专题10 图形的旋转重难点题型专训（十大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 生活中的旋转现象
题型二 判断一个图形旋转而成的图案
题型三 找旋转中心、旋转角、对应点
题型四 利用旋转的性质证明
题型五 利用旋转的性质求解
题型六 判断旋转对称图形
题型七 画旋转对称图形
题型八 求绕某点旋转后的坐标
题型九 旋转中的规律探究题
题型十 旋转中的最值探究
【知识梳理】
【经典例题一 生活中的旋转现象】
【例1】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（ ）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②
【答案】B
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．
【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ；
图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ；
图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ；
图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）如图是一个钟表，将其旋转度，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将钟表旋转后，即可得到钟表显示的时间．
【详解】解：将钟表旋转后，如图所示，
钟表中的时间为．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转．将钟表旋转是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ．
【答案】689
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案．
【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689．
故答案为：689．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键．
3．（2023秋·全国·九年级随堂练习）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角．
【答案】见解析
【分析】根据旋转的性质举例．
【详解】解：生活中的旋转现象有很多，比如：
汽车开动时的车轮：旋转中心是轴心，旋转角是车轮上对应点与轴心连线的夹角；
钟表：旋转中心是三个指针重叠的表盘心；旋转角是表盘上指针上对应点与表盘心连线的夹角；
荡秋千：旋转中心是秋千固定的端点，旋转角是秋千上对应点与秋千固定点连线的夹角．
【点睛】本题考查的是旋转变换的概念和性质，掌握对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角是解题的关键．
【经典例题二 判断一个图形旋转而成的图案】
【例2】（2023春·八年级课时练习）下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：（只填序号）
既可以由“基本图案”平移，也可以通过旋转得到的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】此题是一组复合图形，根据平移、旋转的性质解答．
【详解】解：①可以看作由左边图案向右平移得到的；
②可以看作一个菱形绕一个顶点旋转得到的；
③既可以看作一个圆向右平移得到的，也可以看作两个圆组成的图案旋转得到的；
④可以看作上面基本图案向下平移得到的；
⑤可以看作上面图案绕中心旋转得到的．
故可以平移但不能旋转的是①④；
可以旋转但不能平移的是②⑤；
既可以平移，也可以旋转的是③．
故答案为A．
【点睛】本题考查平移、旋转的性质：①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，经过平移和旋转变换可能将甲图案变成乙图案的是（ ）（默认三角形都是全等的）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平移和旋转的性质进行选择，平移不改变图形的大小和形状，旋转改变图形的方向，可以作出选择．
【详解】解：B、C、D通过旋转和平移，和乙图各点不对应，均错误；
A经过平移和旋转变换可能将甲图案变成乙．
故选A．
【点睛】本题考查平移和旋转变换，熟练掌握图形平移和旋转的性质是关键.
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，平南直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程 ．

【答案】将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）
【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由得到的过程．
【详解】解：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度得到，
故答案为：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度．
3．（2023春·山西运城·八年级统考期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”

(1)【思路点拨】
如图1，四边形为对角互补四边形，，．
求证：平分．
小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分．
①还可以知道、、三者数量关系为：_________；
②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________；
(2)【变式拓展】
如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明：
平分；
②；
(3)【能力提升】
如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________．
【答案】(1)①；②绕点A逆时针旋转得到
(2)①见解析；②见解析；
(3)
【分析】（1）①由题意可得，，，即可得；
②根据旋转的定义可得出答案；
（2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明；
②由①直接可证明；
（3）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解．
【详解】（1）解：①，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
②∵，
∴绕点A逆时针旋转得到．
（2）解：①延长至，使，连接，如图2，

四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分；
②，，
，
；
（3）解：延长至，使，连接，如图3，

四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
过点作交于点，
为的中点，
，
在中，，
，
，
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键．
【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】
【例3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F．当，旋转角的度数是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理得，根据直角三角形性质和对顶角相等得，求出即可．
【详解】解：由题意得到，，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以，
即旋转角是．
故选：A
【点睛】此题考查了图形的旋转、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理、直角三角形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，则（ ）度．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，
∵，的垂直平分线交于点，
∴点是旋转中心，
∵，
∴旋转角，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，灵活利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质确定旋转中心是解题的关键．
2．（2023秋·陕西渭南·八年级校联考期末）如图，，点D的坐标为，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，根据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，再由点在上，可得，并求出的长，再求出，可得，从而得到，然后根据点D的坐标为，可得，再根据勾股定理可求出的长，即可求解．
【详解】解：设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，如图，
根据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，
∵点在上，
∴点P到的距离相等，都是，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D的坐标为，
∴，
∴，
∴旋转中心点P的坐标为．
故答案为：
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含有30°角的直角三角形是解题的关键．
3．（2023春·福建宁德·八年级统考期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)将向下平移5个单位再向左平移1个单位得到，作出平移后的．
(2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的．
(3)可由旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为 ．
(4)将点绕原点O逆时针旋转，则点P旋转后对应点的坐标为 ．（用含m的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）作出向下平移5个单位再向左平移1个单位后三个顶点的对应点、、的位置，然后顺次连接这三个顶点，则为所求作的三角形；
（2）作出绕点O顺时针旋转后的对应点、、的位置，然后顺次连接这三个顶点，则为所求作的三角形；
（3）根据成旋转对称的性质，进行求解即可；
（4）根据成旋转对称的性质，进行求解即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求；

（2）如图所示，即为所求；
（3）∵连接、，、、、，如图所示：

∵，，，
∴绕点P顺时针旋转可以得到，
∴旋转中心是．
故答案为：．
（4）如图，在第一象限时，为其绕点逆时针旋转的对应点，

过点作轴，过点作轴，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
同理，当点在轴和第二象限时，；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与平移，坐标与旋转．熟练掌握旋转的性质和平移的性质，是解题的关键．
【经典例题四 利用旋转的性质证明】
【例4】（2023秋·九年级课时练习）如图，已知中，，将绕点A逆时针旋转得到，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【详解】解：①∵绕A点逆时针旋转得到，
∴．故①正确；
②∵绕A点逆时针旋转，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．故②正确；
③在中，，
∴．
∴．
∴与不垂直．故③不正确；
④在中，
，
∴．
∴．故④正确．
∴①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则下列结论正确的个数有（ ）．
①，②，③， ④

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据旋转的性质和是正方形，从而得到，根据，，得到，根据，得到，从而得到，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半的得到，从而得到，根据特殊直角三角函数值得到．
【详解】解：绕点C顺时针方向旋转得到，
，，
是正方形
，
，
，故①错误；
，
，，
，
，故③正确；
，
，
，故②正确；
，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的旋转及正方形的性质，熟记旋转的性质及解直角三角形和角度之间的计算是解题的关键．
2．（2023春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，，则 °．

【答案】
【分析】将逆时针旋转，使与重合，得到，先证，得到，即可解答．
【详解】解：如图，将逆时针旋转，使与重合，得到，
，
则，；
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
3．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）（1）如图1，在中，，，点D，E在边上且不与点B，C重合，，猜想之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在中，，，点D，E在边上且不与点B，C重合，，，猜想之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）将绕点A顺时针旋转90°后得，连接，先证明再证明即可得到，再在中利用勾股定理得到，最后等量代换得到；
（2）将绕点A顺时针旋转120°后得，连接，证明得到，再在中利用勾股定理得到，最后等量代换得到．
【详解】解：（1）．
理由：如图，将绕点A顺时针旋转90°后得，连接．

在中，，，
，
由旋转的性质可知，，
，，
．
（旋转角），又，
故．
∴，
∴，
在中，由勾股定理得
即．
（2）．
理由：如图2，将绕点A顺时针旋转120°后得，连接．

在中，，，
，
由旋转的性质可知，，
，，
，
∴，
∴，
∴，，
．
在中，由勾股定理得，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的“半角旋转”模型，熟练利用模型构造全等是解题的关键．
【经典例题五 利用旋转的性质求解】
【例5】（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可知，根据，因此可算出，又因为旋转的性质可知，即可求解．
【详解】解：∵将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，A点落在位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，．点在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质得出，，再根据证明得出，，得出，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明是解题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在中，，将绕点逆时针旋转至的位置，使得点恰好落在上，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，由旋转的性质可得，，，通过证明是等边三角形得到，从而得到，再由等边三角形的判定和性质即可得到答案．
【详解】解：在中，，
，，
，
由旋转的性质可得：，，，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．

(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；
（2）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质求得，进而得出，进而可得，勾股定理解，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，，
当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，
当在线段上时，的距离最小，最小值为；
；
（2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，

∵绕顶点逆时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
【经典例题六 判断旋转对称图形】
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（ ）
A．顺时针旋转B．顺时针旋转C．逆时针旋转D．逆时针旋转
【答案】D
【分析】由正方形的性质得到∠COD=∠DOA=90°， OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为90°，据此可得答案．
【详解】解∶∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，
∴△COD绕点O逆时针旋转90°得到△DOA，
故选∶D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，旋转时找出旋转中心、旋转方向、旋转角是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）下列正确的叙述是（ ）
A．中心对称图形由两个图形组成
B．圆的对称轴有无数条，就是它的直径
C．正五边形的旋转角只有是
D．正六边形既是轴对称图形，也是旋转对称图形，还是中心对称图形
【答案】D
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，旋转的角度叫旋转角（旋转角），根据中心对称图形、轴对称图形和旋转对称图形的定义逐一进行分析，即可得到答案．
【详解】解：A、中心对称图形由一个图形组成，原说法错误，不符合题意，选项错误；
B、圆的对称轴有无数条，过圆心的直线是圆的对称轴，原说法错误，不符合题意，选项错误；
C、正五边形的旋转角有、、、，原说法错误，不符合题意，选项错误；
D、正六边形既是轴对称图形，也是旋转对称图形，还是中心对称图形，原说法正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形和旋转对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解题关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：
①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有 个；
【答案】 B （1）（3）（5） 2
【分析】（1）根据旋转对称图形的定义即可解答；
（2）分别求出各图形的旋转角即可解答；
（3）根据旋转对称图形的定义判断即可．
【详解】（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，故选B．
（2）图形（1）的旋转角为60°，120°，180°；图形（2）的旋转角为180°；图形（3）的旋转角为60°，120°，180°；图形（4）的旋转角为180°；图形（5）的旋转角为60°，120°，180°；图形（6）的旋转角为°，°，°，°，°；综上，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60°的图形是．
故答案为：．
（3）根据旋转对称图形的定义可得：①中心对称图形是旋转对称图形是真命题；②等腰三角形是旋转对称图形是假命题；③圆是旋转对称图形是真命题．所以真命题有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题是新定义题目，熟练运用旋转对称图形的定义是解决问题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．请依据上述定义解答下列问题：
（1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90°，这个图形可以是______；
（2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同；请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）．
【答案】（1）正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；（2）见解析
【分析】（1）根据旋转对称图形的定义解答即可；
（2）先作出正六边形的旋转中心，再根据图形既是轴对称图形又是旋转对称图形进行作图即可．
【详解】解：(1) 正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；
故答案为：正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；
(2)如图所示：
【点睛】本题考查了轴对称图形和旋转对称图形的定义及作图，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．
【经典例题七 画旋转对称图形】
【例7】（2023·福建·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先把向右平移3个单位长度得到，再把绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据要求画出图形，即可解决问题．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图：
观察图象可知：A2（4，2）；
故选：D.
【点睛】本题考查平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确画出图象，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023·山东青岛·统考三模）如图，四边形ABCD的顶点坐标A（﹣3，6）、B（﹣1，4）、C（﹣1，3）、D（﹣5，3）．若四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°，再向左平移2个单位，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（0，5）B．（4，3）C．（2，5）D．（4，5）
【答案】A
【详解】旋转、平移后四边形如图所示,
A'的坐标为,
故选A.
2．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，每个小方格的边长为1个单位长度.正方形顶点都在格点上，其中点的坐标为.
（1）若将正方形绕点顺时针方向旋转，点到达点，点到达点，点到达点，此时的坐标是 ；
（2）若线段的长度与点的横坐标的差恰好是一元二次方程的一个根，线段 ，的值为 .
【答案】 ； ；
【分析】（1）根据网格特点和旋转的性质即可确定的坐标；
（2）先利用勾股定理求出的长度，再与点的横坐标作差后代入一元二次方程求解关于a的一元一次方程即可．
【详解】解：（1）如图：正方形绕点顺时针方向旋转得到，
则的坐标为
（2）由根据勾股定理，，
∴线段的长度与点的横坐标的差是，
∴整理，
∴,解得．
【点睛】本题主要考查了利用旋转作图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的解等知识点，根据平面直角坐标系找出点的坐标是解答本题的关键．
3．（2023春·山西运城·八年级统考期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，，请按要求完成下列任务．

任务一：将向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，画出，并写出的坐标；
任务二：将绕点B旋转，得到，画出，并写出的坐标；
任务三：在x轴上求作一点P，使的值最小，并求出点P的坐标及的最小值．
【答案】任务一：图见解析，；任务二：图见解析，；任务三：
【分析】任务一：根据平移的性质作出图形，再由点的位置写出坐标即可；
任务二：延长到，使，延长到，使，再连接；根据位置写出坐标即可；
任务三：连接交x轴于P，再利用待定系数法求出直线的表达式，根据求一次函数图象与x轴的交点坐标即可得点P坐标，利用勾股定理求出线段的长，根据两点间线段最短即可得出答案．
【详解】解：任务一、二：如图所示，和即为所作；，．
任务三：如图，连接，交x轴于点P，此时的值最小．

设直线的表达式为，
则，解得，
当时，
．
由勾股定理可得的最小值为．
【点睛】本题考查平移作图，中心对称作图，点的坐标，线段最短，勾股定理，熟练掌握平移与中心对称作图，线段最短和勾股定理是解题的关键．
【经典例题八 求绕某点旋转后的坐标】
【例8】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，若将绕点B顺时针旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过作轴于点C，由旋转的性质可得，，进而求解．
【详解】解：过作轴于点C，

由旋转可得，轴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴点坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题的关键是掌握求点的坐标的常用方法．
【变式训练】
1．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，A点的坐标是，B点的坐标是，由绕点A顺时针旋转而得，则C点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点C作轴于点H，则，由A点的坐标是，B点的坐标是得到，证明，得到，则，即可得到C点的坐标．
【详解】解：过点C作轴于点H，则，
∵A点的坐标是，B点的坐标是，
∴，
∵AC由AB绕点A顺时针旋转而得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标是，
故选：D
【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、点的坐标等知识，添加辅助线证明是解题的关键．
2．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，点A的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标，
【详解】解：过作轴于点，如图：

，
，
，
，
，，
，
，，
点A的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．（2023·全国·九年级假期作业）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．

(1)写出A、B两点的坐标；
(2)画出绕点C旋转后得到的．
(3)直接写出的面积______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）结合直角坐标系可直接写出A、B两点的坐标；
（2）旋转也即是中心对称，找到A、B、C三点关于C的中心对称点，顺次连接即可；
（3）利用割补法求的面积即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：如图所示：

（3）解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转作图，中心对称的知识以及割补法求三角形面积，解答本题的关键是根据旋转的三要素，中心对称的性质，得到各点的对应点，难度一般．
【经典例题九 旋转中的规律探究题】
【例9】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形为正方形，点A的坐标为，将正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】点C旋转回到原位置，即旋转次回到原位置．故第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标与第次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同．据此即可求解．
【详解】解：∵正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°
∴正方形绕点O逆时针旋转次回到原位置
∵
∴第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标，与第次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同
如图：绕点O逆时针60°得到，作

∵
∴
∵点A的坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
即点
故选：D
【点睛】本题考查了坐标与旋转规律问题．根据题意确定第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标，与第次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同，是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，为等腰三角形，，顶点的坐标，底边在轴上，①将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得，点的对应点在轴上；②将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得，点的对应点在轴上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作于点，过点作于点，根据点的坐标求出，的长度，再利用勾股定理求出的长度，根据旋转的性质可得，，由等腰三角形的面积，可以算出的长度，再利用勾股定理求出的长度，进而得到点与的坐标，又根据旋转可知，点与关于直线是对称的，进而求出点的坐标．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
由旋转可知：，，，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
将绕点按顺时针方向得到，
≌，
与关于直线是对称的，
点与关于直线是对称的，
点的横坐标为：，
点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化，旋转，勾股定理，三角形面积，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段 绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵
∴点在射线的延长线上，
∴点在x轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．
3．（2023春·安徽·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为．
观察应用：

(1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为： ．
(2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为： 、 ．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】（1）设，利用题中公式分别计算出和的值即可；
（2）利用中心对称的性质画图可得到点、，从而得到它们的坐标．
【详解】（1）设，
点、的对称中心是点，
，，
点坐标为，
故答案为：；
（2）点、的坐标分别为，．

故答案为：，．
【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
【经典例题十 旋转中的最值探究】
【例10】（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答．
【详解】解：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的圆上，
取中点G，连接，当过点G时，有最小值，

又∵按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴此时也取最小值，
∵，为的半径，即，
∴此时，
∴，
即的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】由点的运动确定的运动轨迹是与轴垂直的一段线段 ，当线段与垂直时，线段的值最小；
【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图：
两点是直线与坐标轴的交点
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，

，
所在的直线为：
的最小值为点到的距离：
故选：B．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找出点的运动轨迹是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ．
【答案】/
【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案．
【详解】如图，连接，过点A作，截取，连接，
∵将线段绕着点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵，
∴．
∵，且当点G，P，E三点共线时取等号，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
3．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．

问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有．
故．因此，当共线时，有最小值是．
学以致用：
(1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________．
(2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
（2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
【详解】（1）解：如图3中，

将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，，
在中，，
，
，
的最小值为5．
故答案为5．
（2）如图4中，

将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
作交的延长线于．
在中，，，
，
在中，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置．
【重难点训练】
1．（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）如图，将绕点A逆时针旋转至，点B、C的对应点分别为点D、E，下列结论中不一定正确的是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得出，，，再根据三角形内角和定理和等边对等角得出，进而判断各选项即可得出答案．
【详解】根据旋转的性质有：，，，
∴在中，，
∴，
故A、B、D项正确，
C项不一定，故C项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解答本题的关键．
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知，可算出，就可以算出旋转角．
【详解】由旋转的性质可知：是旋转角，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，找到旋转的对应边、对应角是解决问题的关键．
3．（2023春·山西运城·八年级统考期中）如图，将绕点逆时针旋转，点的对应点与点重合，得到，连接AD、AE．若，，，则的长度为（ ）

A．5B．6C．D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质和等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：是由绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是证明．
4．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知中，，，将绕A点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（ ）个

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．
【详解】解：①绕A点逆时针旋转得到，
，故①正确；
②绕点逆时针旋转，

，
，
，
，
，故②正确；
③在中， ，，


与不垂直．故③不正确；
④在中， ，，

，故④正确．
①②④这三个结论正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用，平行线的判定，掌握图形的旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解答本题的关键．
5．（2023秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考开学考试）如图，为等边内一点，且，，，、为边、上的动点，且，则的最小值为（ ）

A．10B．8C．6D．4
【答案】A
【分析】先将绕点顺时针旋转得到，连接、，得到，可证得，然后将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可证得，从而得解．
【详解】解：如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，则，
∴，
，，
是等边三角形，
∴，，
，
，
，

如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则，
∴，
，，
是等边三角形，
∴，
，
，
则的最小值为，
故选A．

【点睛】本题考查了等边三角形性质与判定、全等三角形的性质、旋转的性质，三角形三边的关系，两次利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 ．
【答案】2或3或5
【分析】分三种情况，当分别经过、、的中点时，分别求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
的垂直平分线经过一边中点，可分为以下三种情况：经过的中点D；经过的中点E；经过的中点F．
当经过的中点D时，交于点G，如图：，
∵绕点P顺时针旋转得线段，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
当经过的中点E时，交于点G，如图：，
∵，垂直，
∴，
∴，
在中，，设，则，
由题意可得：，即
∴，
∴，
∵点G在上，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴由勾股定理得：；
当经过的中点F时，交于点F（G），如图：，
同理可证：，
在中，，，
∴．
综上：的长为：2或5或3．
故答案为：2或3或5．
【点睛】此题考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解．
7．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图所示，在中，，，，为内一点，连接、、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将绕点C逆时针旋转得到，连接，，利用旋转的性质证明是等边三角形，推出，可得，当点P，F在直线上时，等号成立，由此可解．
【详解】解：在中，，，，
，
．
如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，
由旋转的性质得，，，，
是等边三角形，
，
，
当点P，F在直线上时，等号成立，取最小值．
，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是通过旋转构造全等三角形．
8．（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）平面直角坐标系中，，，为轴上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，当点在轴上运动，取最小值时，点的坐标为 ．

【答案】
【分析】分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，，

，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，
，
，
，
在和，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当点在原点时，如图所示，
，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，
；
当点在轴负半轴时，如图，作轴于，设，则，，
，
，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，,
，
在和，
，
，
，，
，
点在第四象限，
，
，
，
，
综上所述：当时，取到最小值，为，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题．
9．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，正方形的边长为，点是边上的一动点，连接，将绕点顺时针方旋转后得到，连接，则点在整个运动过程中，线段所扫过的图形面积为 ．

【答案】
【分析】根据题意画出点在上移动的过程，线段所扫过的面积就是的面积，根据正方形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段所扫过的图形面积，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：如图，当点在点时，相应的点落在点，当点移动到点时，相应的点在点，扫过的面积就是的面积，
由题意可知，、都是等边三角形，
，，
四边形是正方形，是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
≌，
，，
，
即是等腰直角三角形，
线段所扫过的图形面积

，
故答案为：．

【点睛】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
10．（2023·河南周口·统考一模）如图1，在中，，，，分别为边和的中点，现将绕点自由旋转，如图2，设直线与相交于点，当时，线段的长为 ．

【答案】或
【分析】由绕点自由旋转可知有以下两种情况：①当点在的右侧时，，先证和全等，进而可证四边形为正方形，然后求出，，进而可得的长；②当点在的右侧时，，同理①证和全等，四边形为正方形，进而得，，据此可求出的长，综上所述即可得出答案．
【详解】解：绕点自由旋转，
有以下两种情况：
①当点在的右侧时，，如图：
由旋转的性质得：，
，
，
，，分别为边和的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为矩形，
又，
矩形为正方形，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
；
②当点在的右侧时，，如图：
同理可证：，四边形为正方形，
，，
在中，，，，
由勾股定理的：，
，
．
综上所述：当时，线段的长为或．
答案为：或．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换，全等三角形的判定、正方形的判定方法，灵活运用勾股定理进行计算，难点是根据题意进行分类讨论并画出示意图，漏解是易错点之一．
11．（2023春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．

(1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点坐标．
(2)画出关于原点成中心对称的，并写出点坐标．
(3)若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为______．
【答案】(1)图见解析，坐标为
(2)图见解析，坐标为
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质，画出，根据坐标系写出点的坐标，即可求解；
（2）根据中心对称的性质，画出，根据坐标系写出点的坐标，即可求解；
（3）根据可看作是由绕点顺时针旋转得到的，则，根据的坐标，结合图形即可得到点的坐标．
【详解】（1）
如图：即为所求．坐标为
（2）如图：即为所求．坐标为

（3）解：如图，

∵可看作是由绕点顺时针旋转得到的，
则，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转作图．熟练掌握旋转三要素，通过找点，描点，连线的方法进行作图，是解题的关键．
12．（2023春·江苏泰州·七年级校考周测）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转）

(1)当旋转时，求证：；
(2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若中有两个内角相等，求旋转的度数；
(3)当边与边、有交点时，如图3，连接，设，，，试求．
【答案】(1)见解析
(2)或或
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质得出，求出，根据平分，得出，则，即可求出，根据三角形的外角定理得出，即可求证；
（2）根据题意，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解；
（3）根据三角形的外角定理得出，则，再根据三角形的内角和为，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图：，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；

（2）解：①当时，
由（1）可得：，
∴，
∴旋转了；

②当时，
∵，
∴，
∴旋转了；

③当时，
∵，
∴，
∴旋转了．

综上：旋转的角度为或或；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
整理得：．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定，旋转的性质，三角形的外角定理和三角形的内角和，解题的关键是掌握旋转前后对应边的夹角等于旋转角；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的内角和为．
13．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）阅读材料，解决问题：

(1)如图 ① 等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为5，12，13，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出 ；
(2)请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题，已知如图②，中，，E、F为上的点且，求证：
；
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可得为等边三角形，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，从而求出答案；
（2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转证明，再根据等腰三角形的性质求出，即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由题意知旋转角，
∴为等边三角形，
，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴；
（2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，

由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， ….
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
14．（2023春·福建宁德·八年级校考期中）在中，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、．
(1)如图1，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为________；
(2)将线段绕点顺时针旋转时
①在图2中依题意补全图形，并求的度数；
②若的平分线交于点，交的延长线于点，连结．用等式表示线段、、之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)
(2)①；②，理由见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得到边相等角相等，再利用角的和差运算即可得到的度数；
（2）①根据旋转的性质得到边相等角相等，再利用角的和差运算即可得到的度数；②利用垂直平分线的性质及直角三角形的性质得到相等的边相等的角，进而得到全等三角形，最后利用全等三角形的性质得到线段的数量关系．
【详解】（1）解：∵在中，，将线段绕点C旋转，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①依题意补全图形如图，
由旋转得：，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
②，理由如下：
过点作，交的延长线于点，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
由①知，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，垂直平分线的性质等相关知识点，掌握旋转的性质是解题的关键．
15．（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系

(1)思路梳理：
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________．
(2)类比引申：
如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长．
【答案】(1)，
(2)，证明见解析
(3)，
【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明，得，可得结论；
（2）作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，所以；
（3）同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，证明，求出，，继而得到，过A作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质求出，可得，利用勾股定理可得．
【详解】（1）解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即，
由旋转得：，，，，
，
即点、、共线，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）如图2，，理由是：
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上，

由旋转得：，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，，

由旋转得：，，，
，，
，
，
，
，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
过A作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题．