2025届高考数学一轮复习教师用书第六章第五节第3课时高考中的解三角形问题讲义（Word附解析）

第3课时　高考中的解三角形问题【核心考点·分类突破】考点一　边、角、周长和面积的计算问题(规范答题)[例1](1)(2023·新高考I卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.①求sin A;②设AB=5,求AB边上的高.审题导思破题点·柳暗花明规范答题微敲点·水到渠成【解析】①在△ABC中,A+B=π-C,因为A+B=3C,所以3C=π-C,解得C=π4.……………… [1分]因为2sin(A-C)=sin B,所以2sin(A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),关键点　观察已知式2sin(A-C)=sin B的结构,结合三角形内角和定理A+B+C=π,将sin B转化为 sin(A+C)所以2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=3cos Asin C,所以sin A=3cos A, ………………[3分]即tan A=3,所以00,A为锐角,所以cos A=1010, ………………[6分]避误区　此处要对A的范围进行分析,若写成cos A=±1010,会造成不必要的失分.所以sin B=sin(3π4-A)=22(cos A+sin A)=22×(1010+31010)=255. ………………[7分]由正弦定理ABsinC=ACsinB,得AC=AB·sinBsinC=5×25522=210, ………………[8分]作CD⊥AB,垂足为D,由12AB·CD=12AB·AC·sin A, ………………[9分]得CD=AC·sin A=210×31010=6. ………………[10分]破题有招　“等面积法”是解三角形问题中的常用方法,本题利用等面积法求出AB边上的高.等面积法是建立方程的有效手段.方法二:(正弦定理+余弦定理)由正弦定理BCsinA=ABsinC,得BC=ABsinC×sin A=522×31010=35. ………………[6分]由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C,得52=AC2+(35)2-2AC·35cosπ4,整理得AC2-310AC+20=0,解得AC=10或AC=210, ………………[7分]由①得,tan A=3>3,所以π3π4,即C0,又sin B=13,则cos B=1-132=223,ac=1cosB=324,则S△ABC=12acsin B=28;②由正弦定理得:bsinB=asinA=csinC,则b2sin2B=asinA·csinC=acsinAsinC=32423=94,则bsinB=32,b=32sin B=12.【解题技法】基本量计算问题的求解思路(1)边角关系要统一,化简过程务必要等价转化;(2)放在适当的三角形中求解,优先考虑特殊的三角形(有时作辅助线会事半功倍);(3)注意寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,以及应用方程思想.【对点训练】1.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cos A=2531,求△ABC的周长.【解析】(1)因为sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),所以sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C,所以ac·a2+c2-b22ac-2bc·b2+c2-a22bc=-ab·a2+b2-c22ab,即a2+c2-b22-(b2+c2-a2)=-a2+b2-c22,所以2a2=b2+c2;(2)因为a=5,cos A=2531,由(1)得b2+c2=50,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 则50-5031bc=25,所以bc=312,故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81,所以b+c=9,所以△ABC的周长为a+b+c=14.2.(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+c2-a2cosA=2.(1)求bc;(2)若acosB-bcosAacosB+bcosA-bc=1,求△ABC的面积.【解析】(1)因为a2=b2+c2-2bccos A,所以b2+c2-a2cosA=2bccosAcosA=2bc=2,解得bc=1.(2)由正弦定理可得acosB-bcosAacosB+bcosA-bc=sinAcosB-sinBcosAsinAcosB+sinBcosA-sinBsinC=sin(A-B)sin(A+B)-sinBsin(A+B)=sin(A-B)-sinBsin(A+B)=1,变形可得,sin(A-B)-sin(A+B)=sin B,即-2cos Asin B=sin B,而0c,所以a+b+c>2c=23,所以△ABC周长的取值范围为(23,33].【解题技法】解开放探索性问题的两个注意点(1)分析时要兼顾给出的几个条件,选择最易解答的一个条件;(2)解题时只需要选一个条件,结合其他条件求解即可.【对点训练】(2023·郑州模拟)在①sin B=17;②sin A=3sin B这两个条件中任选一个,补充在下面问题中.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos(A+π3)=b.(1)求C;(2)若c=2,__________,点D在边AB上,且∠ACD∶∠BCD=2∶3,求CD. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】(1)因为2ccos(A+π3)=b,由正弦定理得2sin Ccos(A+π3)=sin B,所以2sin C(12cos A-32sin A)=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A,整理得(3sin C+cos C)sin A=0,又00,故tan C=-33,即C=5π6.(2)因为∠ACD∶∠BCD=2∶3,且∠ACD+∠BCD=5π6,故∠ACD=π3,∠BCD=π2.若选择①:因为∠ACB>π2,则B为锐角,故cos B>0,即cos B=1-sin2B=1-172=437,则sin A=sin(B+∠ACB)=sin Bcos∠ACB+sin∠ACBcos B=17×(-32)+12×437=3314,且c=2,由正弦定理得asinA=bsinB=csin∠ACB=212=4,则a=4sin A=4×3314=637,b=4sin B=4×17=47,所以△ABC的面积为S△ABC=12absin∠ACB=12×637×47×12=6349,因为S△ACD+S△BCD=12b·CDsin∠ACD+12a·CD=12×47CD×32+12×637CD=437CD,S△ABC=S△ACD+S△BCD,即6349=437CD,所以CD=314.若选择②:因为sin A=3sin B,由正弦定理得a=3b,由余弦定理,得cos∠ACB=-32=a2+b2-42ab=4b2-423b2,所以b=277,a=3b=2217,△ABC的面积为S△ABC=12absin∠ACB=12×2217×277×12=37,因为S△ACD+S△BCD=12b·CDsin∠ACD+12a·CD=12×277CD×32+12×2217CD=32114CD,S△ABC=S△ACD+S△BCD,即37=32114CD,所以CD=2721.考点四　解三角形与三角函数、向量综合[例5](1)(2023·哈尔滨模拟)已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,A=π6,若cosBsinCAB+cosCsinBAC=mAO,则m的值为 (　　)A.12　 B.32　 C.1　 D.3【解析】选C.如图所示:取AB的中点D,则OD⊥AB,AO=AD+DO,代入cosBsinCAB+cosCsinBAC=mAO,得cosBsinCAB+cosCsinBAC=m(AD+DO),两边同乘AB得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=m(AD+DO)·AB,化简得cosBsinC|AB|2+cosCsinB|AC|·|AB|·cos∠BAC=12m·|AB|2,由正弦定理得cosBsinCsin2C+cosCsinBsin B·sin C·cos∠BAC=12m·sin2C,化简得cos B+cos C·cos ∠BAC=12m·sin C,则m=2(cosB+cosC·cos∠BAC)sinC=2[-cos(∠BAC+C)+cosC·cos∠BAC]sinC=2sin∠BAC=1.(2)(2023·哈尔滨模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c满足b2+acac=sinAsinC+sinCsinA,c=12.①已知D为线段BC上一点,且满足AD=BD,若AC=189,求CD的长;②若△ABC为锐角三角形,求△ABC面积的范围.【解析】①由题设b2+acac=ac+ca=a2+c2ac,则a2+c2-b2=ac,故cos B=a2+c2-b22ac=12,又B∈(0,π),则B=π3,又AD=BD,则△ABD为等边三角形,故BD=AB=c=12,由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,则BC2-12BC-45=0,所以BC=15(负值舍去),故CD=BC-BD=3.②由题意A+C=2π30