=5，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+4x+5；
(2)由(1)得，y=−x2+4x+5=−(x−2)2+9，
∴当−2≤x≤2时，y随x的增大而增大，当2
当x=−2时，y=−(−2−2)2+9=−7；
当x=3时，y=−(3−2)2+9=8；
∴当−2≤x≤3时，y的最大值为9，最小值为−7；
(3)∵点A的坐标为(5,0)，点B的坐标为(0,5)，
∴OA=OB=5，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
当m>0时，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，点C的横坐标为m．
∴CB⊥AB，
∴∠CBE=∠OBA=45°，
∴CE=BE=m，
∴点C的坐标为(m,m+5)；
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，CD//AB，
∵点B是点A向右平移5个单位，向下平移5个单位得到的，
∴点D的坐标为(m+5,m)；
当点C恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，
∴−m2+4m+5=m+5，
解得：m1=0，m2=3，
当x=0时，点C与点B重合，不符合要求，
当m<0时，可得点D的坐标为(5+m,m)，
当点D恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，
∴−(5+m)2+4(5+m)+5=m，
解得：m1=0，m2=−7，
∴m的取值范围为−7≤m≤3且m≠0．
【解析】(1)先求得点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
(2)根据二次函数的性质可得出结论；
(3)利用等腰直角三角形的性质以及坐标与图形的性质可求得点C的坐标；再利用平移的性质求得点D的坐标即可；根据点C、D恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，据此求解即可．
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，直线和抛物线的交点以及解方程组和不等式组，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
22.【答案】−43 减小 2 (2,0)
【解析】解：(1)把x=12代入y=2x−2，
得y=212−2=−43，
∴m=−43．
故答案为：−43；
(2)函数图象如图所示：
(3)①当x<2时，y随x的增大而减小；
②y=2x−2的图象是由y=2x的图象向右平移2个单位长度而得到的；
③图象关于点(2,0)中心对称．
故答案为：减小；2；(2,0)．
(1)把x=12代入数y=2x−2(x≠2)即可得m的值；
(2)用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
(3)数形结合，观察函数图象即可得到答案．
本题考查了函数图象和性质，解题的关键是掌握列表、描点、连线作图象，再数形结合得函数性质．
23.【答案】BG= 2CE 4 23
【解析】解：(1)连接GE，
∵当点D为AB的中点，
∴AD=BD=12AB，
∵AB=AC，AE=BD，
∴AE=12AC，
∴DE//BC，AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
又∵AB=AC，
∴AG=GC，BG=GC．
又∵AE=12AC，
∴GC= 2CE，
∴BG= 2CE；
(2)(1)中的结论还成立，理由如下：
如图1，过点E作EM⊥EC且使EM=EC，
∴∠DAE=∠AEM=90°，
∴AD//EM，
∵AC=AB，BD=AE，
∴AD=CE，
∴AD=EM，
∴四边形ADEM为平行四边形，
∴AM//DE，
∵AG⊥DE，
∴AG⊥AM，
∴∠BAC=∠GAM=90°，
∴∠CAM=∠BAG，
又∵∠ACM=∠ABG=45°，AC=AB，
∴△ACM≌△ABG(ASA)．
∴CM=BG，
∵EM⊥EC，EM=EC，
∴CM= 2CE，
∴BG=CM= 2CE；
(3)设AE=x，则BD=AE=x，
∴CE=AD=2x，
∴AB=2，
∴x+2x=2，
∴x=23，
∴CE=43，
由(2)知BG= 2CE=4 23．
故答案为：4 23．
(1)先证AE=12AC，由等腰直角三角形的性质可求解；
(2)先证四边形ADEM为平行四边形，可得AM//DE，由“ASA”可证△ACM≌△ABG，可得CM=BG，由等腰直角三角形的性质可求解；
(3)先求出CE的长，由(2)的结论可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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