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新高考数学一轮复习 讲与练第21讲 空间几何体(2份打包,原卷版+解析版)
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一、知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
考点和典型例题
1、空间几何体的结构特征
【典例1-1】(2022·广东深圳·高三阶段练习)通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器,用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm)制作该容器的侧面,则该圆台形容器的高为( )
A. SKIPIF 1 < 0 cmB.1cmC. SKIPIF 1 < 0 cmD. SKIPIF 1 < 0 cm
【典例1-2】(2022·河南·模拟预测(文))在正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,若正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积是8,则该四棱锥的侧面积是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C.4 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例1-3】(2022·湖南·长郡中学模拟预测)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面的半径分别为4和5,则该圆台的侧面积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例1-4】(2022·浙江·镇海中学模拟预测)如图,梯形 SKIPIF 1 < 0 是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则原图形的面积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】(2022·福建省福州第一中学三模)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是圆柱上、下底面圆的直径,且 SKIPIF 1 < 0 ,. SKIPIF 1 < 0 ,O分别为上、下底面的圆心,若圆柱的底面圆半径与母线长相等,且三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为18,则该圆柱的侧面积为( )
A.9B.12C.16D.18
2、空间几何体的表面积、体积
【典例2-1】(2022·山东泰安·模拟预测)在底面是正方形的四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 底面ABCD,且 SKIPIF 1 < 0 ,则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 内切球的表面积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】(2022·全国·高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】(2022·全国·高考真题)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时,相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ;水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时,相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔 SKIPIF 1 < 0 上升到 SKIPIF 1 < 0 时,增加的水量约为( SKIPIF 1 < 0 )( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例2-4】(2022·全国·高考真题(理))甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为 SKIPIF 1 < 0 ,侧面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,体积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例2-5】(2022·山东临沂·三模)战国时期的铜镞是一种兵器,其由两部分组成,前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥,后段是高为1cm的圆柱,圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切,则此铜镞的体积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
3、与球有关的切、接问题
【典例3-1】(2022·北京·101中学三模)一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上,若此球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ,则该四棱柱的高为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B.2C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
设四棱柱的高为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
故选:C
【典例3-2】(2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测)若正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的所有顶点都在同一个球O的表面上,且球O的体积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,则该三棱柱的侧面积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例3-3】(2022·湖北·模拟预测)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥,若某直角圆锥内接于一球(圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上),求此圆锥侧面积和球表面积之比( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例3-4】(2022·山东聊城·三模)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ,圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上,则该球的体积为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例3-5】(2022·全国·高考真题(文))已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点,但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等,垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开
图
侧面积公
式
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧=π(r1+r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V=eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=eq \f(1,3)(S上+S下+eq \r(S上S下))h
球
S=4πR2
V=eq \f(4,3)πR3
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