新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第13讲 对数函数（2份打包，原卷版+解析版）

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对数与对数函数
图象与性质
对数运算性质
对数函数的图像与性质
对数的概念
指对互化运算
【基础知识全通关】
知识点01对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
知识点02反函数
对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【知识拓展】
1.换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)；(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限.
【考点研习一点通】
考点01：对数函数的概念与图象
【典例1】函数与函数在同一坐标系的图像只可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
当时，对数函数为增函数，当时函数的值为负.无满足条件的图像.
当时，对数函数为减函数，当时函数的值为正.C满足.
故选：C
【典例2】在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【典例3】在同直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
利用函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性排除选项，以及根据函数 SKIPIF 1 < 0 的图象判断 SKIPIF 1 < 0 ，再利用函数 SKIPIF 1 < 0 的对称性排除选项.
【详解】
函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性与 SKIPIF 1 < 0 的单调性一致，两段区间都是单调递增，故排除BC，AD选项中， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故排除D.
故选：A
【总结提升】
1.对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2. (1)不管a>1还是0(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．
3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．
4．对数值lgax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
(1)当01，a>1时，lgax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数lgax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1,05．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．
考点02：对数函数的性质及应用
【典例4】设 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
根据指数运算与对数运算得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 即可判断 SKIPIF 1 < 0 ，进而得答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：A
【典例5】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
考点03 ：对数函数的性质及应用
【典例6】若函数 则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.
【典例7】满足，且在单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
为偶函数.
，
，.
在单调递减，，即.
故选：.
【典例8】【多选题】若实数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数可得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，由 SKIPIF 1 < 0 可推得A正确，由 SKIPIF 1 < 0 可推得B正确，当 SKIPIF 1 < 0 时，作差比较可知C错：作差，利用换底公式变形，再根据基本不等式判断符号，可得D正确.
【详解】
对A，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对B，由A知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确：
对C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故C错：
对D， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD
【典例9】函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】
由题意可知，解得．
【典例10】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增区间为__________；若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调，则a的取值范围为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】
根据复合函数单调性和函数定义域得到单调增区间；根据函数的奇偶性和单调性得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得答案.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，函数的定义域满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 的单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，定义域满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，无解．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
【易错提醒】
解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误.
【考点易错】
1.已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【解析】
因为与都是上的增函数，
所以是上的增函数，
又因为
所以等价于，
由，知,
当时，在上单调递减，故，从而；
当时，在上单调递增，故，从而，
综上所述， 的取值范围是或，故选C.
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
首先求出 SKIPIF 1 < 0 的定义域，然后求出 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间即可.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：D
【点睛】
在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
3.已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据题意，的图象关于对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，
则，
即，解得：，
即a的取值范围为；
故选：C．
4.如图为函数 SKIPIF 1 < 0 ）的部分图象，已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由已知条件推出 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，然后由 SKIPIF 1 < 0 的部分图象得到 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，从而将 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 即可得解．
【详解】
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数．
由 SKIPIF 1 < 0 的部分图象知 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【总结提升】
1.解对数不等式的类型及方法
（1）形如lgax＞lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
（2）形如lgax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
2.应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
【巩固提升】
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由 SKIPIF 1 < 0 时的单调性排除一个选项，得正确选项．
【详解】
易知 SKIPIF 1 < 0 是非奇非偶函数，所以排除选项A，C；
当x>0时， SKIPIF 1 < 0 单调递増､所以排除选项B.
故选：D．
2．已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 则函数y＝f(1－x)的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.
【详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，排除C，
故选：D．
3．如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据等边三角形的性质求得 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的纵坐标和中点坐标公式列方程 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
由題意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
根据中点坐标公式可得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
4.设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增B．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增D．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
【答案】D
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于坐标原点对称，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，排除B；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，D正确.
故选：D.
5.设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（）
B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3）
D．（）＞（）＞（lg3）
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴，
即.
故选C．
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0
7．【多选题】若正实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
由已知不等式，求出 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，结合选项一一判断即可．
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
对于选项A，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，选项A错误；
对于选项B，比如当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 不成立，选项B错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，选项C正确；
对于选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，选项D 正确，
故选：CD．
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 得函数的周期为2，然后利用周期和 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得结果
【详解】
解：由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是以2为周期的周期函数，
又由 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．求函数y= SKIPIF 1 < 0 (-x2+2x+3)的值域和单调区间.
【解析】设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.
∵ y= SKIPIF 1 < 0 t为减函数，且0∴ y≥ SKIPIF 1 < 0 =-2，即函数的值域为[-2，+∞ SKIPIF 1 < 0 .
再由：函数y= SKIPIF 1 < 0 (-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1∴ t=-x2+2x+3在 SKIPIF 1 < 0 -1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y= SKIPIF 1 < 0 t为减函数.
∴ 函数y= SKIPIF 1 < 0 (-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3 SKIPIF 1 < 0 .
11. 判断下列函数的奇偶性.
(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】由 SKIPIF 1 < 0
所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数；
【总结】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
（2）【解析】由 SKIPIF 1 < 0 所以函数的定义域为R关于原点对称，又
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即f(-x)=-f(x)；所以函数 SKIPIF 1 < 0 .
【总结】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域.
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 为奇函数得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有解，故只需 SKIPIF 1 < 0
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数