2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第五节第2课时椭圆的几何性质讲义（Word附解析）

第2课时　椭圆的几何性质【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】椭圆的几何性质【微点拨】(1)椭圆焦点位置与x2,y2的系数有关.(2)离心率表示椭圆的扁平程度,e越接近0,椭圆越接近于圆;e越接近1,椭圆越扁平.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.椭圆的顶点坐标,长轴长,短轴长,离心率都与焦点所在的坐标轴有关B.椭圆的焦点一定在长轴上C.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中的参数ba不能刻画椭圆的扁平程度,而ca能刻画椭圆的扁平程度D.椭圆x24+y23=1比椭圆x216+y215=1更扁一些【解析】选BD.椭圆的长轴长,短轴长,离心率都与焦点所在的坐标轴无关,故A错误;椭圆的焦点一定在长轴上,故B正确;椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中的参数ba,ca均能刻画椭圆的扁平程度,故C错误;椭圆x24+y23=1的离心率为12,椭圆x216+y215=1的离心率为14.所以椭圆x24+y23=1比椭圆x216+y215=1更扁一些.故D正确.2.(选择性必修第一册P112练习T4变形式)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,-32b),且C的离心率为12,则C的方程是 (　　)A.x24+y23=1　 B.x28+y26=1C.x24+y22=1　 D.x28+y24=1【解析】选A.由题可知,1a2+3b24b2=1ca=1-b2a2=12,解得a2=4b2=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1.3.(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a= (　　)A.233 B.2 C.3 D.6【解析】选A.由e2=3e1,得e22=3e12,即4-14=3×a2-1a2,解得a=233.4.(椭圆的相关概念不清致误)若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m的值为________,焦点坐标为________. 【解析】设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,由题意可得:2a=2×2b,则a2=4b2,因为椭圆方程为x2+my2=1,即x2+y21m=1,且焦点在y轴上,则a2=1m,b2=1,可得a2=1m=4,解得m=14,所以c=a2-b2=3,即焦点坐标为(0,±3).答案:14　(0,±3)【巧记结论·速算】1.设P为椭圆上不同于长轴两端点的点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则①b≤|OP|b>0)上不同的三点,其中A,B关于原点对称,P与A,B均不关于坐标轴对称,则直线PA与PB的斜率之积为定值-b2a2.4.椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关,当a不变时,e越大,b越小,椭圆越扁;e越小,b越大,椭圆越圆.5.若P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中e=ca.6.椭圆系方程:①与x2a2+y2b2=1共焦点的椭圆系为x2a2-k+y2b2-k=1(k0).【即时练】1.已知椭圆的标准方程为x2100+y264=1,则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离|OP|的取值范围为 (　　)A.[6,10] 　 B.[6,8]　 C.[8,10] 　 D.[16,20]【解析】选C.方法一:设点P(x0,y0),则|OP|=x02+y02.由椭圆的范围,知|x0|≤a=10,|y0|≤b=8.因为点P在椭圆上,所以x02100+y0264=1,则y02=64-1625x02,所以|OP|=925x02+64.因为0≤x02≤100,所以64≤925x02+64≤100,即8≤|OP|≤10.方法二:设x0=10cos θ,y0=8sin θ,θ∈[0,2π),则|OP|=x02+y02=100cos2θ+64sin2θ=64+36cos2θ,因为cos2θ∈0,1,所以8≤|OP|≤10.2.若椭圆C:x2m+y29=1(m>9)比椭圆D:x26+y23=1更扁,则C的长轴长的取值范围是 (　　)A.(6,62)　 B.(18,36)C.(62,+∞)　 D.(36,+∞)【解析】选C.椭圆C的离心率e1=m-9m,椭圆D的离心率e2=6-36=22,因为椭圆C比椭圆D更扁,所以e1>e2,即m-9m>22,解得m>18,则2m>62,所以椭圆C的长轴长的取值范围是(62,+∞).3.(一题多法)过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________. 【解析】方法一:(待定系数法)设所求椭圆方程为y225-k+x29-k=1(k<9),将点(3,-5)的坐标代入可得(-5)225-k+(3)29-k=1,解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.方法二:(定义法)椭圆y225+x29=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=(3-0)2+(-5+4)2+(3-0)2+(-5-4)2,解得a=25.由c2=a2-b2可得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.答案: y220+x24=1【核心考点·分类突破】考点一　由椭圆的性质求方程[例1](1)(多选题)(2024·天水模拟)椭圆以x轴和y轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的标准方程可能为 (　　)A.x24+y2=1　 B.y24+x2=1C.y216+x24=1　 D.x216+y24=1【解析】选AC.设长轴长为2a,短轴长为2b,因为长轴长是短轴长的2倍,则2a=2×2b,即a=2b,又因为椭圆经过点(2,0),则有:若椭圆的焦点在x轴上,可知a=2,b=1,椭圆的标准方程为x24+y2=1;若椭圆的焦点在y轴上,可知a=4,b=2,椭圆的标准方程为y216+x24=1.综上所述:椭圆的标准方程为x24+y2=1或y216+x24=1.(2)(2024·南昌模拟)已知椭圆的离心率为12,焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为 (　　)A.x236+y227=1　 B.x236-y227=1C.x227+y236=1　 D.x227-y236=1【解析】选A.由椭圆的焦点是(-3,0),(3,0),得椭圆的半焦距c=3,由离心率为12,得ca=12,即a=6,因此椭圆的短半轴b=a2-c2=62-32=33,所以椭圆方程为x236+y227=1.【解题技法】求椭圆标准方程的步骤【对点训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为23;【解析】(1)由已知,2a=12,e=ca=23,得:a=6,c=4,从而b2=a2-c2=20.所以椭圆的标准方程为x236+y220=1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(2)经过点P(-6,0)和Q(0,8).【解析】(2)由椭圆的几何性质知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,于是有b=6,a=8.又短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为y264+x236=1.【加练备选】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在x轴上,长轴长、短轴长分别为8和6;【解析】 (1)由题意得:2a=8,2b=6,所以a=4,b=3,结合焦点在x轴上,故椭圆方程为x216+y29=1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(2)中心在原点,一个焦点坐标为(0,5),短轴长为4;【解析】(2)由题意得:c=5,2b=4,故a2=b2+c2=4+25=29,因为焦点在y轴上,故椭圆方程为y229+x24=1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(3)对称轴都在坐标轴上,长半轴长为10,离心率是0.6;【解析】(3)由题意得:a=10,e=ca=0.6,所以c=6,b2=a2-c2=100-36=64,当焦点在x轴上时,椭圆方程为x2100+y264=1;当焦点在y轴上时,椭圆方程为y2100+x264=1;　求适合下列条件的椭圆的标准方程:(4)中心在原点,焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1.【解析】(4)由题意得:a=2,a-c=1,所以c=1,b2=a2-c2=4-1=3,结合焦点在x轴上,故椭圆方程为x24+y23=1.考点二　椭圆的几何性质【考情提示】高考对椭圆性质的考查是历年的重点,主要以离心率或与椭圆有关的最值问题为载体考查逻辑推理与运算求解能力.角度1 椭圆的离心率[例2](1)(2024·北京模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,若以F1F2为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P,且△OPF2是等边三角形,则椭圆E的离心率为 (　　)A.12　 B.3-12　 C.2-3　 D.3-1【解析】选D.由题意知∠F1PF2=90°,O为F1F2的中点,故|OP|=12|F1F2|=c,△OPF2是等边三角形,即有|PF2|=c,∠PF2F1=60°,所以|PF1|=3c,又P在椭圆上,故|PF1|+|PF2|=2a,即3c+c=2a,所以ca=23+1=3-1,即椭圆E的离心率为3-1.(2)(2024·成都模拟)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 (　　)A. (0,22)　 B. (0,12]　 C.(0,1)　 D.[22,1)【解析】选A.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为 MF1·MF2=0⇒MF1⊥MF2,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆,又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即cb>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为2-32,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值可以为 (　　).A.1　 B.2　 C.4　 D.5【解析】选ABC.由已知得2b=2,故b=1,因为△F1AB的面积为2-32,所以12(a-c)b=2-32,所以a-c=2-3,又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,故a+c=2+3,所以a=2,c=3, 所以1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|PF2||PF1||PF2|=2a|PF1|(2a-|PF1|)=4|PF1|(4-|PF1|)=4-|PF1|2+4|PF1|=4-(|PF1|-2)2+4,又a-c≤|PF1|≤a+c,即2-3≤|PF1|≤2+3,当|PF1|=2时,-(|PF1|-2)2+4最大,最大值为4;当|PF1|=2-3或2+3时,-(|PF1|-2)2+4最小,最小值为1,即1≤-(|PF1|-2)2+4≤4,所以1≤4-(|PF1|-2)2+4≤4,即1≤1|PF1|+1|PF2|≤4,所以1|PF1|+1|PF2|的取值范围为[1,4].【解题技法】1.求解椭圆离心率或离心率范围的常用方法(1)根据椭圆方程直接求解出a,c的值,从而求解出离心率;(2)根据已知条件构造关于a,c的齐次方程,求解出ca的值,从而求解出离心率;(3)根据椭圆和几何图形的几何性质构建关于e的等式或不等式,从而求解出离心率或离心率的范围.2.求解与椭圆有关的范围、最值问题的常用思路(1)充分利用椭圆的几何性质,结合图形进行分析.(2)注意利用椭圆的范围如-a≤x≤a,-b≤y≤b,010-t>0,即7b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 (　　)A. [22,1) B.[12,1)C. (0,22] D. (0,12]【解析】选C.B点坐标为(0,b),设P(x0,y0),因为x02a2+y02b2=1,a2=b2+c2,所以|PB|2=x02+(y0-b)2=a2(1-y02b2)+(y0-b)2=-c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2,因为-b≤y0≤b,所以当-b3c2≤-b,即b2≥c2时,|PB|max2=4b2,即|PB|max=2b,符合题意,由b2≥c2可得a2≥2c2,即0-b,即b2b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)性质范围-a≤x≤a,且-b≤y≤b-b≤x≤b,且-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长=2a,短轴长=2b焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)离心率e=ca,且e∈(0,1)a,b,c的关系a2=b2+c2类型辨析改编易错高考题号1243