高考数学复习第七章　第二节　等差数列（导学案）

这是一份高考数学复习第七章　第二节　等差数列（导学案），共21页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，一题多变，加练备选，解题提示等内容，欢迎下载使用。
第二节 等差数列
【课程标准】
1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
【必备知识·精归纳】
1.等差数列的有关概念
点睛三个数成等差数列,设为a-d,a,a+d;
四个数成等差数列,设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
2.等差数列的前n项和公式
点睛1.等差数列前n项和公式可变形为
Sn=d2n2+(a1-d2)n.当d≠0时,它是关于n的二次函数,表示为Sn=An2+Bn(A,B为常数);
2.a1>0,d1)
解析：选ABD.对于A选项,由于(a+d)-a=a-(a-d)=d,故是等差数列,正确;
对于B选项,2,4,6,8,…,2(n-1),2n中,
2n-2(n-1)=2,是等差数列,正确;
对于C选项,因为a-d-(a-2d)=d,(a+d)-(a-d)=2d,又d≠0,即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差,故不是等差数列;
对于D选项,由an-1=an-12(n∈N*,n>1)得
an-an-1=12(n∈N*,n>1),满足等差数列定义.
2.(教材变式)等差数列{an}中,a3+a9=6,则{an}的前11项和等于( )
A.-33B.33C.27D.-27
解析：选B.S11=11(a1+a11)2=11(a3+a9)2=112×6=33.
3.(教材变式)由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是( )
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
解析：选C.因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,
所以新数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
4.(求最值忽视an=0的项)已知等差数列{an}的通项公式为an=5n-15,当Sn取得最小值时,n等于 .
解析：令an=5n-15=0,得n=3,即a3=0,又当1≤n0,a80,当n≥14时,an0,
所以{an}为单调递减数列,
所以当n=12或n=13时,Sn有最大值.
【加练备选】
1.已知等差数列{an}中,a1=7,设其前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则公差d的取值范围是( )
A.(-1,+∞) B.(-1,- 78)
C.(- 78,- 79)D.(- 76,-1)
解析：选B.由题意知数列{an}是递减数列,且a8>0,a90,7+8d0,a2 0220,根据等差数列求和公式计算,判断S4 042和S4 043的正负求解.
解析：选D.因为{an}为等差数列,a1>0,
a2 021·a2 0220,
所以a2 021>0,a2 0220,
则S4 042=4 042(a1+a4 042)2=2 021(a2 021+a2 022)>0,S4 043=4 043(a1+a4 043)2=4 043a2 0220成立的最大正整数n是4 042.
【题型四】等差数列在实际生活中的应用
[典例6](1)(2022·南通模拟)《张丘建算经》曾有类似记载:“今有女子善织布,逐日织布同数递增(即每天增加的数量相同)”.若该女子第一天织布两尺,前二十日共织布六十尺,则该女子第二十日织布( )
A.三尺B.四尺C.五尺D.六尺
解析：选B.用an表示该女子第n天织布尺寸,则a1=2,S20=60,由S20=20(a1+a20)2得
10×(2+a20)=60,a20=4.
(2)我国古人将一年分为24个节气,如图所示,相邻两个节气的日晷长变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中夏至到立冬的日晷长的和为 尺.
解析：因为相邻两个节气的日晷长变化量相同,所以每个节气的日晷长构成等差数列,设冬至日晷长13.5尺为a1,则芒种日晷长2.5尺为a12,所以d=a12−a112−1=-1,所以夏至日晷长为1.5尺,记夏至日晷长1.5尺为b1,小暑为b2,大暑为b3,…,立冬为b10,则b1+b2+…+b10=10×1.5+10×(10−1)2×1=60.
答案:60
【方法提炼】
实际问题中,涉及相同的增加(或减少)量问题,可以抽象为等差数列模型求解.
【对点训练】
1.(2023·昆明模拟)《九章算术》是我国一部杰出的数学著作,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,共出百钱.欲令高爵出少,以次渐多,问各几何?”意思是:“有大夫、不更、簪袅、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱,按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列,这5个人各出多少钱?”在这个问题中,若不更出17钱,则公士出的钱数为( )
A.10B.14C.23D.26
解析：选D.设大夫、不更、簪袅、上造、公士所出的钱数依次排成一列,构成数列{an}.由题意可知,等差数列{an}中a2=17,前5项和为100.
设公差为d(d>0),前n项和为Sn,则S5=5a3=100,解得a3=20.
所以d=a3-a2=3,所以公士出的钱数为a5=a3+2d=20+2×3=26.
2.(多选题)(2022·南通模拟)朱世杰是历史上伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.”其大意为:“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天比前一天多派7人,官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则( )
A.将这1 864人派遣完需要16天
B.第十天派往筑堤的人数为134
C.官府前6天共发放1 467升大米
D.官府前6天比后6天少发放1 260升大米
【解题提示】依题意第n天派遣的人数与第n天获得的大米升数均为等差数列,利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解.
解析：选ACD.记数列{an}为第n天派遣的人数,数列{bn}为第n天发放的大米升数,则{an}是以64为首项,7为公差的等差数列,即an=7n+57,{bn}是以192为首项,21为公差的等差数列,即bn=21n+171,所以a10=7×10+57=127,B不正确;
设第k天派遣完这1 864人,则64k+7k(k−1)2=1 864,解得k=16(负值舍去),A正确;
官府前6天共发放大米192×6+6×52×21
=1 467(升),C正确;
官府前6天比后6天少发放大米21×10×6
=1 260(升),D正确.
【备选题型】等差数列中求{|an|}的前n项和问题
[典例]若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
解析：因为a1=13,d=-4,所以an=17-4n,所以a4=1,a5=-3.
当n≤4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an
=na1+n(n−1)2d=13n+n(n−1)2×(-4)
=15n-2n2;
当n≥5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an)
=T4-(Tn-T4)=2T4-Tn
=2×(13+1)×42-(15n-2n2)=2n2-15n+56.所以Tn=15n−2n2,n≤4,2n2−15n+56,n≥5.
【方法提炼】
已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的方法
先根据通项公式判断{an}的各项的正负,然后去掉绝对值号,转化为等差数列的求和问题.要注意转化的等价性.
【对点训练】
1.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2,则下列说法正确的是( )
A.an=34-2n
B.S16为Sn的最小值
C.|a1|+|a2|+…+|a16|=272
D.|a1|+|a2|+…+|a30|=450
解析：选AC.数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2.
当n=1时,a1=32,当n≥2时,an=Sn-Sn−1=33n-n2-33(n-1)+(n-1)2=-2n+34,
当n=1时也成立,所以an=34-2n,故A正确;
由于Sn=33n-n2=-(n-332)2+3324,当n=16或17时,Sn取得最大值,故B错误;
由于an=-2n+34≥0,解得n≤17,
所以|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16=16×(32+2)2=272,故C正确;
所以|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16-(a17+a18+…+a30)=272-14×(0−26)2=454,故D错误.
2.在等差数列{an}中,a1>0,a10·a110,a10·a11