2021-2022学年安徽省宿州市泗县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年安徽省宿州市泗县八年级下学期期中数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医D．少出门少聚集
2．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣9＝（x﹣3）2B．m2﹣m+1＝m（m﹣1）+1
C．（m+1）2＝m2+2m+1D．m2+2m＝m（m+2）
4．（3分）在平面直角坐标系中，点C向右平移2个单位后得到点D（﹣2，4），则点C的坐标是（ ）
A．（0，4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，6）
5．（3分）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）
A．线段CD的中点
B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点
D．CD与∠AOB的平分线的交点
6．（3分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
7．（3分）如果多项式x2﹣mx+n可分解为（x+2）（x﹣5），那么m+n的值为（ ）
A．﹣7B．﹣13C．7D．13
8．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣b＜0恰有两个正整数解，则b的值可能是（ ）
A．1B．2.5C．2D．3.5
9．（3分）如图所示，△ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3，那么PP'的长等于（ ）
A．B．C．3D．4
10．（3分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为4的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1.（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是 ．
12．（4分）如果（m﹣1）x|m|＞9是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
13．（4分）当x 时，点M（x﹣1，8﹣2x）在第四象限．
14．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ 度．
15．（4分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 ．
16．（4分）已知a3，则a2的值是 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠B＝60°，AB＝4，则EC的长为 ．
18．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，则△BDE周长的最小值为 ．
三、解答题（共58分）
19．（10分）（1）分解因式：（a+5b）2+（a+5b）（a﹣b）．
（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：．
20．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）试画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标；
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，试画出△PAB，直接写出点P的坐标．
21．（12分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，其中轿车至少要购买3辆，且公司可投入的购车款不超过55万元．
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由．
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么该租赁公司应选择以上哪种购买方案？
22．（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，AE＝DE，DF⊥AB于点F，DG⊥AC于点G，且DF＝DG，求证：DE∥AB．
23．（14分）“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以“大阅读”特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是 ，最大的“和平数”是 ．
（2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；
（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”．
例如：1423与4132为“相关和平数”
求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
参考答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．戴口罩讲卫生B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医D．少出门少聚集
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先解不等式组，再把解集表示在数轴上．
【解答】解：，
解①得，x≥﹣1，
解②得，x＜1，
把解集表示在数轴上，
不等式组的解集为﹣1≤x＜1．
故选：D．
3．（3分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣9＝（x﹣3）2B．m2﹣m+1＝m（m﹣1）+1
C．（m+1）2＝m2+2m+1D．m2+2m＝m（m+2）
【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式左右两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式右边不是几个整式的积的形式，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式右边不是几个整式的积的形式，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点C向右平移2个单位后得到点D（﹣2，4），则点C的坐标是（ ）
A．（0，4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，6）
【分析】根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，从而得出答案．
【解答】解：∵点C向右平移2个单位后得到点D（﹣2，4），
则点C的坐标为（﹣2﹣2，4），即（﹣4，4），
故选：B．
5．（3分）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）
A．线段CD的中点
B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点
D．CD与∠AOB的平分线的交点
【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点．
【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．
故选：D．
6．（3分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞﹣1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：B．
7．（3分）如果多项式x2﹣mx+n可分解为（x+2）（x﹣5），那么m+n的值为（ ）
A．﹣7B．﹣13C．7D．13
【分析】根据多项式乘以多项式法则，以及多项式相等的条件求出m与n的值即可．
【解答】解：∵x2﹣mx+n＝（x+2）（x﹣5）＝x2﹣3x﹣10，
∴m＝3，n＝﹣10，
则m+n＝﹣7，
故选：A．
8．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣b＜0恰有两个正整数解，则b的值可能是（ ）
A．1B．2.5C．2D．3.5
【分析】求出不等式的解集，根据已知得出2＜b＜3，求出b的范围即可．
【解答】解：x﹣b＜0，
解得：x＜b，
因为关于x的一元一次不等式x﹣b＜0恰有两个正整数解，
所以2＜b≤3，
故选：B．
9．（3分）如图所示，△ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3，那么PP'的长等于（ ）
A．B．C．3D．4
【分析】利用直角三角形的性质得∠BAC＝90°，再根据旋转的性质得AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝90°，则△APP′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
∴AP＝AP′，AB＝AC，∠PAP′＝∠BAC＝90°，
∴△APP′为等腰直角三角形，
∴PP′AP＝3，
故选：A．
10．（3分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为4的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1.（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用中心对称的性质得到A1、A3、A5、•••、A2n+1在第一象限，它们的纵坐标为边长为4的等边三角形的高，由于点A1的横坐标为2，点A2的横坐标为4+2，点A3的横坐标为4×2+2，•••，利用此规律得到点A2n+1的横坐标为4×（2n+1﹣1）+2．
【解答】解：根据题意，A1、A3、A5、•••、A2n+1在第一象限，它们的纵坐标为边长为4的等边三角形的高，即它们的纵坐标为42，
∵点A1的横坐标为2，
点A2的横坐标为4+2，
点A3的横坐标为4×2+2，
点A4的横坐标为4×3+2，
•••
所以点A2n+1的横坐标为4×（2n+1﹣1）+2，即8n+2，
即点A2n+1的坐标是（8n+2，2）．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是 17 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3＝17．
故答案为：17．
12．（4分）如果（m﹣1）x|m|＞9是关于x的一元一次不等式，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据已知和一元一次不等式的定义得出m﹣1≠0，|m|＝1，求出即可．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m|＞9是关于x的一元一次不等式，
∴m﹣1≠0且|m|＝1，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（4分）当x ＞4 时，点M（x﹣1，8﹣2x）在第四象限．
【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数列出不等式求解即可．
【解答】解：∵点M（x﹣1，8﹣2x）在第四象限，
∴，
解得x＞4，
故答案为：＞4．
14．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ 30 度．
【分析】根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB计算即可得解．
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝45°﹣15°＝30°．
故答案为：30．
15．（4分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】根据不等式组解集的定义可知，不等式x﹣1＞0的解集与不等式x﹣a＜0的解集无公共部分，从而可得一个关于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，
解不等式x﹣a＜0，x＜a．
∵不等式组无解，
∴a≤1．
故答案为：a≤1．
16．（4分）已知a3，则a2的值是 7 ．
【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：∵a3，
∴a2+29，
∴a29﹣2＝7．
故答案为：7．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠B＝60°，AB＝4，则EC的长为 2 ．
【分析】根据含30°的直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：连接EB，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠B＝60°，
∴∠A＝∠EBD＝30°，
∴∠EBC＝30°，
∴ECBC，
∵AB＝4，
∴BC＝2，
∴EC．
故答案为：2
18．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，则△BDE周长的最小值为 9 ．
【分析】连接OB，OC，作OE⊥DM交DE与M点，先根据等边三角形的性质判定△BOD≌△COE，得到OD＝OE，BD＝EC，得出△BDE周长为6OE，将问题转化为求OE最小值，当OE⊥BC时，OE最小，利用勾股定理求出OE值即可．
【解答】解：连接OB，OC，作OE⊥DM交DE与M点，如图：
∵等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，
∴∠B＝∠C，OC＝OB，
∴∠OBD＝∠OCE，
∴∠BOC＝∠DOE＝120°，
∴∠BOE+∠COE＝∠BOE+∠BOD，
∴∠BOD＝∠COE，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴OD＝OE，BD＝EC，
∴∠ODE＝∠OED＝30°，
∴OM0E，EMOE，
∴△BDE周长BE+BD+DE＝BE+EC+DE＝6+2EM＝6OE，
∴当OE取最小值时△BDE周长最小，
∴当OE⊥BC时，OE最小，△BDE周长最小，
当OE⊥BC时，∠OBE∠B＝30°，BEBC＝3，
∴OE，
∴6OE＝9，
∴△BDE周长最小值为9．
故答案为：9．
三、解答题（共58分）
19．（10分）（1）分解因式：（a+5b）2+（a+5b）（a﹣b）．
（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：．
【分析】（1）直接提取公因式（a+5b），进而分解因式得出答案；
（2）直接利用不等式的解法，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（a+5b）[（a+5b）+（a﹣b）]
＝（a+5b）（2a+4b）
＝2（a+5b）（a+2b）；
（2）去分母得：2（2x﹣1）﹣（7x﹣5）＜12，
4x﹣2﹣7x+5＜12，
4x﹣7x＜12+2﹣5，
﹣3x＜9，
解得：x＞﹣3，
如图所示：
．
20．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）试画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标；
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，试画出△PAB，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，然后写出P点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A2B2C2为所作；A2（﹣1，1），B2（﹣4，2），C2（﹣3，4）；
（2）如图，点P为所作，P点坐标为（2，0）．
21．（12分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，其中轿车至少要购买3辆，且公司可投入的购车款不超过55万元．
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由．
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么该租赁公司应选择以上哪种购买方案？
【分析】（1）设购买轿车x辆，则购买面包车（10﹣x）辆，利用总价＝单价×数量，结合“轿车至少要购买3辆，且公司可投入的购车款不超过55万元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案；
（2）利用总租金＝每辆车的租金×购买数量，即可求出各购买方案的日租金，结合日租金不低于1500元，即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买轿车x辆，则购买面包车（10﹣x）辆，
依题意得：，
解得：3≤x≤5．
又∵x为正整数，
∴x可以为3，4，5，
∴共有三种购买方案，
方案1：购买轿车3辆，面包车7辆；
方案2：购买轿车4辆，面包车6辆；
方案3：购买轿车5辆，面包车5辆．
（2）方案1的日租金为3×200+7×110﹣1370（元），
方案2的日租金为4×200+6×110＝1460（元），
方案3的日租金为5×200+5×110＝1550（元）．
∴为保证日租金不低于1500元，
∴该租赁公司应选择方案3：购买轿车5辆，面包车5辆．
22．（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，AE＝DE，DF⊥AB于点F，DG⊥AC于点G，且DF＝DG，求证：DE∥AB．
【分析】连接AD，根据HL证明Rt△AFD与Rt△AGD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：连接AD，
∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴∠DFA＝∠DGA＝90°，
在Rt△AFD与Rt△AGD中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AGD（HL），
∴∠FAD＝∠GAD，
∵AE＝DE，
∴∠GAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴DE∥AB．
23．（14分）“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以“大阅读”特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数，其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是 1001 ，最大的“和平数”是 9999 ．
（2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；
（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”．
例如：1423与4132为“相关和平数”
求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
【分析】（1）最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999；
（2）设这个“和平数”的千位数字是a，百位数字是m，十位数字是n，其中a，m，n均是正整数且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，则个位数字是2a，又由0≤2a≤9，得到a的取值为1，2，3，4；百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m+n＝12，得到a＝2m﹣12，当m＝7时，a＝2，这个“和平数”是2754；当m＝8时，a＝4，这个“和平数”是4848；
（3）设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则它的“相关和平数”千位数字为b，百位数字为a，十位数字为d，个位数字为c，根据“和平数”的定义可知a+b＝c+d，再计算（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝1100a+1100b+11（a+b）＝1111a+1111b＝1111（a+b），即可证明．
【解答】解：（1）最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为1001，9999；
（2）设这个“和平数”的千位数字是a，百位数字是m，十位数字是n，其中a，m，n均是正整数且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，
则个位数字是2a，
又∵0≤2a≤9，∴a的取值为1，2，3，4；
∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，
∴m+n＝0或m+n＝12，
∵“和平数”中a+m＝n+2a，
∴m+n＝12，
∴a+m＝12﹣m+2a，即a＝2m﹣12，
∴m的取值为7，8，9；
当m＝7时，a＝2，这个“和平数”是2754；
当m＝8时，a＝4，这个“和平数”是4848；
当m＝9时，a＝6，不成立；
综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；
（3）设任意一个“和平数”千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则它的“相关和平数”千位数字为b，百位数字为a，十位数字为d，个位数字为c，
∴a+b＝c+d
∴（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝1100a+1100b+11（a+b）＝1111a+1111b＝1111（a+b），
∴（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）能被1111整除，
∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．