人教版高中数学高考一轮复习训练--利用导数研究函数的极值、最值

这是一份人教版高中数学高考一轮复习训练--利用导数研究函数的极值、最值，共6页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

考点规范练16　利用导数研究函数的极值、最值
一、基础巩固
1.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n等于(　　)
A.0 B.2 C.-4 D.-2
2.若x=1是函数f(x)=ax+ln x 的极值点,则(　　)
A.f(x)有极大值-1 B.f(x)有极小值-1
C.f(x)有极大值0 D.f(x)有极小值0
3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为(　　)
A.-1 B.1-e C.-e D.0
4.(多选)已知函数f(x)=x3-2x2+x-1,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的极小值为-1
B.f(x)的极大值为-2327
C.f(x)在区间13,1内单调递减
D.f(x)在区间(-∞,0)内单调递增
5.已知函数f(x)=13x3-4x+a在区间[0,3]上的最大值为2,则a的值为(　　)
A.-103 B.2
C.5 D.223
6.(多选)设f'(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f'(x)+xf(x)=ln x,f(1)=12,则下列结论不正确的是(　　)
A.xf(x)在区间(0,+∞)内单调递增
B.xf(x)在区间(0,+∞)内单调递减
C.xf(x)在区间(0,+∞)内有极大值12
D.xf(x)在区间(0,+∞)内有极小值12
7.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a>0,b∈R)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是(　　)
A.ln a>b-1 B.ln a C.ln a=b-1 D.以上都不对
8.函数f(x)=sin x+e-x在区间3π2,2π上的最大值为(　　)
A.-1+e-3π2 B.-22+e-7π4
C.-12+e-11π6 D.e-2π
9.若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处有极小值,则a=　　　　　. 
10.设a,b∈R,函数f(x)=13x3+ax2+bx在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减.
(1)若a=-2,求b的值;
(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的最小值(用b表示).















二、综合应用
11.若定义在区间(0,+∞)内的函数f(x)满足xf'(x)+f(x)=x2ln x,且f1e=-12e,则f(x)(　　)
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
12.已知函数f(x)=x2ex在区间(k,k+1.5)内存在极值点,则整数k的值为(　　)
A.-3,0 B.-2,1 C.-3,-1 D.-2,0
13.已知函数f(x)=(xex-m)x-2ex(x∈R).若m=0,则f(x)的极大值点为　　　　　;若f(x)有3个极值点,则实数m的取值范围是　　　　　. 
14.已知函数f(x)=ax3-32x2+b(x∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8,求a,b的值;
(2)若a>0,b=2,当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值.












三、探究创新
15.已知函数f(x)=x2-1x+aln x(a∈R).
(1)当a=-3时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围.

考点规范练16　利用导数研究函数的极值、最值
1.B　f'(x)=3x2-6x+1,因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,
所以x1=m,x2=n为3x2-6x+1=0的两根.
由根与系数的关系,可知m+n=-(-6)3=2.
2.A　f'(x)=a+1x(x>0).
∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,
∴f'(1)=0,∴a+11=0,∴a=-1.
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当00,f(x)单调递增.
因此当x=1时,f(x)有极大值-1.
3.A　f'(x)=1x-1=1-xx,令f'(x)>0,得0 4.ABCD　因为f(x)=x3-2x2+x-1,所以f'(x)=3x2-4x+1.
令f'(x)>0,得x>1或x<13;令f'(x)<0,得13 所以f(x)在区间(1,+∞),-∞,13内单调递增,在区间13,1内单调递减,则在x=13处有极大值,为f13=-2327;在x=1处有极小值,为f(1)=-1.
5.B　f'(x)=x2-4.令f'(x)>0,解得x>2或x<-2,
令f'(x)<0,解得-2 故f(x)在区间[0,2)内单调递减,在区间(2,3]内单调递增,故f(x)的最大值是f(0)或f(3),
而f(0)=a>f(3)=a-3,故f(0)=a=2.
6.ABC　由x2f'(x)+xf(x)=ln x,得x>0,
则xf'(x)+f(x)=lnxx,即[xf(x)]'=lnxx.
设g(x)=xf(x),则由g'(x)=lnxx>0,得x>1,
由g'(x)<0,得0 即xf(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(0,1)内单调递减,即当x=1时,函数g(x)=xf(x)取得极小值g(1)=f(1)=12.
7.B　f'(x)=3ax2-b-1x,∵x=1是函数f(x)的极值点,
∴f'(1)=3a-b-1=0,即3a-1=b.
令g(a)=ln a-(b-1)=ln a-3a+2(a>0),
则g'(a)=1a-3=1-3aa,
即g(a)在区间0,13内单调递增,在区间13,+∞内单调递减,
故g(a)max=g13=1-ln 3<0.故ln a 8.D　因为f'(x)=cos x-e-x,且f'(x)在区间3π2,2π上单调递增,
又f'3π2<0,f'(2π)>0,
所以f'(x)在区间3π2,2π内有唯一零点x0.
当x∈3π2,x0时,f'(x)<0,f(x)=sin x+e-x单调递减;
当x∈(x0,2π)时,f'(x)>0,f(x)=sin x+e-x单调递增.
又f3π2=sin3π2+e-3π2=-1+e-3π2<0 所以函数f(x)=sin x+e-x在区间3π2,2π上的最大值为e-2π.
9.2　由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,可知f'(x)=3x2-4ax+a2.依题意可得f'(2)=3×22-4a×2+a2=0,解得a=2或a=6.当a=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12).由f'(x)=3(x2-8x+12)>0,可得x<2或x>6;由f'(x)=3(x2-8x+12)<0,可得2 故f(x)在x=2处取得极大值,不合题意.故a=2.
10.解 (1)∵函数f(x)=13x3+ax2+bx,
∴f'(x)=x2+2ax+b.
∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,
∴f'(1)=1+2a+b=0.
∵a=-2,∴b=3.
(2)由(1)知f'(1)=1+2a+b=0,即2a=-b-1.
则f(x)=13x3-b+12x2+bx.
即f'(x)=x2-(b+1)x+b=(x-b)(x-1).
当b≤1时,f'(x)=(x-b)(x-1)>0在区间(1,+∞)内恒成立,
此时,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,与题意不符.
当b>1时,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,1)
1
(1,b)
b
(b,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

由函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,得b≥2.
当2≤b<4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(b)=-16b3+12b2;
当b≥4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(4)=403-4b.
综上,当2≤b<4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为-16b3+12b2;
当b≥4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为40-12b3.
11.D　因为xf'(x)+f(x)=x2ln x,且f1e=-12e,
所以f'1e=0.①
令g(x)=xf(x),则g'(x)=x2ln x,
又x2f'(x)+xf(x)=x3ln x,记h(x)=x2f'(x)=x3ln x-g(x),
则h'(x)=x2+3x2ln x-g'(x)=(2ln x+1)x2.
当x∈0,1e时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈1e,+∞时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
结合①可知,当x=1e时,h1e=0,所以h(x)的最小值为0,即x2f'(x)≥0,
因为x>0,所以f'(x)≥0,当且仅当x=1e时,取等号,所以f(x)既没有极大值,也没有极小值.
12.C　由f(x)=x2ex,可得f'(x)=2xex+x2ex=ex(x2+2x).
当x∈(-∞,-2)和(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,0)时,f'(x)<0,
则f(x)在区间(-∞,-2)和(0,+∞)内单调递增,在区间(-2,0)内单调递减.
若f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,
则k+1.5≤-2或k≥0或-2≤k 即k∈(-∞,-3.5]∪[-2,-1.5]∪[0,+∞)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,
得k∈(-3.5,-2)∪(-1.5,0)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内存在极值点.
由k是整数,得k=-3或k=-1.
13.-1-3　(0,6e-4)　当m=0时,f(x)=(x2-2)ex,f'(x)=(x2+2x-2)ex.
令f'(x)=0,解得x1=-1-3,x2=-1+3.
即f(x)在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递增,
在区间(x1,x2)内单调递减,
故f(x)的极大值点为-1-3.
f(x)=(x2-2)ex-mx,f'(x)=(x2+2x-2)ex-m,
令f'(x)=0,得m=(x2+2x-2)ex.
构造函数g(x)=(x2+2x-2)ex,
g'(x)=(x2+4x)ex=x(x+4)ex,
即g(x)在区间(-∞,-4),(0,+∞)内单调递增,在区间(-4,0)内单调递减,
则g(x)的极大值为g(-4)=6e-4,极小值为g(0)=-2.
因为当x<-4时,(x2+2x-2)ex>0,
所以由f(x)有3个极值点,可得0 故实数m的取值范围是(0,6e-4).
14.解 (1)f'(x)=3ax2-3x.
由题意得f'(2)=6,f(2)=4,解得a=1,b=2.
(2)f(x)=ax3-32x2+2(a>0).
f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).
令f'(x)=0,解得x=0或x=1a.
分以下两种情况讨论:
①若1a>1,即0 x
(-1,0)
0
(0,1)
f'(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值
单调递减

因为f(-1)=12-a,f(1)=a+12,
所以f(x)min=f(-1)=12-a.
②若0<1a<1,即a>1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-1,0)
0
0,1a
1a
1a,1
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

因为f(-1)=12-a,f1a=2-12a2,
f1a-f(-1)=2-12a2−12-a=32+a-12a2>0,
所以f(x)min=f(-1)=12-a.
综上,f(x)min=f(-1)=12-a.
15.解 (1)当a=-3时,f(x)=x2-1x-3ln x(x>0),
f'(x)=2x+1x2−3x=2x3-3x+1x2
=2x2(x-1)x-3-12x+3+12,
当3-121时,f'(x)>0.
即f(x)的单调递减区间是3-12,1,单调递增区间是0,3-12和(1,+∞).
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,
则需f'(x)=2x+1x2+ax=2x3+ax+1x2(x>0)有两个不相等的正零点.
令g(x)=2x3+ax+1(x>0),故需g(x)有两个不相等的正零点,则g'(x)=6x2+a.
①当a≥0时,g'(x)>0,此时g(x)不可能有两个不相等的正零点,故f(x)不可能有两个极值点.
②当a<0时,g'(x)=6x2+a=6x2--a6=6x+-a6x--a6,
当0 当x>-a6时,g'(x)>0.
故g(x)在区间0,-a6内单调递减,在区间-a6,+∞内单调递增.
则需g(x)min=g-a6=2a3-a6+1<0,解得a<-3342.
由于a3<-272<-6,a3<-272<-154,
-1a<-a6<-3a,
而g-1a=-2a3>0,g(-3a)=-54a3-3a2+1=-3a2(18a+1)+1>0,
故g(x)在区间0,-a6内和-a6,+∞内各有一个零点,
则g(x)有两个不相等的正零点,即f(x)有两个极值点.
综上,a的取值范围是-∞,-3342.