2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第五节第1课时椭圆的定义及标准方程讲义（Word附解析）

第五节　椭圆第1课时　椭圆的定义及标准方程【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.【微点拨】(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.(2)当|PF1|+|PF2|b>0).(2)焦点在y轴上:y2a2+x2b2=1(a>b>0).【微点拨】(1)椭圆的标准方程中焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.(2) a,b,c的关系:a2=b2+c2.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是一条直线【解析】选CD.因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆,故A错误;由于2a|F1F2|,符合椭圆的定义,故C正确;平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,故D正确.2.(选择性必修第一册P109练习T3变条件)已知椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则△ABF2的周长为(　　)A.10 　 B.15 　 C.20 　 D.25【解析】选C.由题意椭圆的长轴长为2a=225=10,由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周长是20.3.(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|= (　　)A.1　 B. 2　 C. 4　 D. 5【解析】选B.方法一:因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,从而S△F1PF2=b2tan 45°=1=12×|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=2.方法二:因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,由椭圆方程可知,c2=5-1=4⇒c=2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,又|PF1|+|PF2|=2a=25,平方得:|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2.4.(忽略隐含条件)若方程x25-k+y2k-3=1表示椭圆,则k的取值范围是(3,4)∪(4,5). 【解析】由已知得5-k>0,k-3>0,5-k≠k-3.解得30)上取一点 P(不取x轴上的点),过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD上的点M满足|MD||PD|=ba(a>b>0) ,则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点).(2)设A,B两点的坐标分别为(-a,0),(a,0)(a>0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是c2a2-1(a>c>0) ,则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点).(3)动点M(x,y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x=a2c(a>c)的距离的比是常数ca,则动点M的轨迹是椭圆.【对点训练】1.(2024·丽江模拟)一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,那么动圆的圆心P的轨迹是 (　　)A.椭圆　 B.双曲线C.抛物线　 D.双曲线的一支【解析】选A.设动圆P的半径为r,又圆A:(x+1)2+y2=1的半径为1,圆B:(x-1)2+y2=64的半径为8,则|PA|=r+1,|PB|=8-r,可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.2.(2024·梅州模拟)已知椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与椭圆C的一个交点为A,若|AF2|=4,则△AF1F2的面积为 (　　)A.23　 B.13　 C.4　 D.15【解析】选D.椭圆C:x29+y25=1中,|F1F2|=29-5=4,由|AF2|=4及椭圆定义得|AF1|=2,因此△AF1F2为等腰三角形,底边上的高h=|AF2|2-(12|AF1|) 2=42-12=15,所以S△AF1F2=12|AF1|·h=15.考点二　椭圆的标准方程【考情提示】高考对椭圆方程的考查常以解答题的形式出现,有关椭圆的几何性质的求解也常以选择题和填空题的形式出现.角度1 定义法[例2]已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是 (　　)A.x264-y248=1　 B.x248+y264=1C.x248-y264=1　 D.x264+y248=1【解析】选D.设动圆的圆心M(x,y),半径为r,圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与圆C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,动圆圆心M的轨迹方程为x264+y248=1.角度2待定系数法[例3]已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点(-32,52),(3,-5),则椭圆的方程为______________. 【解析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).由(-32) 2m+(52) 2n=1,3m+5n=1,解得m=16,n=110,所以椭圆的方程为y210+x26=1.答案:y210+x26=1【解题技法】根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.若焦点位置不确定,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值即可.【对点训练】1.(2024·潍坊模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且过点P(1,32),则椭圆的标准方程为__________. 【解析】由题知:c=1,①又椭圆经过点P(1,32),所以1a2+94b2=1,②又a2-b2=c2,③联立解得:a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为x24+y23=1.答案:x24+y23=12.动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,动圆圆心M的轨迹方程为__________. 【解析】由圆B方程知其圆心为B(3,0),半径r1=10.设圆M半径为r2,则|MA|=r2,由题意可知|MB|=r1-r2=10-r2,即|MA|+|MB|=10,又|AB|=6,所以|MA|+|MB|>|AB|.所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点且a=5,c=3的椭圆,所以b2=a2-c2=16.所以动圆圆心M的轨迹方程为x225+y216=1.答案:x225+y216=1【加练备选】　　 1.(2024·沈阳模拟)F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点, O为坐标原点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=23,则椭圆的标准方程为 (　　)A.x236+y220=1B.x29+y25=1C.x220+y236=1或x236+y220=1D.x29+y25=1或x25+y29=1【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA=|OF||AF|=cc2+b2=ca=23,因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5,所以椭圆方程为x29+y25=1;同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为x25+y29=1.2.已知点P为椭圆x225+y216=1上的任意一点,O为原点,M满足OM=12OP,则点M的轨迹方程为______________.【解析】设点M(x,y),由OM=12OP得点P(2x,2y),而点P为椭圆x225+y216=1上的任意一点,于是得(2x)225+(2y)216=1,整理得:4x225+y24=1,所以点M的轨迹方程是4x225+y24=1.答案:4x225+y24=1 【课程标准】1.掌握椭圆的定义及标准方程.2.会利用待定系数法确定椭圆的标准方程.【考情分析】考点考法:椭圆是历年高考的重点内容,其中求椭圆的标准方程时常出现在解答题的第一问中. 核心素养:数学运算、直观想象、逻辑推理类型辨析改编易错高考题号1243考点一椭圆的定义及应用教考衔接类题串串联题号类题说明(1)源自教材第108页例2.此题可知一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆(2)源自教材第108页例3.此题给出椭圆的另一种定义方式(3)源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式