2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【含解析】，共12页。
A. −30 B. 30 C. −100 D. 100
2. 已知向量a ，b 满足a=5,25 ，a⋅b=6 ，a−b=7 ，则b= ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 已知正方形ABCD 的边长为3，DE=2EC ，则AE⋅BD= ( )
A. 3 B. −3 C. 6 D. −6
4. 已知单位向量a ，b 满足a⋅b=0 ，若向量c=7a+2b ，则sin⟨a,c⟩ ＝( )
A. 73 B. 23 C. 79 D. 29
5. 已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO=AB+AC ，OA=AB ，则向量BA 在向量BC 上的投影向量为( )
A. 14BC B. 34BC C. −14BC D. −34BC
6. [湖南临澧高三模拟]（多选）已知向量a=1,3 ，b=2,−4 ，则下列结论正确的是( )
A. a+b⊥a B. 2a+b=10
C. 向量a 与向量b 的夹角为3π4 D. b 在a 上的投影向量的坐标是1,3
7. [广东东莞模拟]（多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F1 ，F2 ，若F1=F2 且F1 与F2 的夹角为θ ，则以下结论正确的是( )
A. F1 的最小值为12G B. θ 的范围为[0,π]
C. 当θ=π2 时，F1=22G D. 当θ=2π3 时，F1=G
8. [山东招远模拟]（多选）在Rt△ABC 中，∠A=90∘ ，AB=2 ，AC=4 ，点P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB+PC⋅AP 的值可能为( )
A. 258 B. 8 C. 52 D. 2
9. [上海高三开学考试]已知点A−2,3 ，B1,−1 ，则AB 的单位向量为 .（用坐标表示）
10. [高考全国卷甲]设向量a ，b 的夹角的余弦值为13 ，且a=1 ，b=3 ，则2a+b⋅b= .
11. 已知向量b=1,3 ，向量a 满足acs⟨a,b⟩=−6 ，则a⋅b= ；若λa+b⊥b ,则实数λ 的值为 .
12. 在△ABC 中，点O 为其外心，2OA+2OB+OC=0 ，若BC=2 ，则OA= .
[B级 综合运用]
13. 若O 在△ABC 所在的平面内，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足以下条件a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0 ，则O 是△ABC 的( )
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
14. [北京西城区模拟]已知△ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为 ，若BD=1 ,CE=EA ，则AD⋅BE 的最小值为 .
15. [湖南高三模拟]已知平面向量a ,b ，c 均为单位向量,且a−b=1 ，则a−b⋅b−c 的最大值为 .
16. 已知平面上两个不共线的向量a ,b ，其中a=1,2 ,b=2 .
（1） 若a+2b⊥2a−b ，求向量a 与向量b 夹角的余弦值；
（2） 若向量a 在向量b 上的投影向量为−12b ，求向量b 的坐标.
[C级 素养提升]
17. [山西忻州模拟]圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB 是圆O 的一条直径，且AB=4 ,C ,D 是圆O 上的任意两点，CD=2 ，点P 在线段CD 上，则PA⋅PB 的取值范围是( )
A. [3,2] B. [−1,0] C. [3,4] D. [1,2]
18. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m=sinA,sinB ,n=csB,csA ,m⋅n=sin2C .
（1） 求角C 的大小；
（2） 若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且CA⋅AB−AC=18 ，求c .
2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知向量a=−2,6 ，b=1,x ，若a 与b 反向，则a⋅3a+b= ( D )
A. −30 B. 30 C. −100 D. 100
[解析]选D.由已知得a 与b 共线，则−2x=1×6 ,解得x=−3 ,所以b=1,−3 ，所以3a+b=3−2,6+1,−3=−5,15 ,因此a⋅3a+b=−2,6⋅−5,15=100 .故选D.
2. 已知向量a ，b 满足a=5,25 ，a⋅b=6 ，a−b=7 ，则b= ( B )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
[解析]选B.由题知，a=5+20=5 .又a⋅b=6 ，a−b=7 ，所以a−b2=a2−2a⋅b+b2=49 ，即25−2×6+b2=49 ，所以b=6 .故选B.
3. 已知正方形ABCD 的边长为3，DE=2EC ，则AE⋅BD= ( A )
A. 3 B. −3 C. 6 D. −6
[解析]选A.因为正方形ABCD 的边长为3，DE=2EC ，则AE⋅BD=AD+DE⋅AD−AB=AD+23AB⋅AD−AB=AD2−13AD⋅AB−23AB2=32−23×32=3 .故选A.
4. 已知单位向量a ，b 满足a⋅b=0 ，若向量c=7a+2b ，则sin⟨a,c⟩ ＝( B )
A. 73 B. 23 C. 79 D. 29
[解析]选B.因为a=b=1 ，
且a⋅b=0 ，c=7a+2b ，
所以c=7a+2b2=7a2+214a⋅b+2b2=3 ，
a⋅c=a⋅7a+2b=7a2+2a⋅b=7 ，
所以cs⟨a,c⟩=a⋅cac=73 .
因为⟨a,c⟩∈[0,π] ，
所以sin⟨a,c⟩=1−732=23 .故选B.
5. 已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO=AB+AC ，OA=AB ，则向量BA 在向量BC 上的投影向量为( A )
A. 14BC B. 34BC C. −14BC D. −34BC
[解析]选A.由2AO=AB+AC 知，O 为BC 的中点，根据题意作图.
因为O 为△ABC 的外接圆圆心，
所以OA=OB=OC .
因为OA=AB ，
所以AB=OB=OA=OC ，
所以△AOB 为正三角形，∠ABO=60∘ ,
所以BA 在BC 上的投影向量为12BO=14BC .故选A.
6. [湖南临澧高三模拟]（多选）已知向量a=1,3 ，b=2,−4 ，则下列结论正确的是( AC )
A. a+b⊥a B. 2a+b=10
C. 向量a 与向量b 的夹角为3π4 D. b 在a 上的投影向量的坐标是1,3
[解析]选AC.对于A，a+b=3,−1 ，则a+b⋅a=3−3=0 ，故a+b⊥a ，A对；
对于B，2a+b=4,2 ，故2a+b=42+22=25 ，B错；
对于C，设向量a 与b 的夹角为θ ，则csθ=a⋅bab=−1010×25=−22 ，因为0≤θ≤π ，故θ=3π4 ，C对；
对于D，b 在a 上的投影向量为bcs3π4⋅aa=−a=−1,−3 ，D错.故选AC .
7. [广东东莞模拟]（多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F1 ，F2 ，若F1=F2 且F1 与F2 的夹角为θ ，则以下结论正确的是( ACD )
A. F1 的最小值为12G B. θ 的范围为[0,π]
C. 当θ=π2 时，F1=22G D. 当θ=2π3 时，F1=G
[解析]选ACD.由题意知，F1+F2+G=0 ，可得F1+F2=−G ，两边同时平方得G2=F12+F22+2F1⋅F2csθ=2F12+2F12csθ ,所以F12=G221+csθ .当θ=0 时，F1min=12G ；当θ=π2 时，F1=22G ；当θ=2π3 时，F1=G ；当θ=π 时，竖直方向没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0,π) ，故A，C ，D 正确.
8. [山东招远模拟]（多选）在Rt△ABC 中，∠A=90∘ ，AB=2 ，AC=4 ，点P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB+PC⋅AP 的值可能为( CD )
A. 258 B. 8 C. 52 D. 2
[解析]选CD.以A 为坐标原点，以AB ，AC 的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则B2,0 ，C0,4 ，D1,2 ,设Px,2x ，x∈[0,1] ，
所以PB=2−x,−2x ，PC=−x,4−2x ，AP=x,2x ,
则PB+PC=2−2x,4−4x ，
所以PB+PC⋅AP=−10x2+10x
=−10x−122+52 ，
所以当x=12 时，数量积取得最大值52 ，当x=1 或x=0 时，数量积取得最小值0 .
即PB+PC⋅AP∈[0,52] .故选CD.
9. [上海高三开学考试]已知点A−2,3 ，B1,−1 ，则AB 的单位向量为35,−45 .（用坐标表示）
[解析]由题知，AB=3,−4 ，
AB=32+−42=5 ,
则AB 的单位向量为ABAB=153,−4=35,−45 .
10. [高考全国卷甲]设向量a ，b 的夹角的余弦值为13 ，且a=1 ，b=3 ，则2a+b⋅b= 11.
[解析]设a 与b 的夹角为θ ，则csθ=13 .
又a=1 ，b=3 ，所以a⋅b=abcsθ=1 ，
所以2a+b⋅b=2a⋅b+b2=2a⋅b+b2=2×1+32=11 .
11. 已知向量b=1,3 ，向量a 满足acs⟨a,b⟩=−6 ，则a⋅b= −12 ；若λa+b⊥b ,则实数λ 的值为13 .
[解析]设a ,b 的夹角为θ ，因为b=1,3 ，所以b=1+3=2 .因为acsθ=−6 ，所以a⋅b=a⋅bcsθ=−12 .因为λa+b⊥b ，所以λa+b⋅b=0 ，所以λa⋅b+b2=0 ,所以−12λ+4=0 ，解得λ=13 .
12. 在△ABC 中，点O 为其外心，2OA+2OB+OC=0 ，若BC=2 ，则OA= 2147 .
[解析]设△ABC 外接圆的半径是R ，
由2OA+2OB+OC=0 得2OA=−2OB−OC ，
则有2⋅OA2=4OB2+OC2+4OB⋅OC ，
即2R2=4R2+R2+4R2cs∠BOC ，
化简得cs∠BOC=−34 .
设∠BOC=2θ ，则在等腰三角形BOC 中，sinθ=144 .所以OA=BC2sinθ=2147 .
[B级 综合运用]
13. 若O 在△ABC 所在的平面内，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足以下条件a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0 ，则O 是△ABC 的( C )
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
[解析]选C.因为OB=OA+AB ,OC=OA+AC 且a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0 ，
所以a+b+c⋅OA+b⋅AB+c⋅AC=0 ，化简得AO=bca+b+cABAB+ACAC ，
设AP=ABAB+ACAC ，又ABAB 与ACAC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，所以AP 平分∠BAC .又AO ，AP 共线，故AO 平分∠BAC ，同理可得BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，故O 是△ABC 的内心.故选C.
14. [北京西城区模拟]已知△ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120∘ ，若BD=1 ,CE=EA ，则AD⋅BE 的最小值为−3−3 .
[解析]由题意知，如图，B=60∘ ，
所以⟨AB,BC⟩=120∘ .
因为BD=1 ，所以点D 在以点B 为圆心，1为半径的圆上.
因为CE=EA ，所以点E 为AC 的中点，
则BE=12BA+12BC .
又AD=AB+BD ，
所以AD⋅BE=AB+BD⋅12BA+12BC
=−12AB2+12AB⋅BC+12BD⋅BA+12BD⋅BC
=−12×4+12×2×2×cs120∘+12BD⋅BA+BC
=−3+BD⋅BE=−3+BDBEcs⟨BD ,BE⟩
=−3+3cs⟨BD,BE⟩ .
又⟨BD,BE⟩∈[0,180∘] ，
所以cs⟨BD,BE⟩min=−1 ，
所以AD⋅BEmin=−3−3 .
15. [湖南高三模拟]已知平面向量a ,b ，c 均为单位向量,且a−b=1 ，则a−b⋅b−c 的最大值为12 .
[解析]由题得a−b2=a2−2a⋅b+b2=2−2a⋅b=1 ，解得a⋅b=12 ，
所以a−b⋅b−c=a−b⋅b−a−b⋅c=a⋅b−b2−a−b⋅ccs⟨a−b,c⟩
=12−1−cs⟨a−b,c⟩=−12−cs⟨a−b,c⟩ .
因为cs⟨a−b,c⟩∈[−1,1] ,所以a−b⋅b−c∈[−32,12] ，
所以a−b⋅b−c 的最大值为12 .
16. 已知平面上两个不共线的向量a ,b ，其中a=1,2 ,b=2 .
（1） 若a+2b⊥2a−b ，求向量a 与向量b 夹角的余弦值；
[答案]解：因为a=1,2 ，
所以a=12+22=5 .
因为a+2b⊥2a−b ,
所以a+2b⋅2a−b=0 ,
即2a2+3a⋅b−2b2=2×52+3a⋅b−2×22=2+3a⋅b=0 ,
所以a⋅b=−23 ,
则cs⟨a,b⟩=a⋅ba⋅b=−235×2=−515 .
（2） 若向量a 在向量b 上的投影向量为−12b ，求向量b 的坐标.
[答案]由题意得a⋅cs⟨a,b⟩=−1 ，
则cs⟨a,b⟩=−55 .
设b=x,y ,
则a⋅b=x+2y=∣a∣⋅∣b∣⋅cs⟨a,b⟩=−2,∣b∣=x2+y2=2,
解得x=65,y=−85 或x=−2,y=0,
所以b=65,−85 或b=−2,0 .
[C级 素养提升]
17. [山西忻州模拟]圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB 是圆O 的一条直径，且AB=4 ,C ,D 是圆O 上的任意两点，CD=2 ，点P 在线段CD 上，则PA⋅PB 的取值范围是( B )
A. [3,2] B. [−1,0] C. [3,4] D. [1,2]
[解析]选B.如图，O 为圆心，连接OP ，则PA⋅PB=PO+OA⋅PO+OB=PO2+PO⋅OB+PO⋅OA+OA⋅OB=PO2+PO⋅OB+OA−OA2=PO2−OA2=PO2−4 .
因为点P 在线段CD 上，且CD=2 ，
则圆心到CD 所在直线的距离d=22−12=3 ，所以3≤PO≤2 ，
所以3≤PO2≤4 ，则−1≤PO2−4≤0 ，即PA⋅PB 的取值范围是[−1,0] .故选B.
18. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m=sinA,sinB ,n=csB,csA ,m⋅n=sin2C .
（1） 求角C 的大小；
[答案]解：m⋅n=sinAcsB+sinBcsA=sinA+B ,
在△ABC 中，A+B=π−C ，0