新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第21讲 弧度制及任意角的三角函数（2份打包，原卷版+解析版）

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考点01角的概念与推广
1．任意角的概念：正角、负角、零角
2．象限角与轴线角：
与 SKIPIF 1 < 0 终边相同的角的集合： SKIPIF 1 < 0
第一象限角的集合： SKIPIF 1 < 0
第二象限角的集合： SKIPIF 1 < 0
第三象限角的集合： SKIPIF 1 < 0
第四象限角的集合： SKIPIF 1 < 0
终边在 SKIPIF 1 < 0 轴上的角的集合： SKIPIF 1 < 0
终边在 SKIPIF 1 < 0 轴上的角的集合： SKIPIF 1 < 0
终边在坐标轴上的角的集合： SKIPIF 1 < 0
考点02任意角与弧度制
1．任意角：
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)分类:按旋转方向分为正角、负角和零角;按终边位置分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是
S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2．弧度制：
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.
(2)公式：角α的弧度数的绝对值|α|=l/r(弧长用l表示)
角度与弧度的换算①1°= SKIPIF 1 < 0 rad,②1 rad= SKIPIF 1 < 0
弧长公式弧长l=|α|r
扇形面积公式S= SKIPIF 1 < 0 lr= SKIPIF 1 < 0 |α|r2
【考点研习一点通】
1、已知 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角,求角 SKIPIF 1 < 0 的终边所处的位置.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 是第二或第四象限角
【解析】方法一：∵ SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，即，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 是第二象限角， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 是第四象限角，
y
x
1
2
3
4
1
2
3
4
∴ SKIPIF 1 < 0 是第二或第四象限角.
方法二：
由图知: SKIPIF 1 < 0 的终边落在二，四象限.
【总结】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是 SKIPIF 1 < 0 ．解决本题的关键就是为了凑出 SKIPIF 1 < 0 的整数倍，需要对整数进行分类．
（2）确定“分角”所在象限的方法：若 SKIPIF 1 < 0 是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断 SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 )是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n等份，并从x正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k的区域就是角 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )终边所在的范围。如：k=3，如下图中标有号码3的区域就是 SKIPIF 1 < 0 终边所在位置．
【变式1-1】已知 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角,求角 SKIPIF 1 < 0 的终边所处的位置.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 是第一或第二或第四象限角
【解析】方法一：∵ SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 是第四象限角，
∴ SKIPIF 1 < 0 是第一或第二或第四象限角.
方法二：
k=2，如下图中标有号码2的区域就是 SKIPIF 1 < 0 终边所在位置．
【考点易错】
1. 与角eq \f(9π,4)的终边相同的角可表示为( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq \f(9,4)π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
【答案】C
【解析】eq \f(9,4)π＝eq \f(9,4)×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴与角eq \f(9,4)π的终边相同的角可表示为k·360°－315°，k∈Z.
故选：C
2.已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C．eq \f(2,sin 1) D．2sin 1
【答案】C
【解析】由题设知，圆弧的半径r＝eq \f(1,sin 1)，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝eq \f(2,sin 1).
故选：C
【巩固提升】
1. 若α为第四象限角，则
A．cs2α>0B．cs2α<0
C．sin2α>0D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 的终边落在第三、四象限及 SKIPIF 1 < 0 轴的非正半轴上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
方法二：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，选项B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，选项A错误；
由 SKIPIF 1 < 0 在第四象限可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，选项C错误，选项D正确；
故选：D．
2. 已知 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，那么 SKIPIF 1 < 0 是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角
【答案】D
【解析】依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是第一象限角
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是第三象限角
故选：D.
3. 已知角 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角， SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为角 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角， SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以由任意角的三角函数的定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选：A
4. 已知点P(sin θ，cs θ)是角α终边上的一点，其中θ＝eq \f(2π,3)，则与角α终边相同的最小正角为________.
【答案】eq \f(11π,6).
【解析】因为θ＝eq \f(2π,3)，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，故α为第四象限角且cs α＝eq \f(\r(3),2)，所以α＝2kπ＋eq \f(11π,6)，k∈Z，则最小的正角为eq \f(11π,6).
5、已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边上有两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 角 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边上有两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选 SKIPIF 1 < 0 ．
5. 若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 < 0，则角 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【解析】由题,因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的终边落在第二象限或第三象限；
因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的终边落在第三象限或第四象限；
综上, SKIPIF 1 < 0 的终边落在第三象限
故选：C.
7、 下列与角eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
【答案】：C
【解析】：与角eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
8、在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(π,8)，sin \f(π,8)))，且0<α<2π，则α＝( )
A.eq \f(π,8) B.eq \f(3π,8) C.eq \f(5π,8) D.eq \f(7π,8)
【答案】D
【解析】(1)因为角α的终边经过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(π,8)，sin \f(π,8)))，且0<α<2π，所以根据三角函数的定义，可知cs α＝－cs eq \f(π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,8)))＝cs eq \f(7π,8)，则α＝eq \f(7π,8).故选D.
9． 若α是第四象限角，则π－α是第( )象限角．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】：C
【解析】：∵α是第四象限角，∴－eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋eq \f(3,2)π，k∈Z，故π－α是第三象限角．
10． 若扇形的面积为eq \f(3π,8)、半径为1，则扇形的圆心角为( )
A.eq \f(3π,2) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(3π,8) D.eq \f(3π,16)
【答案】：B
【解析】：设扇形的圆心角为α，∵扇形的面积为eq \f(3π,8)、半径为1，∴eq \f(3π,8)＝eq \f(1,2)α·12，∴α＝eq \f(3π,4).
11、 关于角度，下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第二象限角，则eq \f( α,2)是第一或第三象限角
【答案】： BD
【解析】： 对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；
对于D，∵角α的终边在第二象限，
∴2kπ＋eq \f(π,2)＜α＜2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋eq \f(π,4)＜eq \f( α,2)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋eq \f(π,4)＜eq \f( α,2)＜2nπ＋eq \f(π,2)，n∈Z，得eq \f( α,2)是第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋eq \f(π,4)＜eq \f( α,2)＜(2n＋1)π＋eq \f(π,2)，n∈Z，得eq \f( α,2)是第三象限角，故正确．
12、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
(1) 若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】：(1) 设弧长为l，弓形面积为S弓．
∵α＝60°＝eq \f(π,3)，R＝10，∴ l＝eq \f(10,3)π(cm)．
∴ S弓＝S扇－S△＝eq \f(1,2)×eq \f(10,3)π×10－eq \f(1,2)×102·sin60°＝50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))) cm2．
(2) ∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴ R＝eq \f(C,2＋α)，
∴ S扇＝eq \f(1,2)α·R2＝eq \f(1,2)αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C,2＋α)))eq \s\up12(2)＝eq \f(C2,2)·eq \f(α,4＋4α＋α2)＝eq \f(C2,2)·eq \f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq \f(C2,16)，
当且仅当α＝eq \f(4,α)，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值eq \f(C2,16)．
13、 已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【解析】 (1)因为α＝100°＝100×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,9)，
所以S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×eq \f(5π,9)×4＝eq \f(10π,9).
(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，
故S扇形＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25，此时l＝10，则α＝eq \f(l,r)＝2
14、已知sinα＜0，tanα＞0．
(1) 求α角的集合；
(2) 求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3) 试判断taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)的符号．
【解析】：(1) 由sin α＜0，知α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z}．
(2) 由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，得kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，故eq \f(α,2)终边在第二、四象限．
(3) 当eq \f(α,2)在第二象限时，taneq \f(α,2)＜0，sineq \f(α,2)＞0，cseq \f(α,2)＜0，
所以taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)取正号；
当eq \f(α,2)在第四象限时，taneq \f(α,2)＜0，sineq \f(α,2)＜0，cseq \f(α,2)＞0，
所以taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)也取正号．因此，taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)取正号．
15、已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与原点 SKIPIF 1 < 0 重合，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，它的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若角 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】(1)由角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．