2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练【含解析】

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1．已知数列的前n项和为，且.
（1）求，；
（2）证明：数列是等比数列.
答案：（1）；
（2）数列是首项和公比均为的等比数列
解析：（1）当时，，所以.
当时，，所以.
（2）由，得，所以，所以.
又，所以数列是首项和公比均为的等比数列.
2．设是数列的前n项和且，所有项，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：当时，，解得或(舍去).
当时，，
所以，
因为，所以.
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）知.
3．在数列中,,,.
（1）设,求证：数列是等比数列;
（2）求数列的前n项和.
答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：
又
数列是首项为、公比为的等比数列;
（2）由（1）可知,即,
.
4．在数列中,,点在直线上.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）依题意,,即,因此数列是公差为3的等差数列,则,
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得,
则,
于是,
两式相减得,
所以.
5．已知公差不为0的等差数列的前n项和为,且,,,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前n项和为,若不等式对任意的都成立,求实数k的取值范围.
答案：（1）
（2）.
解析：（1）设等差数列公差为d,
由题意,,解得,
所以;
（2）由（1）,
所以,
易知是递增的且,不等式对任意的都成立,则,所以.
6．已知数列的前n项和满足,.
（1）求数列的通项公式;
（2）记数列的前n项和为,若对任意的,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
答案：（1）
（2）或
解析：（1）
当时,,即
当时,由,
故,得.
易见不符合该式,故
（2）由,易知递增;
当时,.
从而.
又由,故,解得或
即实数a的取值范围为或
7．记为数列的前n项和,已知,是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式;
（2）设,求的前2n项和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）由是公差为的等差数列,且,则,
即,当时,,两式相减可得：,
整理可得,故,
将代入上式,,故的通项公式为.
（2）由,则.
8．已知数列是各项均为正数的等比数列,且,,数列中.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列的前n项和为,数列满足,求数列的前n项和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）正项等比数列的公比为q,由,得,
而,解得,于是,
由,得,
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知,,显然数列是等差数列,,
,
所以.
9．已知等差数列前n项和为,满足,.数列满足,,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）设数列满足,,求数列的前n项和.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设数列的公差为d,,
解得,,.
,,且,所以是等比数列,
,
（2）,
10．已知各项为正的数列的首项为2,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前n项和,求数列(其中)前n项和的最小值.
答案：（1）
（2）最小值为
解析：（1）因为,
所以有,而,,
所以,则,
又,,∴,由等差数列定义知数列是以2为首项,4为公差的等差数列.
数列的通项公式为.
（2）由（1）有,,
令,有;,有;,有.
所以前n项和的最小值为,当且仅当,3时取到.
11．记为数列的前n项和,已知,等比数列满足,.
（1）求的通项公式;
（2）求的前n项和.
答案：（1）
（2）当时,;当时,.
解析：（1）当时,,
当时,
,
因为适合上式,
所以.
（2）由（1）得,,
设等比数列的公比为q,则,解得,
当时,,
当时,.
12．记为数列的前n项和.已知.
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值.
答案：（1）证明见解析
（2）或13时，取得最小值，最小值为-78
解析：（1）由，得，①
所以，②
②-①，得，
化简得，
所以数列是公差为1的等差数列.
（2）由（1）知数列的公差为1.
由，得，
解得.
所以，
所以当或13时，取得最小值，最小值为-78.
13．已知数列满足，数列满足.
（1）求，.
（2）求证：数列是等比数列，并求其通项公式.
（3）已知，求证：.
答案：（1），
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）由数列的递推关系，知，.
（2）.
因为，所以数列的各项均不为0，
所以，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（3）由（2）知.
所以
.
14．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前n项和为，求证：.
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，，成等差数列，所以，
又因为数列的公比为2，所以，
即，解得，所以.
（2）由（1）知，则，
所以，①
，②
①-②得
.
所以.
又因为，
所以是递增数列，所以，所以.
15．在①，②，③，，成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.
已知数列中，，，公差不等于0的等差数列满足__________，__________求数列的前n项和.
答案：选①②；选②③
解析：因为，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
方案一：选①②.
设数列的公差为d，
因为，所以.
因为，所以时，，
解得，，
所以，所以，满足，
所以，
所以，
所以，
两式相减，得，
所以.
方案二：选②③.
设数列的公差为d，
因为，所以，即.
因为，，成等比数列，
所以，即，
化简得.
因为，所以，所以，所以，
所以，
所以，
两式相减，得，
所以.
方案三：选①③.
设数列的公差为d，因为，所以时，，所以.又，，成等比数列，所以，即，化简得.因为，所以，此式与矛盾.所以等差数列不存在，故不符合题意.