高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案

这是一份高三数学一轮复习第六章数列第二课时等差数列学案，共14页。

考点一 等差数列基本量的运算
1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
2．前n项和公式：Sn＝na1＋nn-12d或Sn＝na1+an2．
[典例1] (1)(多选)(2024·淄博模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是( )
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
(2)(2024·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于( )
A．13 B．14
C．15 D．16
(1)ABC (2)C [(1)S4＝4×a1+a42＝0，
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
联立①②得d=2，a1=-3，
∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
Sn＝－3n＋nn-12×2＝n2－4n，C正确．
(2)∵S4=24，S9=99，∴4a1+6d=24，9a1+36d=99，解得a1=3，d=2．
则a7＝a1＋6d＝15．]
等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”，解题的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d．
跟进训练1 (1)(多选)(2024·广州调研)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a6＝24，S6＝48，则下列正确的是( )
A．a1＝－2 B．a1＝2
C．d＝4 D．d＝－4
(2)(2024·信阳一中月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
(1)AC (2)25 [(1)设等差数列{an}的公差为d．
因为a3+a6=2a1+7d=24，S6=6a1+15d=48，
所以a1=-2，d=4．
(2)设等差数列{an}的公差为d，
则a2＋a6＝2a1＋6d＝2．
因为a1＝－2，所以d＝1．
所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25．]
考点二 等差数列的判定与证明
1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b．
[典例2] (2024·台州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an-1an．
(1)求证：数列1an-1是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：由1an+1-1＝12an-1an-1＝anan-1＝1an-1＋1，
得1an+1-1－1an-1＝1，
又a1＝2，∴1a1-1＝1，
∴数列1an-1是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知，1an-1＝n，∴an＝n+1n，
∴数列{an}的通项公式为an＝n+1n．
等差数列的证明方法一般用定义法，即证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；而判断一个数列是等差数列时可以用定义法、等差中项法、通项公式法及前n项和公式法等．
跟进训练2 (2024·宁波中学月考)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．
(1)求a2，a3；
(2)证明数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．
[解] (1)由题意可得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6．
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，
所以a3＝15．
(2)由已知得nan+1-n+1annn+1＝2，即an+1n+1－ann＝2，
所以数列ann是首项为a11＝1，公差为2的等差数列，
则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n2－n．
考点三 等差数列性质的应用
1．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
2．若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
3．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
4．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列．
5．S2n－1＝(2n－1)an．
6．等差数列{an}的前n项和为Sn，Snn为等差数列．
等差数列项的性质
[典例3] (2024·衡阳调研)已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a1＋a6等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
B [因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a1＋a6＝a3＋a4＝3＋4＝7．]
等差数列前n项和的性质
[典例4] (1)(2024·济钢中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于( )
A．110 B．150
C．210 D．280
(2)(2024·广东仲元中学月考)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn＝3n+2n+1，则a5b5等于( )
A．295 B．2910
C．285 D．145
(1)D (2)B [(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
所以S30＝150．
又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
所以S40＝280．
(2)根据等差数列的性质和前n项和公式，有a5b5＝2a52b5＝9a1+a929b1+b92＝S9T9＝3×9+29+1＝2910．故选B．]
利用等差数列的性质解题的三个关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)在Sn＝na1+an2中，Sn与a1＋an可相互转化．
(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．
跟进训练3 (1)(2024年1月九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝( )
A．120 B．140
C．160 D．180
(2)(2024·武汉调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，S2 0202 020－S2 0142 014＝6，则S2 024＝________．
(1)C (2)10 120 [(1)因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，
所以S16＝a1+a16×162＝8a5+a12＝160．
故选C．
(2)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列，
设其公差为d，则S2 0202 020－S2 0142 014＝6d＝6，所以d＝1，
所以S2 0242 024＝S11＋2 023d＝－2 018＋2 023＝5，
所以S2 024＝10 120．]
考点四 等差数列的前n项和及其最值
1．通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d．若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．
2．前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋nn-12d＝d2n2＋a1-d2n是关于n的二次函数且常数项为0．
[典例5] (2024·凉山州模拟)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[解] 法一(函数法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，
所以d＝－53．
Sn＝20n＋nn-12·-53＝－56n2＋1256n
＝－56n-2522＋3 12524．
因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130．
法二(邻项变号法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，
所以d＝－53．
an＝20＋(n－1)×-53＝－53n＋653．
因为a1＝20>0，d＝－53<0，
所以数列{an}是递减数列．
由an＝－53n＋653≤0，得n≥13，即a13＝0．
当n≤12时，an＞0；当n≥14时，an＜0．
所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋12×112×-53＝130．
法三(图象法)：
因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，
所以d＝－53．
又10+152＝12.5，所以n＝12或13时，Sn取得最大值．
所以S12＝S13＝12×20＋12×112×-53＝130，
所以最大值为S12＝S13＝130．
法四(性质法)：
由S10＝S15得S15－ S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
所以5a13＝0，即a13＝0．
又d＝a13-a113-1＝－53，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋12×112×-53＝130．
求等差数列前n项和最值的主要方法
(1)利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项；
(2)利用等差数列的前n项和为二次函数，根据二次函数的性质求最值．
跟进训练4 (1)(2024·临沂一中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
(2)(2024·河南郑州联考)已知等差数列16，14，12，…的前n项和为Sn，且Sn>0，则n的最大值为________．
(1)C (2)16 [(1)法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0．
根据首项等于13可推出这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．
法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n．根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．
(2)等差数列的首项为a1＝16，公差d＝－2，
Sn＝16n＋nn-12×(－2)＝－n2＋17n，
由Sn>0，即－n2＋17n>0，
解得0∴n的最大值为16．]
课后习题(三十二) 等差数列
1．(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于( )
A．14 B．12 C．2 D．－12
A [∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，
又a10＝6，∴公差d＝a10-a610-6＝6-54＝14．故选A．]
2．(人教A版选择性必修第二册P21例6改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A．31 B．32
C．33 D．34
B [设等差数列{an}的公差为d，
法一：由S5＝5a3＝30，得a3＝6，又a6＝2，
∴S8＝8a1+a82＝8a3+a62＝8×6+22＝32．
法二：由a1+5d=2，5a1+5×42d=30，得a1=263 ，d=-43．
∴S8＝8a1＋8×72d＝8×263－28×43＝32．]
3．(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )
A．35 B．42
C．49 D．63
B [法一：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7，14，S15－21成等差数列，
∴S15－21＋7＝28，
∴S15＝42，故选B．
法二：∵{an}为等差数列，∴Snn也为等差数列，
∴2S1010＝S55＋S1515，
∴S15＝42，故选B．]
4．(湘教版选择性必修第一册P19例7改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
820 [设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20a1+a202＝20×22+602＝820．]
5．(2024·莆田模拟)已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a9－a11的值为( )
A．－3 B．3
C．－12 D．12
B [由等差中项的性质可得，a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，
∵a7＋a11＝2a9，∴2a9－a11＝a7＝3．]
6．(2024·山东实验中学月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4a2＝53，则S4S2的值为( )
A．45 B．103
C．145 D．53
C [设等差数列{an}的公差为d，则由a4a2＝a1+3da1+d＝53，
得a1＝2d，则S4S2＝4a1+6d2a1+d＝145，故选C．]
7．(2024·铁岭模拟)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )
A．13 B．12
C．11 D．10
A [因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，
又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，
所以Sn＝na1+an2＝n·602＝390，即n＝13．]
8．(多选)(2024·南京模拟)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的是( )
A．a7 B．a8
C．S15 D．S16
BC [由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值， S15＝15a1+a152＝15a8为定值，但S16＝16a1+a162＝8a8+a9不是定值．]
9．(2024·咸阳调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．13
B [根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B．]
10．(2024·临沂质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________．
0 [设等差数列{an}的公差为d，
∵a2=-3，S5=-10，即a1+d=-3，5a1+10d=-10，
∴a1=-4，d=1，∴a5＝a1＋4d＝0．]
11．(2024·广东中山期末)在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+2，则数列{an}的通项公式为an＝________．
2n2 [由an+1＝an+2得an+1-an＝2，
而a1＝2，于是得数列an是以2为首项，2为公差的等差数列，则有an＝a1＋(n－1)d＝2+2(n－1)＝2n，
所以数列an的通项公式为an＝2n2．]
12．(2024·连云港模拟)在①a5＝6，a1＋S3＝50；
②S12>S9，a2＋a21<0；③S9>0，S10<0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题．
问题：设等差数列an的前n项和为Sn，若________，判断Sn是否存在最大值，若存在，求出Sn取最大值时n的值；若不存在，说明理由．
[解] 选①：设数列an的公差为d，由a5＝6，a1＋S3＝50，得
a1+4d=6，4a1+3d=50，解得a1＝14，d＝－2，
即an＝14－2n-1＝16－2n，
法一：当an≥0时，有16－2n≥0，得n≤8，
∴当n≤7时，an>0；n＝8时，an＝0；n≥9时，an<0，
∴n＝7或n＝8时，Sn取最大值．
法二：Sn＝－n2＋15n，其图象的对称轴n＝7.5，
∴n＝7或n＝8时，Sn取最大值．
选②：由S12－S9>0，得a12＋a11＋a10>0，
由等差中项的性质有3a11>0，即a11>0，
由a2＋a21<0，得a2＋a21＝a11＋a12<0，
∴a12<0，故d＝a12－a11<0，
∴当n≤11时，an>0，
n≥12时，an<0，故n＝11时，Sn取最大值．
选③：由S9>0，得S9＝9a1+a92＝9×2a52>0，
可得a5>0，
由S10<0，得S10＝10a1+a102＝10a5+a62<0，可得a5＋a6<0，∴a6<0，故d＝a6－a5<0，
∴当n≤5时，an>0，n≥6时，an<0，故n＝5时，Sn取最大值．