2025版高考数学全程一轮复习学案第六章数列第二节等差数列

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第六章数列第二节等差数列，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________都等于________，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．数学表达式为______________．
(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝________．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝____________．
(2)前n项和公式：Sn＝________＝________．
3．等差数列的性质
(1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝an-amn-m(n≠m)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________________．
(3)等差数列an的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列．
(4)S2n－1＝(2n－1)an.
(5)n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝__________a中，S偶＝______a中，S奇－S偶＝______．
(6)n为偶数时，S偶－S奇＝nd2.
(7)Snn为等差数列．
【常用结论】
1．已知数列an的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列an中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
3．等差数列an的单调性：当d>0时，an是递增数列；当d<0时，an是递减数列；当d＝0时，an是常数列．
4．数列an是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，这里公差d＝2A.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )
2．(教材改编)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8＝( )
A．15 B．16 C．19 D．20
3．(教材改编)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为________．
4．(易错)一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A．d>875 B．d<325
C．8755．(易错)已知在等差数列an中，a3＝a9，公差d<0，则使数列an的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
第二节 等差数列
必备知识
1．(1)差 同一个常数 an－an－1＝d(n≥2，d为常数) (2)a+b2
2．(1)a1＋(n－1)d (2)na1+an2 na1＋nn-12d
3．(2)ak＋al＝am＋an (5)n+12 n-12 a中
夯实基础
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：设等差数列的公差为d，所以S5=5a1+10d=5，a6=a1+5d=10，解得d=3，a1=-5，∴a8＝－5＋3×7＝16.故选B.
答案：B
3．解析：设五个人所分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，
∴a＝20.
又由题意知17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
即24d＝11a，
∴d＝1124×20＝556.
∴最小的一份为a－2d＝20－556×2＝53.
答案：53
4．解析：由题意可得a10>1，a9≤1，即125+9d>1，125+8d≤1，
所以875答案：D
5．解析：∵d<0，a3＝a9，∴a3＝－a9，
∴a1＋2d＝－a1－8d，
∴a1＋5d＝0，∴a6＝0，
∴an>0(1≤n≤5)，
∴Sn取得最大值时的正整数n是5或6.
答案：5或6