2025届高考数学一轮复习教师用书第二章第三节二次函数与一元二次方程、不等式讲义（Word附解析）

第三节　二次函数与一元二次方程、不等式【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0).2.二次函数的零点一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数的零点.【微点拨】二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标.3.三个二次的对应关系(其中a>0)【微点拨】1.解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论.2.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为(m,n),则x=m与x=n为一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根.4.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),|x|0)的解集为(-a,a).【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2B.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0C.不等式x2≤a的解集为[-a,a]D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R【解析】选AB.C.对于不等式x2≤a,当a>0时,其解集为[-a,a];当a=0时,其解集为{0},当a<0时,其解集为∅.D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为∅.2.(必修第一册P52例3变条件)不等式-x2-5x+6≥0的解集为 (　　)A.{x|-6≤x≤1}　　B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}【解析】选A.不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.3.(必修第一册P55习题2.3T3变条件)已知集合A=x|x2-2x-3≤0,B=xy=　2x-4,则A∩B= (　　)A.2,3 B.2,3C.2,3 D.2,3【解析】选C.因为x2-2x-3≤0,所以x+1x-3≤0,即-1≤x≤3,所以A=x|-1≤x≤3,B=x|x≥2,所以A∩B=2,3.4.(忽略a=0的情形致误)不等式ax2-ax+a+1>0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围为 (　　)A.0,+∞B.0,+∞C.-∞,-43∪0,+∞D.-∞,-43∪0,+∞)【解析】选B.①当a=0时,1>0成立,②当a≠0时,只需a>0Δ=a2-4aa+1<0,解得a>0,综上可得a≥0,即实数a的取值范围为0,+∞.【巧记结论·速算】1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足a>0Δ<0;2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,则一定满足a<0Δ≤0;3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足a<0Δ<0;4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为⌀,则一定满足a>0Δ≤0.【即时练】1.“-30;　　(4)x2<6x-10.【解析】(1)因为Δ=49>0,所以方程2x2+5x-3=0有两个不相等的实数根,解得x1=-3,x2=12,画出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示.由图可得原不等式的解集为{x-30,所以方程3x2-6x+2=0有两个不相等的实数根,解得x1=3-33,x2=3+33,画出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为{xx≤3-33或x≥3+33}.(3)因为Δ=0,所以方程9x2-6x+1=0有两个相等的实数根,解得x1=x2=13.画出函数y=9x2-6x+1的图象如图③所示.由图可得原不等式的解集为{xx≠13}.(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,因为Δ=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实数根,画出函数y=x2-6x+10的图象如图④所示,由图象可得原不等式的解集为∅.【解题技法】解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式的解集为R或∅).(3)求:求出对应的一元二次方程的根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.角度2 含参数的一元二次不等式[例2]解关于x的不等式.(1)x2+ax+1<0(a∈R);(2)ax2-(a+1)x+1<0.【解析】(1)Δ=a2-4.①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解.②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程x2+ax+1=0的两根分别为x1=-a+a2-42,x2=-a-a2-42,则原不等式的解集为x-a-a2-422或a<-2时,原不等式的解集为x-a-a2-421.若a<0,原不等式等价于x-1a(x-1)>0,解得x<1a或x>1.若a>0,原不等式等价于x-1a(x-1)<0.①当a=1时,1a=1,x-1a(x-1)<0无解;②当a>1时,1a<1,解x-1a(x-1)<0,得1a1,解x-1a(x-1)<0,得11};当a=0时,解集为{x|x>1};当01时,解集为{x|1a3}D.{xx<-3或x>1}【解析】选C.由1-xx-3<0,可得(x-1)(x-3)>0,所以x<1或x>3,所以不等式的解集为{xx<1或x>3}.2.不等式-2x+5x-2>0的解集为________. 【解析】不等式-2x+5x-2>0等价于-2x+5x-2>0,即2x-5x-2<0,解得20的解集为x2-1,即a<-2时,解原不等式可得-1≤x≤2a;当2a=-1,即a=-2时,原不等式即为x+12≤0,解得x=-1;当2a<-1,即-20的解集为x-120的解集为x-120的解集为x-120B.c>0C.a+b+c>0D.a-b+c>0【解析】选ABC.由题意可知,方程ax2+bx+c=0的解为x1=-12,x2=2,且a<0,则-ba=x1+x2=32,ca=x1x2=-1,解得b=-32a,c=-a,令fx=ax2+bx+c=ax2-32ax-aa<0,对于A,b=-32a>0,故A正确;对于B,c=-a>0,故B正确;对于C,a+b+c=f1=a-32a-a=-32a>0,故C正确;对于D,a-b+c=f-1=a+32a-a=32a<0,故D错误.【解题技法】一元二次不等式与方程的关系的解题策略1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或利用根与系数的关系求解.【对点训练】(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为xmm>0,则以下结论正确的有 (　　)A.a<0B.b>0C.cx2+bx+a>0的解集为x1n0的解集为xx<1n或x>1m【解析】选ABC.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为xmm>0,令fx=ax2+bx+c,所以-b2a>0,即b>0,故B正确;由上所述,易知f0<0,c<0,由题意可得m,n为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则m+n=-ba,mn=ca,则1n·1m=ac,1n+1m=m+nmn=-bc,即1n,1m为方程cx2+bx+a=0的解,则不等式cx2+bx+a>0的解集为x1n0,则不等式2-ax-x21-x+x2<3等价于4x2+(a-3)x+1>0,依题意,不等式4x2+(a-3)x+1>0对任意实数x恒成立,则Δ=(a-3)2-16<0,解得-10(<0)在R上恒成立的条件1.ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足(1)a=b=0,c>0或(2)a>0Δ<0;2.ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足(1)a=b=0,c<0或(2)a<0Δ<0.角度2 在给定区间上的恒成立问题[例5]金榜原创·易错对对碰(1)(一题多法)若对于x∈[1,3],mx2-mx+m-6<0(m≠0)恒成立,则m的取值范围是________. 【解析】由已知得,m(x-12)2+34m-6<0(m≠0)在x∈[1,3]上恒成立.方法一:令g(x)=m(x-12)2+34m-6(m≠0),x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<67,则00,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<6x2-x+1.因为函数y=6x2-x+1=6(x-12) 2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.因为m≠0,所以m的取值范围是{m00在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.(3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围.①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立;②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立.提醒:一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数.角度3 不等式能成立或有解问题[例6](一题多法)若关于x的不等式x2-ax+7>0在2,7上有实数解,则a的取值范围是 (　　)A.-∞,8 B.-∞,8C.-∞,27 D.-∞,112【解析】选A.方法一:(分离参数法)不等式x2-ax+7>0在2,7上有实数解,等价于不等式a0在(2,7)上无解,则4-2a+7≤049-7a+7≤0,解得a≥8,因此不等式x2-ax+7>0在(2,7)上有解时a<8.【解题技法】一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或af(x)min或a0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.(4)最后一定要注意检验区间的开闭.【对点训练】1.(2024·大同模拟)已知命题p:∃x∈R,使得ax2+2x+1<0成立为真命题,则实数a的取值范围是 (　　)A.-∞,0 B.-∞,1C.0,1 D.0,1【解析】选B.命题p为真命题等价于不等式ax2+2x+1<0有解.当a=0时,不等式变形为2x+1<0,则x<-12,符合题意;当a>0时,Δ=4-4a>0,解得00Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c的图象方程ax2+bx+c=0的根有两个不相等的实数根x1,x2(x10的解集{x|xx2}__R__ax2+bx+c<0的解集{x|x1