第29讲-平面向量的数量积及其应用（讲义版）学案

这是一份第29讲-平面向量的数量积及其应用（讲义版）学案，共14页。

第29讲-平面向量的数量积及其应用
一、 考情分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
二、 知识梳理
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.

3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝.
③夹角：cos θ＝＝.
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
4.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
[微点提醒]
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
三、 经典例题
考点一　平面向量数量积的运算
【例1-1】（2020·汉中市龙岗学校高三其他（理））在锐角中，，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：以B为原点，所在直线为x轴建立坐标系，
∵，
∴，
设
∵是锐角三角形，
∴，∴，
即A在如图的线段上（不与重合），
∴，
则，
∴的范围为．
故选：A．

【例1-2】（2020·吉林省高三其他（文））设非零向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，.
，
.
【例1-3】（2020·福建省高三其他（文））点在以为焦点的抛物线上，，以为圆心，为半径的圆交轴于两点，则（ ）
A．9 B．12 C．18 D．32
【答案】C
【解析】设，
因为抛物线的焦点为，，
所以，即，因此，解得：，不妨取，
则，
因此以为圆心，为半径的圆的方程为：，
令，解得：或，即圆与轴的两交点为，，
不妨取，，
则，，
因此.
【例1-4】（2020·福建省高三其他（文））已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将两边平方得，所以，
又，所以，
设与的夹角为，则，
又，所以,故选：D.
【例1-5】（2020·湖北省高三其他（理））如图所示，、是圆上的两点，若，则弦长为______.

【答案】2
【解析】过作于，则，

，，所以,
故答案为：2

规律方法　1.数量积公式a·b＝|a||b|cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了.
2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.

考点二　平面向量数量积的应用　
角度1　平面向量的垂直
【例2－1】（1）设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
（2）已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A. B. C.6 D.
【解析】　(1)a＝(1，0)，b＝(－1，m)，∴a2＝1，a·b＝－1，
由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，即ma2－a·b＝0.
∴m－(－1)＝0，∴m＝－1.
(2)因为＝λ＋，且⊥，
所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝.
规律方法　1.当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.
2.数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
角度2　平面向量的模
【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________.
(2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________.
【解析】(1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，
所以α·β＝，
所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，
所以|2α＋β|＝.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，

设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b).
所以＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)，
所以|＋3|＝(0≤y≤b)，
所以当y＝b时，|＋3|取得最小值5.
规律方法　1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
角度3　平面向量的夹角
【例2－3】 (1)知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为________.
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
【解析】　(1)将|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0.
将|a＋b|＝|a|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2，
∴b2＝a2.
设a＋b与a－b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.
又若(2a－3b)∥c，
则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
此时2a－3b与c反向，不合题意.
综上，k的取值范围为∪.
规律方法　1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝求解.
2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
考点三　平面向量与三角函数
【例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影.
【解析】　(1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.因为0 所以sin A＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，
则sin B＝＝＝，
因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1，c＝－7舍去，
故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝.
规律方法　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

[方法技巧]
1.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
2.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
4.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a·b)·c不一定等于a·(b·c).

四、 课时作业
1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（文））已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东省高三二模）已知正方形的边长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
3．（2020·宁夏回族自治区高三二模（文））已知向量满足,且与的夹角为,则( )
A． B． C． D．
4．（2020·黑龙江省铁人中学高三二模（文））已知单位向量、满足，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
5．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考（文））已知向量，，若，，三点共线，则（ ）
A．10 B．80 C．－10 D．－80
6．（2020·山西省山西大附中高三月考）已知，且与垂直，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·山西省太原五中高三月考（理））在中，，，，则( )
A． B． C． D．
8．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））已知平面向量，，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·辽宁省沈阳二中高三其他（文））已知向量,，则下列关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2020·重庆八中高三其他（理））已知向量，，且，则（ ）
A． B． C．13 D．17
11．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））已知向量则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020·巩义市教育科研培训中心高三其他（文））如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（ ）

A．4 B． C． D．
13．（2020·重庆一中高三月考（理））抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点P在抛物线上，向量与的夹角为，过P作抛物线准线的垂线，垂足为H，线段和抛物线交于点Q，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
14．（2020·湖北省高三月考（理））已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·河南省高三其他（理））已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2020·新疆维吾尔自治区高三三模（文））在中，，点满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
17．（2020·四川省高三三模（文））已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
18．（2020·六盘山高级中学高三期末（理））已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
19．（2020·四川省高三月考（理））设点是线段的中点，点在直线外，若，，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2020·黑龙江省大庆四中高一月考（文））在中,,,则面积为 （ ）
A． B． C． D．
21．（2020·福建省高三其他（文））在中，，，若，动点，满足且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知向量，且与夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三期末（文））设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2020·辽宁省高一期中）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
25．（2020·上海高三专题练习）设为的内心，且满足，则的形状为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
26．（2020·四川省高三三模（理））设平面上向量,，若，则角α的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
27．（2020·江西省南昌十中高三其他（文））已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
28．（2020·河南省郑州一中高三其他（理））下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则•（ ）

A．32 B．28 C．26 D．24
29．（多选题）已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．，的夹角是 B．，的夹角是或
C．或 D．或
30．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
31．（2020·梁河县第一中学高一开学考试）设是两个相互垂直的单位向量，且
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的值．
32．（2020·双峰县第一中学高一月考）设两个向量，，满足，.
(1)若，求、的夹角；
(2)若、夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
33．（2020·全国高三月考）已知平面向量，满足：||＝2，||＝1．
（1）若（2）•（）＝1，求▪的值；
（2）设向量，的夹角为θ．若存在t∈R，使得，求cosθ的取值范围．
34．（2020·全国高三月考（文））设向量，，.
（1）求；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积；
（3）求的模的最小值.
35．（2020·海南省高三二模）在平面直角坐标系中，点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求的面积.