2025年高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-讲义【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-讲义【含答案】，共9页。

1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是__________．
当______时，a与b垂直，记作a⊥b；
当______时，a与b共线且同向；
当______时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
规定：0·a＝__．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b____，A1B1叫做向量a在向量b上的________，记为____________________．
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cs θbb＝a·bbb2.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝__________________．
(2)模：|a|＝a·a＝__．
(3)夹角：cs θ＝a·bab＝__．
(4)a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔______________________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔x1x2+y1y2≤x12+y12·x22+y22.
6．平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[常用结论]
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的取值范围是0，π2．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数．( )
(3)若a·b＝a·c，则b＝c．( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A．6365 B．65 C．135 D．13
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________.
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则AB·AC＝________．
考点一 平面向量数量积的运算
[典例1] (1)(2024·吉林四平模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为π6，则(a＋b)·(2a－b)＝( )
A．6 B．8 C．10 D．14
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________，DE·DC的最大值为________．
[四字解题]
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
[跟进训练]
1．(1)已知△ABC是边长为1的正三角形，BD＝2DC，AB+AC＝2AE，则AE·AD＝( )
A．34 B．32 C．38 D．1
(2)(2024·山东济南模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，则a·b＝________，a在b上的投影向量是________．
考点二 平面向量数量积的应用
求向量的模
[典例2] (2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
[听课记录]



向量的夹角问题
[典例3] (1)若e1，e2是夹角为π3的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为( )
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
向量的垂直问题
[典例4] (2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
[听课记录]



1．求平面向量模的方法
(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝x2+y2.
(2)利用|a|＝a2.
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cs θ＝a·bab，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22.
(3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中．
[跟进训练]
2．(多选)(2024·烟台模拟)已知点A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，则下列说法正确的是( )
A．|AB|＝5
B．若AB⊥BC，则m＝－2
C．若AB∥BC，则m＝－12
D．若BA，BC的夹角为锐角，则m