新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第23讲 三角恒等变换（1）（2份打包，原卷版+解析版）

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简单的三角
恒等变换
三角恒等变换
两角和与差的
三角函数公式
倍角公式
【基础知识全通关】
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ，简记作S(α±β)；
cs(α±β)＝csαcsβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；
tan(α±β)＝eq \f(tanα±tanβ,1∓tanα·tanβ)，简记作T(α±β)．
2. 二倍角公式
sin2α＝2sinα·csα；
tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)；
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
3. 辅助角公式
y＝asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq \f(b,a).
4. 公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；
sinα±csα＝eq \r(2)sin(α±eq \f(π,4))；
sinα·csα＝eq \f(1,2)sin2α；
1＋sin2α＝(sinα＋csα)2；
1－sin2α＝(sinα－csα)2；
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)；
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
tan2α＝eq \f(1－cs2α,1＋cs2α)(降幂公式)；
1－cs2α＝2sin2α；1＋cs2α＝2cs2α(升幂公式)．
【考点研习一点通】
考点01化简与求值
1. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)
(4)
(5)
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
【点拨】注意到（2）中可以转换为的函数值，从（2）计算入手.
【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下
Ⅱ.证明:
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【总结】例1是对公式的正用．本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.
【变式1-1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值。
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【变式1-2】已知 SKIPIF 1 < 0 为第二象限的角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 为第二象限的角，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 所以原式 SKIPIF 1 < 0
考点02角的变换与求值
2. 求值：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.
【解析】
（1）原式= SKIPIF 1 < 0 ；
（2）原式= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【总结】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。
【变式2-1】求值：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）原式= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
（2）
SKIPIF 1 < 0 考点03三角形恒等综合
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑 SKIPIF 1 < 0 正切值的计算，同时通过估算 SKIPIF 1 < 0 的区间求出正确的值.
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
【总结】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算 SKIPIF 1 < 0 的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，这些都要予以注意.
【考点易错】
1、已知0＜β＜eq \f(π,2)＜α＜π，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，求cs(α＋β)．
【解析】 ∵0＜β＜eq \f(π,2)＜α＜π，∴－eq \f(π,4)＜eq \f(α,2)－β＜eq \f(π,2)，eq \f(π,4)＜α－eq \f(β,2)＜π，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝eq \f(\r(5),3)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))＝eq \f(4\r(5),9)，
∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))＝
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)＝eq \f(7\r(5),27)，∴cs(α＋β)＝
2cs2eq \f(α＋β,2)－1＝2×eq \f(49×5,729)－1＝－eq \f(239,729).
2、(1) 已知 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(3,5)，则sin2x＝________．
(2) 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则cs4x的值为________．
【答案】：(1) －eq \f(7,25) (2) －eq \f(17,32)
【解析】：(1) 因为sin2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1，
所以sin2x＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(18,25)－1＝－eq \f(7,25)．
(2) 由已知得sin SKIPIF 1 < 0 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝－eq \f(1,4)，
∴ cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)．
∴ sin2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝－eq \f(1,2)．
∴ cs4x＝1－2sin22x＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)．
3、化简：eq \f(（1＋sinθ＋csθ）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2))),\r(2＋2csθ))(0<θ<π)．
【解析】： 由θ SKIPIF 1 < 0 (0，π)，得00．
因此eq \r(2＋2csθ)＝eq \r(4cs2\f(θ,2))＝2cseq \f(θ,2)．
又(1＋sinθ＋csθ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2)＋2cs2\f(θ,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))
＝2cseq \f(θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(θ,2)－cs2\f(θ,2)))＝－2cseq \f(θ,2)csθ．
故原式＝eq \f(－2cs\f(θ,2)csθ,2cs\f(θ,2))＝－csθ．
【巩固提升】
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而有： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
2、已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），又 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
3．在△ABC中，csC= SKIPIF 1 < 0 ，AC=4，BC=3，则tanB=
A． SKIPIF 1 < 0 B．2 SKIPIF 1 < 0 C．4 SKIPIF 1 < 0 D．8 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：C
【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
4、已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而有： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．故选B．
5、已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选 SKIPIF 1 < 0 ．
6．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( SKIPIF 1 < 0 Day)．历史上，求圆周率 SKIPIF 1 < 0 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 SKIPIF 1 < 0 充分大时，计算单位圆的内接正 SKIPIF 1 < 0 边形的周长和外切正 SKIPIF 1 < 0 边形(各边均与圆相切的正 SKIPIF 1 < 0 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 SKIPIF 1 < 0 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， SKIPIF 1 < 0 的近似值的表达式是
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】单位圆内接正 SKIPIF 1 < 0 边形的每条边所对应的圆周角为 SKIPIF 1 < 0 ，每条边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，单位圆的内接正 SKIPIF 1 < 0 边形的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
单位圆的外切正 SKIPIF 1 < 0 边形的每条边长为 SKIPIF 1 < 0 ，其周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率 SKIPIF 1 < 0 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 SKIPIF 1 < 0 边形和外切正 SKIPIF 1 < 0 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
7、已知 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】根据两角和差的余弦公式得到 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ,得到sin SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 代入得到结果为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为:A．
【点睛】
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α= SKIPIF 1 < 0 ;形如 SKIPIF 1 < 0 ,asin2x+bsin xcs x+ccs2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cs2θ=(sinθ+csθ)2-2sinθcsθ=tan SKIPIF 1 < 0 等；(3)和积转换法:利用(sinθ±csθ)2=1±2sinθcsθ,(sinθ+csθ)2+(sinθ-csθ)2=2的关系进行变形、转化.
8．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 .
故答案 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
9．已知 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是 ▲ ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
10、已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______， SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
11、已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0
12、 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
(1)若a= SKIPIF 1 < 0 c，b=2 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若sinA+ SKIPIF 1 < 0 sinC= SKIPIF 1 < 0 ，求C.
【解析】(1)由题设及余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 (舍去)， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
13、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)在边BC上取一点D，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】(1)在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
(2)在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
而 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 为锐角.
故 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
从而
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.
14、已知sin α＋cs α＝eq \f(3\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)， \f(π,2)))
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cs (α＋2β)的值．
【解析】(1)由题意得(sin α＋csα)2＝eq \f(9,5)，
∴1＋sin2α＝eq \f(9,5)，∴sin2α＝eq \f(4,5).
又2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs 2α＝eq \r(1－sin2 2α)＝eq \f(3,5)，
∴tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(4,3).
(2)∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
∴sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25).
又sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－cs 2β，
∴cs 2β＝－eq \f(24,25)，
又2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴sin 2β＝eq \f(7,25)，
∵cs2 α＝eq \f(1＋cs 2α,2)＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))))，
∴csα＝eq \f(2\r(5),5)，∴sin α＝eq \f(\r(5),5).
∴cs(α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(7,25)＝－eq \f(11\r(5),25).
15、在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)求csA+csB+csC的取值范围．
【解析】(Ⅰ)由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅱ)由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形得 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.