新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第34讲 等比数列（2份打包，原卷版+解析版）

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等比数列
等比中项
通项公式及相关性质
等比数列与函数的关系
【基础知识全通关】
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 SKIPIF 1 < 0 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与 SKIPIF 1 < 0 无关的常数.
2．等比中项
如果在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中间插入一个数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
3．等比数列的通项公式及其变形
首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ．
等比数列通项公式的变形： SKIPIF 1 < 0 ．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 还可以改写为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是指数函数， SKIPIF 1 < 0 是指数型函数，因此数列 SKIPIF 1 < 0 的图象是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上一些孤立的点．
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是递增数列；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是递减数列；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为常数列 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
【考点研习一点通】
考点一：等比数列的概念、公式
例1.若数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , 求 SKIPIF 1 < 0 .
【思路】：求解等比数列的项，首先要根据已知条件求出数列的通项公式。
【解析】：法一：令数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ,公比为q，则有
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
(2)÷(1)有 SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
法二：∵ SKIPIF 1 < 0 为等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
法三：∵ SKIPIF 1 < 0 为等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,…也为等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0
【总结】：熟悉等比数列的概念，基本公式及性质，要依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。
【变式1-1】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 。
法一：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0 解之得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 。
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 。
法二：由等比数列的定义知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
代入已知得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 代入（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
由（2）得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，以下同方法一。
考点二、等比数列的性质
例2.（1）等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ,则公比q＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】：A B
【解析】：（1） SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ，两式相减： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
【变式2-1】等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】：∵ SKIPIF 1 < 0 是等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
考点三：等比数列的判断与证明
例3．已知数列{an}的前n项和Sn满足：lg5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？
【解析】：∵lg5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+),
∴a1=S1=51-1=4,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1
而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,
∴n∈N+时，an=4×5n-1
由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.
【变式3-1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。
【解析】：p=2或p=3；
∵{Cn+1-pCn}是等比数列，
∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)
∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]
即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]
整理得： SKIPIF 1 < 0 ,解得：p=2或p=3,
显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.
【变式3-2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.
证明：设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q，且p≠q
为证{Cn}不是等比数列，只需证 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
∴数列{Cn}不是等比数列.
考点四：等比数列的其他考点
例4．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
【思路】：结合数列的性质设未知数。
【解析】：
法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.
则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列.
∴ SKIPIF 1 < 0
由(2)得a= SKIPIF 1 < 0 (3)
由(1)得32a=d2+32d (4)
(3)代(4)消a，解得 SKIPIF 1 < 0 或d=8.
∴当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ；当d=8时,a=10
∴原来三个数为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或2,10,50.
法二：设原来三个数为a, aq, aq2，则a, aq,aq2-32成等差数列，a, aq-4, aq2-32成等比数列
∴ SKIPIF 1 < 0
由(2)得 SKIPIF 1 < 0 ，代入(1)解得q=5或q=13
当q=5时a=2；当q=13时 SKIPIF 1 < 0 .
∴原来三个数为2，10，50或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【总结】：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为 SKIPIF 1 < 0 ，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。
【变式4-1】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.
【解析】：设四个数分别是x,y,12-y,16-x
∴ SKIPIF 1 < 0
由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)
∴144-24y+y2=-3y2+28y, ∴4y2-52y+144=0,
∴y2-13y+36=0, ∴ y=4或9，
∴ x=0或15，
∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
【考点易错】
1.已知 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于
A． SKIPIF 1 < 0 B．24
C． SKIPIF 1 < 0 D．48
【答案】B
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
2.各项都是正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的值为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的公比为q（ SKIPIF 1 < 0 ），根据题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），而 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.
3.在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．2
C．1 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
4.已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】140
【解析】方法1：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易得公比 SKIPIF 1 < 0 ，
根据等比数列前n项和的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
方法2：根据等比数列前n项和的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
方法3：根据等比数列前n项和的性质，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
5.设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，给出四个数列：① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，④ SKIPIF 1 < 0 .其中一定为等比数列的是
A．①③B．②④
C．②③D．①②
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
② SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
③ SKIPIF 1 < 0 不是一个常数，所以数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列；
④ SKIPIF 1 < 0 不是一个常数，所以数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，设 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.
6.已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），在构造数列时，可在等式两边同时加上 SKIPIF 1 < 0 构成等比数列.
（1）利用递推公式可以得到 SKIPIF 1 < 0 的表达式，两个式子相减即可得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的表达式；构造数列{ SKIPIF 1 < 0 }，即可证明{ SKIPIF 1 < 0 }为等比数列.
（2）利用{ SKIPIF 1 < 0 }为等比数列，可求得{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式；将{ SKIPIF 1 < 0 }分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.
7.若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“平方递推数列”．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是“平方递推数列”，且数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）在（2）的条件下，记 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求使 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则是“平方递推数列”．
对 SKIPIF 1 < 0 两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （3）由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故使 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【巩固提升】
1.已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，公差 SKIPIF 1 < 0 不为零，前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
2.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
【解析】等比数列{an}中，因为a3=2S2+1，a4=2S3+1，得a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）
=2（S3﹣S2）=2a3，即a4=3a3，解得q=3，故选C．
3. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和等于 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ，而数列 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因而数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和
SKIPIF 1 < 0 .
4．在等比数列{an}中，
（1）已知：a1=2,S3=26,求q与a3;
（2）已知：an>0且a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5;
（3）已知：a4=3, 求a1a2a3……a7；
（4）已知：对任意自然数n都有a1+a2+……+an=2n-1，求+……+.
【解析】：
（1）2(1+q+q2)=26, 解得q=3或q=-4.当q=3时a3=18；当q=-4时, a3=32.
（2）(a3+a5)2=+2a3a5+=a2a4+2a3a5+a4a6=25, 又an>0, ∴a3+a5=5.
（3）∵a1a7=a2a6=a3a5=,∴a1a2a3……a7==37=2187.
（4）依题意Sn=2n-1,易求得an=2n-1, a1=1且公比为2，可知，，……成等比数列，公比为4.
∴++……+==.
5．有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12.求这四个数.
【解析】：
依题意设这四个数为y, x-d, x,x+d，
∵后三个数和为12，∴(x-d)+x+(x+d)=12，解得x=12.
又前三个数成等比且和为19，
∴, 解得或，
∴这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18.
6．已知{an}为等比数列，
(1)若a1a4a10a13-a5a9-6=0，求a2a12.
(2)若a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=8，求a1+a2+a3+…+a3m-2+a3m-1+a3m.
【解析】：
(1)原式=(a2a12)2-a2a12-6=0a2a12=3或a2a12=-2（舍去）；
(2)
∴，
由A1=a1+a2+a3=2a1(1+q+q2)=2，A2=a4+a5+a6=a1q3(1+q+q2)，
A3=a1q6(1+q+q2)，A1，A2，A3成等比数列，且首项为A1公比为q3，
由前面得q3=±2，
则或.
7.已知数列的前n项和，其中．
（I）证明是等比数列，并求其通项公式；
（II）若 ，求．
【解析】（I）由题意得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
因此是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，于是 SKIPIF 1 < 0
（II）由（I）得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
8．若a1=1,q≠1的等比数列前n项和为S，则原等比数列各项的倒数组成的数列的前n项和T是多少？
【解析】：
∵S=a1+a2+a3+……+an=,
∴T==.
9．一个等比数列{an}共有2n项，其中偶数项的和是所有项和的，且S3=64，求此等比数列通项.
【解析】：
∵S偶=Sn,∴ =×,∴, ∴,
又S3=64，∴，∴,
∴×9×()n-1=×()n-3.
10．已知(b-c)lgmx+(c-a)lgmy+(a-b)lgmz=0.
(1)若a,b,c成公差d≠0的等差数列，证明 x,y,z成等比数列；
(2)若x,y,z成公比q≠1的等比数列，证明a,b,c成等差数列.
【证明】：
(1)由已知有-dlgmx+2dlgmy-dlgmz==0,∴xz=y2,∴x,y,z成等比数列.
(2)∵y=xq, z=xq2, ∴(b-c)lgmx+(c-a)lgmx+(c-a)lgmq+(a-b)lgmx+2(a-b)lgmq=0,
即lgmq(c-a+2a-2b)=0,又q≠1,∴lgmq≠0, ∴c+a-2b=0,
∴2b=a+c,∴a,b,c成等差数列.
11．数列{an}是等比数列，项数为偶数，各项为正，它所有项的和等于偶数项和的4倍，且第2项与第4项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项的和最大？
【解析】：
由题意可知q≠1且，即，∴
又a1q·a1q3=9(a1q2+a1q3)，∴a1=22·33 ，∴
∴lgan=2lg2-(n-4)lg3
当n≥2时，lgan-lgan-1=2lg2-(n-4)lg3-[2lg2-(n-5)lg3]=-lg3＜0
∴数列{lgan}是递减的等差数列，且lga1=lg(22×33)＞0
设数列{lgan}的前n项和最大，则有
∴n=5 ∴数列{lgan}的前5项和最大.
12．已知数列前n项和Sn=(p-2)+pan，nN*，p＞1且p≠2
(1)证明：{an}是等比数列；
(2)对一切自然数n，当an+1＞an或an+1＜an时，分别确定p的取值范围.
证明：
(1)∵Sn=(p-2)+pan ，Sn+1=(p-2)+pan+1，∴Sn+1-Sn=an+1=pan+1-pan(n≥1)
∴(p-1)an+1=pan ,∵p＞1，p-1＞0，∴
∴{an}是以为公比的等比数列.
(2)∵a1=S1=p-2+pa1 ，∴，∴
∴
∵p＞1，∴
若an+1＞an，只需2-p＞0，∴1＜p＜2
若an+1＜an，只需2-p＜0，∴p＞2.
13．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，{an}中部分项组成的数列恰为等比数列，且知k1=1, k2=5,k3=17.
（1）求kn；
（2）证明： k1+k2+……+kn=3n-n-1.
【解析】：
依题意：=a1, =a5=a1+4d, =a17=a1+16d，而，，为等比数列.
故有(a1+4d)2=a1(a1+16d),解得a1=2d.
因而{}的公比q====3.
而在等差数列{an}中是第kn项，
∴=a1+(kn-1)d,即=(kn+1)d……(1)
又在等比数列{}中是第n项，
∴=a1·qn-1即=2d·3n-1……(2)
联立(1)(2)，解得kn=2·3n-1-1.
（2）k1+k2+……+kn=(2·30-1)+(2·31-1)+……+(2·3n-1-1)=2(30+31+……+3n-1)-n
=。