2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第一节函数的概念及其表示讲义（Word附解析）

第三章 函数及其应用第一节　函数的概念及其表示【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数及其要素2.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、列表法、图象法.【微点拨】①在函数定义中,集合B不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合B的子集.②两个函数的值域与对应关系相同,但两个函数不一定相同,如y=x2(x≥0)与y=x2.3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.【微点拨】分段函数是一个函数而不是几个函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 (　　)A.f(x)=2-x+1x-3是一个函数B.已知f(x)=a(x∈R),则f(a3)=a3C.y=ln x2与y=2ln x表示同一个函数D.f(x)=x2+1,-1≤x≤1,x+3,x>1或x<-1,则f(0)=1【解析】选ABC.2.(必修第一册P65例2·变形式)函数f(x)=x+3+1x+2,若f(a)=133,则a=________. 【解析】由a+3+1a+2=133,化简得,3a2+2a-5=0,解得a=1或a=-53.答案:1或-533.(2022·北京高考)函数f(x)=1x+1-x的定义域是______________. 【解析】由已知x≠0,且1-x≥0,解得x≤1且x≠0.答案:(-∞,0)∪(0,1]4.(忽视新元的范围致误)若函数f(2x)=4x-2x,则f(x)=____________. 【解析】由题意,f(2x)=4x-2x=(2x)2-2x,设t=2x,则f(t)=t2-t,t>0,所以f(x)=x2-x,x>0.答案:x2-x(x>0)【巧记结论·速算】1.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个公共点.2.定义域与对应关系完全一致的两个函数是同一个函数.【即时练】1.(多选题)下列能表示函数图象的有 (　　)【解析】选ABC.根据函数的定义知,若y是x的函数,x确定一个值,y就随之确定一个值,对于选项D,当x取一个值时,可能有两个y值与之对应.2.(必修第一册P66例3·变条件)下列函数中与函数y=x+1是同一个函数的是 (　　)A.y=(x+1)2 B.y=3x3+1C.y=x2x+1 D.y=x2+1【解析】选B.函数y=x+1的定义域为R,而函数y=(x+1)2(x≥-1)与y=x2x+1(x≠0)的定义域不是R,故A,C选项不符合题意;y=x2+1=|x|+1的对应关系与y=x+1不相同;对于选项B,函数y=3x3+1与y=x+1是同一个函数.【核心考点·分类突破】考点一　函数的定义域[例1](1)函数f(x)=ln(4x-x2)+1x-2的定义域为 (　　)A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4]C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞)【解析】选C.使函数有意义,需满足4x-x2>0,x-2≠0,解得00在R上恒成立,当a=0时,x+1>0,x>-1,不满足条件,故a>0,Δ<0,即a>14.答案:(14,+∞)(3)金榜原创·易错对对碰①若函数y=f(x)的定义域是[0,2 025],则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域为________. ②若函数f(x-1)的定义域为[0,2 025],则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域为________. 【解析】①使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤2 025,解得-1≤x≤2 024,故函数f(x+1)的定义域为[-1,2 024],所以函数g(x)有意义的条件是-1≤x≤2 024x-1≠0,解得-1≤x<1或10,解得x0,12+x-x2>0,x-1≠0得x<2,-31,所以f(-2)=log24=2,f(ln 4)=eln 4=4,所以f(-2)+f(ln 4)=2+4=6.(2)已知f(x)=f(x-1),x>0,-ln(x+e)+2,x≤0,则f(2 024)=__________. 【解析】因为f(x)=f(x-1),x>0,-ln(x+e)+2,x≤0,所以f(2 024)=f(2 023)=f(2 022)=…=f(1),又f(1)=f(1-1)=f(0),f(0)=-ln(0+e)+2=-1+2=1,所以f(2 024)=1.答案:1角度2 分段函数与方程、不等式问题[例4](1)设函数f(x)=2x,x≤0,|log2x|,x>0,则使f(x)=12的x的集合为________. 【解析】由题意知,若x≤0,则2x=12,解得x=-1;若x>0,则|log2x|=12,解得x=212=2或x=2-12=22.故所求x的集合为{-1,2,22}.答案:{-1,2,22}(2)(一题多法)设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+f(x-12)>1的x的取值范围是________. 【解析】方法一:当x>12时,2x+2x-12>1恒成立,所以x>12;当01,即2x+x>12恒成立,所以01,解得-141变形为f(x-12)>1-f(x),令y1=f(x-12),y2=1-f(x),作出两个函数的图象如图所示:由图象可知,f(x-12)>1-f(x)的x的取值范围是(-14,+∞).答案: (-14,+∞)角度3 分段函数的值域、最值问题[例5](1)(2023·上海高考)已知函数f(x)=2x,x>01,x≤0,则f(x)的值域为__________. 【解析】当x>0时,f(x)=2x>1,当x≤0时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[1,+∞).答案:[1,+∞)(2)(2022·浙江高考)已知函数f(x)=-x2+2,x≤1,x+1x-1,x>1,则f(f(12))=________; 若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是__________. 【解析】因为f(12)=-(12)2+2=74,所以f(f(12))=f(74)=74+47-1=3728.当x≤1时,由1≤-x2+2≤3,解得-1≤x≤1;当x>1时,由1≤x+1x-1≤3,解得132时,则f(f(56))=f(52-b)=3(52-b)-b=4,解得b=78,不合题意舍去.若52-b≥1,即b≤32时,则2(52-b)=4,解得b=12.2.(多选题)(2023·衡水模拟)已知函数f(x)=x+2,x<1-x2+3,x≥1,则 (　　)A.f(f(3))=3B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3C.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞)D.∀x∈R,a>f(x),则a≥3【解析】选BCD.对于A,f(3)=-(3)2+3=0,所以f(f(3))=f(0)=2,则A错误.对于B,当x<1时,由f(x)=-1,得x+2=-1,得x=-3;当x≥1时,由f(x)=-1,得-x2+3=-1,得x2=4,解得x=2或x=-2(舍去).综上得x=2或x=-3,所以B正确.对于C,当x<1时,由f(x)<2,得x+2<2,得x<0;当x≥1时,由f(x)<2,得-x2+3<2,得x>1.综上f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),所以C正确.对于D,当x<1时,x+2<3,当x≥1时,-x2+3≤2,所以f(x)的值域为(-∞,3).因为∀x∈R,a>f(x),所以a≥3,故D正确.3.已知函数f(x)=(1-2a)x+3a(x<1)lnx(x≥1)的值域为R,则实数a的取值范围为__________. 【解析】由题意知f(x)=ln x(x≥1)的值域为[0,+∞),要使f(x)的值域为R,则必有f(x)=(1-2a)x+3a(x<1)为增函数,且1-2a+3a≥0,所以1-2a>0,且a≥-1,解得-1≤a<12.答案:[-1,12)4.(2022·北京高考)设函数f(x)=-ax+1,x2时,f(x)=-ax+1,x