2024-2025学年九年级数学上册专题21.3 二次根式的加减【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题21.3 二次根式的加减【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版），共30页。

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\l "_Tc22604" 【题型1 同类二次根式】 PAGEREF _Tc22604 \h 1
\l "_Tc1557" 【题型2 分母有理化】 PAGEREF _Tc1557 \h 3
\l "_Tc6923" 【题型3 二次根式的加减】 PAGEREF _Tc6923 \h 5
\l "_Tc16039" 【题型4 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc16039 \h 7
\l "_Tc13322" 【题型5 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc13322 \h 10
\l "_Tc23598" 【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 PAGEREF _Tc23598 \h 13
\l "_Tc4100" 【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】 PAGEREF _Tc4100 \h 15
\l "_Tc24624" 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】 PAGEREF _Tc24624 \h 18
\l "_Tc7000" 【题型9 二次根式中的新定义类问题】 PAGEREF _Tc7000 \h 21
\l "_Tc23244" 【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc23244 \h 25
知识点1：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
【题型1 同类二次根式】
【例1】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A．136和32B．a和2a
C．12和13D．3和9
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A、136与32的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
B、a与2a的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
C、12=23与13=33的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；
D、3与9=3的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）若最简二次根式2a−3与12是同类二次根式，则a= ．
【答案】3
【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．先求出12=23，再根据同类二次根式的定义得出2a−3=3，再求出答案即可．
【详解】解：12=23，
∵最简二次根式2a−3与12是同类二次根式，
∴2a−3=3，
∴a=3．
故答案为：3．
【变式1-2】（23-24九年级·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与12合并的是（ ）
A．2B．8C．118D．0.2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并．
将各选项化为最简二次根式即可解答．
【详解】解：12=22，
A、2与12是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
B、8=22与12是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
C、118=26与12是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
D、0.2=15=55与12不是同类二次根式，不可以合并，符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）已知最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式，求x2+y2的平方根．
【答案】±5
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再求出x2+y2的值，最后求出平方根即可．
【详解】解：∵最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式，
∴3x−10=22x+y−5=x−3y+11，
解得：x=4y=3，
∴x2+y2=42+32=25，
∴x2+y2的平方根是±5．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，准确进行计算．
知识点2：分母有理化
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型2 分母有理化】
【例2】（23-24九年级·河北衡水·期末）已知a=45−3，b=5+3，则a与b的关系是（ ）
A．互为相反数B．相等C．互为倒数D．互为负倒数
【答案】A
【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得a的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得a的值是解题的关键．
【详解】解：a=45−3=45+35−35+3=−5−3，
∴a+b=0，
∴a与b互为相反数，
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·上海·期末）计算：11−2+22= ．
【答案】−1
【分析】
本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解．
【详解】解：11−2+22=1+21−21+2+222×2
=−1+2+2
=−1−2+2
=−1．
故答案为：−1．
【变式2-2】（23-24九年级·上海浦东新·期末）2a−1的一个有理化因式是（ ）
A．2a−1B．2a−1C．2a+1D．2a+1
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答．
【详解】解：∵2a−12a+1=2a2−12=4a−1，
∴2a−1的一个有理化因式是2a+1，
故选：C．
【变式2-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．
11+2=2−1；12+3=3−2．
验证：11+2=2−12+12−1=2−12−1=2−1；
12+3=3−23+2(3−2)=3−23−2=3−2．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
13+4=_______，16+7=______；
(2)通过上述探究，猜想1n+n+1=______（n>0，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：11+2+12+3+13+4+…+12022+2023+12023+20241+2024
【答案】(1)2−3，7−6
(2)n+1−n，证明见解析
(3)2023
【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键；
（1）根据题中给的例子即可得出答案；
（2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案；
（3）根据（2）中规律计算化简即可；
【详解】（1）13+4=4−33+44−3=4−34−3=4−3=2−3，
16+7=7−67+67−6=7−67−6=7−6，
故答案为：2−3，7−6；
（2）1n+n+1=n+1−n，
验证： 1n+n+1=n+1−nn+1+nn+1−n=n+1−nn+1−n=n+1−n，
故答案为：n+1−n；
（3）11+2+12+3+13+4+…+12022+2023+12023+20241+2024
= 2−1+3−2+4−3+…+2023−2022+2024−20231+2024
=2024−11+2024
=2023．
知识点3：二次根式的加减
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如
【题型3 二次根式的加减】
【例3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）计算
(1)3−27−81+(−2)2
(2)169+6−26+13
【答案】(1)−8
(2)1−6
【分析】本题主要考查了乘方和开方，二次根式的加减，对于（1），根据3−27=−3，81=9，(−2)2=4，再计算有理数的加减法即可；
对于（2），先开方，再去括号，然后根据二次根式的加减法法则计算．
【详解】（1）原式=−3−9+4
=−8；
（2）原式=43+6−26−13
=1−6．
【变式3-1】（23-24九年级·山东聊城·期末）计算313−248+27结果为 ．
【答案】−43
【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键．
先将二次根式化简，然后计算加减法即可．
【详解】解： 313−248+27
=3×33−2×43+33
=3−83+33
=−43，
故答案为：−43．
【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）212−613+348= ．
【答案】143
【分析】先根据性质化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】原式=43−23+123，
=143，
故答案为：143．
【点睛】此题考查了二次根式的性质和加减运算，解题的关键是熟练掌握利用二次根式性质的化简及其应用．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）计算：a−ba−b−a+b−2aba−b．
【答案】2b
【分析】分母不变，分子作减法后，根据b=b⋅b ，将分子分解为2b(a−b) ，通过约分即可得.
【详解】原式=a−b−a−b+2aba−b=−2b+2aba−b=2b(a−b)a−b=2b
【点睛】本题考查分式的化简，利用b=b⋅b使此题化简更为简便.
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（23-24九年级·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a=23和b=32的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2=12，b2=18，则a25−2B．5−2>2+52>2+2
C．2+52>5−2>2+2D．5−2>2+2>2+52
【答案】D
【分析】根据作差法，分别比较5−2与2+2，2+2与2+52的大小，即可得到答案.
【详解】∵(5−2)-(2+2)=3-22=3-8=9-8>0，
∴5−2>2+2，
∵(2+2)-(2+52)=2-52=222-52=8−52>0，
∴2+2>2+52，
∴5−2>2+2>2+52，
故选D.
【点睛】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键.
【变式4-3】（23-24九年级·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：
12+1=2−12+12−1=2−1
13+2=3−23+23−2=3−2
14+3=4−34+34−3=4−3=2−3
(1)化简：19+8=______，191+90=______；
(2)利用上面的规律，比较13−12______14−13（填“>”或“
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据分母有理化的方法得到113+12=13−12，114+13=14−13，根据14+13>13+12>0，得到114+1314−13．
【详解】（1）解：19+8
=9−89+89−8
=9−89−8
=3−22；
191+90
=91−9091+9091−90
=91−9091−90
=91−310，
故答案为：3−22，91−310；
（2）解：113+12=13−1213+1213−12=13−12，
114+13=14−1314+1314−13=14−13，
∵14+13>13+12>0，
∴114+1314−13，
故答案为：>．
【题型5 二次根式的混合运算】
【例5】（23-24九年级·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
18×24+12−22+3
=18×24+23−22+23………第一步
=3+23+23−22………第二步
=53−22………第三步
任务：
(1)原式中的二次根式18、24、12、2、3中，是最简二次根式的是______；
(2)第______步开始出错，错误的原因是______；
(3)第一步中，去括号的依据是______；
(4)请写出正确的计算过程．
【答案】(1)2、3
(2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
(3)乘法分配律
(4)见解析
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可；
（2）根据去括号法则分析即可；
（3）根据去括号的依据解答即可；
（4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：18=88=24，不是最简二次根式；
24=26，不是最简二次根式；
12=23，不是最简二次根式；
2、3是最简二次根式，
故答案为：2、3
（2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
（3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（4）解：18×24+12−22+3
=18×24+23−22−23
=3+23−23−22
=3−22．
【变式5-1】（23-24九年级·北京房山·期末）计算52−1−321+32= ．
【答案】22
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后相减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式=5−12−322=5−−17=22，
故答案为：22．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北十堰·期末）计算3432−2318+212×34的结果为（ ）
A．3+2B．2+3C．2+3D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算乘法，再算二次根式加减即可，灵活运用二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式=34×42−23×32+2×12×34，
=32−22+3，
=2+3，
故选：B．
【变式5-3】（23-24九年级·江西宜春·期末）（1）计算：2−32+3−4；
（2）化简：2ab÷12baa>0．
【答案】（1）−1；（2）4a
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先根据平方差公式展开，再计算加减法即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再将除法化为计算即可．
【详解】解：（1）2−32+3−4
=22−32−2
=4−3−2
=−1；
（2）2ab÷12ba
=2ab÷ab2a
=2ab⋅2aab
=4a．
【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】
【例6】（23-24九年级·山东滨州·期中）先化简，再求值：x6−x+x+5x−5，其中x=43−613+312÷42．
【答案】6x−5；1
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式化简，最后代值计算即可．
【详解】解：x6−x+x+5x−5
=6x−x2+x2−5
=6x−5；
x=43−6×33+63÷42
=43−23+63÷42
=83÷42
=6；
原式=6×6−5=6−5=1．
【变式6-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）设x=2-12+1，y=2+12−1，求x2−3xy+y2值.
【答案】31
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把x=2−12+1，y=2+12−1化简，再把x2−3xy+y2变形为x−y2−xy代入计算即可．
【详解】解：∵x=2−12+1=2−122+12−1=3−22，y=2+12−1=2+122−12+1=3+22，
∴x2−3xy+y2
=x2−2xy+y2−xy
=x−y2−xy
=3−22−3+222−3−223+22
=−422−9−8
=32−1
=31．
【变式6-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）若a=5+2，b=5−2，求：
(1)a2−b2；
(2)求a3b+ab3．
【答案】(1)85
(2)18
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出a+b=25，a−b=4，再根据a2−b2=a+ba−b进行求解即可；
（2）先求出a+b=25，ab=1，再把所求式子变形为aba+b2−2ab，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵a=5+2，b=5−2，
∴a+b=5+2+5−2=25，a−b=5+2−5+2=4，
∴a2−b2
=a+ba−b
=25×4
=85；
（2）解：∵a=5+2，b=5−2，
∴a+b=5+2+5−2=25，ab=5+25−2=5−4=1
∴a3b+ab3
=aba2+b2
=aba+b2−2ab
=1×252−2×1
=1×20−2
=18．
【变式6-3】（23-24九年级·河北衡水·阶段练习）已知x=2−3，y=2+3．
(1)求x+y和xy的值；
(2)求x2+y2−3xy的值；
(3)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．
【答案】(1)x+y=4，xy=1
(2)11
(3)1−73
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）代入x=2−3，y=2+3即可求出x+y和xy的值；
（2）将原式变形为x+y2−5xy，代入数值进行计算即可；
（3）先估算出1