2025届高考数学一轮复习教师用书第五章第三节第2课时简单的三角恒等变换讲义（Word附解析）

第2课时　简单的三角恒等变换【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin 2α=2sin αcos α. (2)公式C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tanα1-tan2α.2.常用的部分三角公式(1)1-cos α=2sin2α2,1+cos α=2cos2α2.(升幂公式)(2)1±sin α=(sinα2±cosα2)2.(升幂公式)(3)sin2α=1-cos2α2,cos2α=1+cos2α2,tan2α=1-cos2α1+cos2α.(降幂公式)3.半角公式sin α2=±1-cosα2,cos α2=±1+cosα2,tan α2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 (　　)A.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B.存在实数α,使tan 2α=2tan αC.cos2θ2=1-cosθ2D.tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα【解析】选ABD.由半角公式、二倍角公式可知,选项A正确;因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以选项B正确;因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos2θ2-1,所以cos2θ2=1+cosθ2,因此选项C错误;因为tan α2=sin α2cos α2=2sin α2cos α22cos2α2=sinα1+cosα,tan α2=sin α2cos α2=2sin α2cos α22cos2α2=1-cosαsinα,所以选项D正确.2.(必修第一册P223练习5改条件)cos2π12-cos2 5π12= (　　)A.12 B.33 C.22 D.32【解析】选D.因为cos 5π12=sin(π2-5π12)=sinπ12,所以cos2π12-cos25π12=cos2π12-sin2π12=cos(2×π12)=cosπ6=32.3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=1+54,则sin α2= (　　)A.3-58 B.-1+58 C.3-54 D.-1+54【解析】选D.cos α=1+54,则cos α=1-2sin2α2,故2sin2α2=1-cos α=3-54,即sin2α2=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216,因为α为锐角,所以sin α2>0,所以sin α2=-1+54.4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan α2= (　　)A.2 B.12C.2或不存在 D.12或不存在【解析】选D.当α=2kπ+π(k∈Z)时,满足2sin α=1+cos α,此时tan α2不存在;当α≠2kπ+π(k∈Z)时,tan α2=sinα1+cosα=12.【核心考点·分类突破】考点一　三角函数式的化简[例1](1)函数f(x)=sin2x+3sin xcos x-12可以化简为 (　　)A.f(x)=sin(2x-π3)B.f(x)=sin(2x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x+π6)【解析】选B.f(x)=sin2x+3sin xcos x-12=1-cos2x2+32sin 2x-12=32sin 2x-12cos 2x=sin(2x-π6).(2)已知0<θ<π,则(1+sinθ+cosθ)(sin θ2-cos θ2)2+2cosθ=________. 【解析】由θ∈(0,π)得0<θ2<π2,所以cos θ2>0,所以2+2cosθ=4cos2θ2=2cos θ2.又(1+sin θ+cos θ) (sin θ2-cos θ2)=(2sin θ2cos θ2+2cos2θ2)(sin θ2-cos θ2)=2cos θ2(sin2θ2-cos2θ2)=-2cos θ2cos θ.故原式=-2cos θ2cosθ2cos θ2=-cos θ.答案:-cos θ【解题技法】三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.【对点训练】1.化简:2cos4x-2cos2x+122tan(π4-x)sin2(π4+x)=__________. 【解析】原式=12(4cos4x-4cos2x+1)2×sin(π4-x)cos(π4-x)·cos2(π4-x)=(2cos2x-1)24sin(π4-x)cos(π4-x)=cos22x2sin(π2-2x)=cos22x2cos2x=12cos 2x.答案:12cos 2x2.化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos 2αcos 2β=________. 【解析】原式=1-cos2α2·1-cos2β2+1+cos2α2·1+cos2β2-12cos 2αcos 2β=1-cos2β-cos2α+cos2αcos2β4+1+cos2β+cos2α+cos2αcos2β4-12cos 2α·cos 2β=12+12cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=12.答案:12【加练备选】化简:2sin(π-α)+sin2αcos2α2=________. 【解析】2sin(π-α)+sin2αcos2α2=2sinα+2sinαcosα12(1+cosα)=2sinα(1+cosα)12(1+cosα)=4sin α.答案:4sin α考点二　三角函数式的求值角度1 给值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cos αsin β=16,则cos(2α+2β)= (　　)A.79 B.19 C.-19 D.-79【解析】选B.因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13,cos αsin β=16,所以sin αcos β=12,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=23,所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.【解题技法】给值求值解题的两点注意(1)注意“变角”,使其角相同或具有某种关系.(2)注意公式的选择及其公式的逆应用.角度2给角求值[例3](2023·淄博模拟)sin12°(2cos212°-1)3-tan12°=______. 【解析】因为sin12°(2cos212°-1)3-tan 12°=sin12°cos12°cos24°3cos 12°-sin 12°=14sin48°2sin48°=18.答案:18【解题技法】给角求值的解题策略(1)该问题一般所给出的角都是非特殊角,解题时一定要注意非特殊角与特殊角的关系;(2)要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.角度3 给值求角[例4]若sin 2α=55,sin (β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是 (　　)A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【解析】选A.因为α∈π4,π,所以2α∈π2,2π,因为sin 2α=55,所以2α∈π2,π.所以α∈π4,π2且cos 2α=-255,又因为sin (β-α)=1010,β∈π,3π2,所以β-α∈π2,5π4,cos (β-α)=-31010,所以cos (α+β)=cos [(β-α)+2α]=cos (β-α)cos 2α-sin (β-α)sin 2α=-31010×-255-1010×55=22,又α+β∈5π4,2π,所以α+β=7π4.【解题技法】给值求角的方法依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值.【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知sin(θ-π4)=223,则sin 2θ的值为 (　　)A.79 B.-79 C.29 D.-29【解析】选B.由sin(θ-π4)=223,得sin(θ-π4)=sin θcos π4-cos θsin π4=22(sin θ-cos θ)=223,即sin θ-cos θ=43,等式两边同时平方,得1-sin 2θ=169,所以sin 2θ=-79.2.(2023·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),则tan α2= (　　)A.-12或2 B.2C.-13或3 D.3【解析】选B.因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),所以sin α=45,cos α=-35,所以tan α2=sinα1+cosα=451-35=2.3.已知sin(α-β2)=55,sin(β-α2)=1010,且α-β2∈(0,π2),β-α2∈(0,π2),则α+β2=__________. 【解析】因为α-β2∈(0,π2),β-α2∈(0,π2),所以0<α+β2<π,cos(α-β2)=255,cos(β-α2)=31010.因为cos α+β2=cos[(α-β2)+ (β-α2) ]=cos(α-β2)cos(β-α2)-sin(α-β2)sin(β-α2)=255×31010-55×1010=22,所以α+β2=π4.答案:π44.化简求值:3-4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°.【解析】原式=3-4sin20°(1-2sin220°)2sin20°sin480°=3-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin(20°+40°)-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin(40°-20°)2sin20°sin480°=1sin480°=1sin120°=233.【加练备选】若tan 2α=-34,则sin2α+cos2α1+2sin2α= (　　)A.-14或14 B.34或14C.34 D.14【解析】选D.由tan 2α=2tanα1-tan2α=-34,可得tan α=3或tan α=-13.故sin2α+cos2α1+2sin2α=2sinαcosα+cos2α3sin2α+cos2α=2tanα+13tan2α+1,当tan α=3时,2×3+13×32+1=728=14;当tan α=-13时,2×(-13)+13×(-13) 2+1=1343=14.[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=π3,C是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形.记∠POC=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.【解题导思】【解析】在Rt△OBC中,OB=cos α,BC=sin α.在Rt△OAD中,DAOA=tan π3=3.OA=33DA=33BC=33sin α,AB=OB-OA=cos α-33sin α.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cos α-33sin α)sin α=sin αcos α-33sin2α=12sin2α-36(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36=13(32sin2α+12cos2α)-36=13sin(2α+π6)-36.由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S最大=13-36=36.因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.【高考链接】(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧PQ上),则矩形ABCD面积的最大值为 __________. 【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OCsin α=2sin α,则AD=BC=2CE=4sin α,则OF=32AD=23sin α,OE=OCcos α=2cos α,则AB=2cos α-23sin α,所以矩形ABCD的面积S=BC·AB=4sin α(2cos α-23sin α)=4sin2α+43cos2α-43=8sin(2α+π3)-43,当2α+π3=π2,即α=π12时,S取得最大值8-43,所以矩形ABCD面积的最大值为8-43.答案:8-43[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形 ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交 AD,BC 于点 F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.　【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算类型辨析改编易错高考题号1243考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP=1,圆心角∠POQ=π3,矩形ABCD内接于扇形,∠POC=α定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD的长和宽表示出来,确定矩形 ABCD 面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积