新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第36讲 数列的综合运用（2份打包，原卷版+解析版）

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一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．
二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．
三 等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
四 数列中的探索性问题
对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：
（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；
（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．
五 数列的求和
求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：
（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（4）错位相减法，若数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且公比为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和. 在写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出 SKIPIF 1 < 0 的表达式.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比 SKIPIF 1 < 0 的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
（5）分组求和法，如果一个数列可写成 SKIPIF 1 < 0 的形式，而数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
【考点研习一点通】
考点一 等差、等比数列的综合应用
1.已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 （常数），
故 SKIPIF 1 < 0 是首项为4，公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解本题时，（1）设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得数列的通项公式，进而得到数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，即可得到数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
考点二 数列与函数、不等式等的综合应用
2.已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，又 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）见解析.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
又点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，从而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 公比 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【名师点睛】本题考查了通过点在函数图象上求出函数解析式、以及考查求等比数列的通项公式、利用裂项相消法求数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
考点三 等差、等比数列的实际应用
3.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
【解析】由题意,知每年的经费构成了以12为首项,4为公差的等差数列,
则f(n)=50n-[12n+ SKIPIF 1 < 0 ×4]-72=-2n2+40n-72.
（1）获得纯利润就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2又n∈N*,故从第三年开始获得纯利润.
（2）①年平均利润为=40-2(n+)=16-2(-)2≤16,当且仅当n=6时取等号.
故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n=6.
②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,
当n=10时,f(n)max=128.
故此方案共获利128+16=144万美元.
比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需六年,第②种方案需要十年,故选择第①种方案.
考点四 数列中的探索性问题
4.已知数列满足， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求，；
（2）设)．
①求数列的通项公式；
②设数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和为，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，令，，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得．
令，，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得．
（2）①以代替，得．
则，即．
所以数列是以为公差的等差数列．
，
．
②因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则，，．
因为，，成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
又，且，则，．
所以存在正整数，，使得，，成等比数列．
考点五 数列的求和
5.已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，得， 解得，或.
当时，，与成等比数列矛盾，舍去，，
即数列的通项公式为
（2）=，
SKIPIF 1 < 0 .
【考点易错】
1.已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;
(3)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
知 SKIPIF 1 < 0 满足该式
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 = 1 \* GB3 ①
SKIPIF 1 < 0 = 2 \* GB3 ②
= 2 \* GB3 ②- = 1 \* GB3 ①得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 = 1 \* GB3 ①
则 SKIPIF 1 < 0 = 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0
2.已知数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 为实数，n为正整数.
（Ⅰ）对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，证明数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列 SKIPIF 1 < 0 是否为等比数列，并证明你的结论；
【解析】：（Ⅰ）假设存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必然满足 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，显然矛盾，
即不存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列。
（Ⅱ）根据等比数列的定义：
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列；当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列.
3.已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
【解析、：(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,
∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
(Ⅱ)若q=1，则 SKIPIF 1 < 0
当n≥2时， SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0
当n≥2时， SKIPIF 1 < 0
故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn>bn；当n=10时，Sn=bn；当n≥11时，Sn4.设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】：（Ⅰ）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由此得 SKIPIF 1 < 0 ．
因此，所求通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．①
（Ⅱ）由①知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是，当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，所求的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【巩固提升】
1.已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为递增数列， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为隔项以2为公差的等差数列形式；
数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相除得 SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为隔项以2为公比的等比数列形式；
A选项因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，又数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
B选项因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，又数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为CD选项中只有一个正确，取特值，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以C选项正确，D选项错误.
故选：ABC
2.设数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前15项和为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】等比数列首项为 SKIPIF 1 < 0 ,第二项为 SKIPIF 1 < 0 ,故是首项为 SKIPIF 1 < 0 ,公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 时,为 SKIPIF 1 < 0 .
3.设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（i）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（ii）求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（Ⅰ）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ．依题意得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）（i） SKIPIF 1 < 0 ．
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（ii） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
4.已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
5.设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得：
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是以2为首项2为公差的等差数列.
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
两式相减得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
6.在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）由（1）的 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
7.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
【解析】（1）由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为a1+b1=l，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列．
由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为a1–b1=l，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
8.已知公比大于 SKIPIF 1 < 0 的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 中的项的个数，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ．由题设得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ．由题设得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题设及（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
9.已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等差中项.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等差中项得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 成立，
又有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
10.已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅲ）对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【解析】（Ⅰ）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅲ）解：当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ．
对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
和 SKIPIF 1 < 0 ． ①
由①得 SKIPIF 1 < 0 ． ②
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得 SKIPIF 1 < 0 ．
因此， SKIPIF 1 < 0 ．
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
11.已知数列{an}，{bn}，{cn}满足
SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求q的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（Ⅰ）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ．
12.已知两个数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】 （1）由已知得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
13.已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【解析】（1）由条件 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，
记 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
相减可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，也满足成立．
综上数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
14.已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．
【解析】（1）证明：由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列，
SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：根据题意，设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ．
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
15.已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，公差大于0，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .