2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题（二）专项训练【含解析】

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1．已知等差数列的前n项和为，公差d为整数，，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，又因为，，成等比数列，所以，
即，所以，联立解得，所以.
（2）由（1）可得，
所以.
2．在数列中，，，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：，
，
又，
数列是首项为3、公比为4的等比数列.
（2）由（1）可知，即，
.
3．在等比数列{}中,.
(1)求{}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Sn.
答案：(1);
(2).
解析：（1）由题设,,则的公比,
所以.
（2）由（1）知：,
所以.
4．记为数列的前n项和，已知，.
(1)求，；
(2)求数列的通项公式.
答案：(1)，
(2)
解析：（1）当时，，解得或(舍)
当时，，解得或(舍)
所以，.
（2）当时，①，②，
由①-②得，，因为，所以，
所以数列是以-4为首项，-3为公差的等差数列，
所以，
当时，由(1)可知，满足，故数列的通项公式为.
5．已知数列满足,点在直线上.
（1）求证:数列是等比数列,并求出的通项公式;
（2）求满足的n的取值构成的集合.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由已知得,,
且,
所以数列是等比数列,
,则
（2）因为,所以,
得,又因为,所以的取值构成的集合是.
6．已知为等差数列的前n项和，且，.
（1）求数列的通项公式及.
（2）是否存在n，使得，，成等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）
（2）存在，使得，，成等差数列
解析：（1）设等差数列的公差为d.
因为，，
所以解得
所以，
.
（2）假设存在n，使得，，成等差数列，则，
即，解得.
所以存在，使得，，成等差数列.
7．已知正项等比数列满足条件，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求的最大值.
答案：（1）
（2）
解析：（1）设的公比为.
由题意得，
所以，，
所以，.
所以.
（2）.
二次函数的图象的对称轴为直线，
故当或时，取得最大值，且最大值为.
8．等差数列的前n项和为,已知,为整数,且.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）由,为整数知,等差数列的公差d为整数.
又,故,.
于,,解得,
因此,故数列的通项公式为.
（2）,
于是
.
9．已知数列满足，，数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求证：.
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由，，
知当时，.当时，符合上式，所以.
因为，所以.又，所以，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以.
（2）因为，
所以，
所以.
10．已知是首项为1的等比数列,且,,成等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,,求数列的前项和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为,,
因,,成等差数列,
所以,即,
化简可得,解得.
又,
所以数列的通项公式为.
（2）因为,
所以,
则,①,
,②
①-②得,
所以.
11．已知数列满足,且数列的前n项和.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,
故为公差为2的等差数列,
中,令得,解得,
则;
（2）,
故①,
则②,
两式①-②得
,
故.
12．在数1和3之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）在数1和3之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，
设插入的这n个数分别为、、、，
由等比数列的性质可得，
所以，，所以，
易知，所以，则.
（2）
，
所以.
13．已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，，即.
当时，，
而当时，满足上式，所以.
(2)由得，而，
所以当时，；当时，.
当时，.
当时，
.
所以，
14．已知数列的首项,其前n项和为,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）已知,
当时,,即,由,解得.
当时,,
则相减得.
当时,也成立.
所以对于都有成立.
上式化为,所以是等比数列,首项为4,公比为3,
则,即.
（2）因为,
则,
两式相减得,
,
所以.
15．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前n项和为，在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.
问题：若，且，求数列的前n项和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为，则，，.
因为，，成等比数列，
所以，
解得或（舍去），
所以.
（2）方案一：选条件①.
当时，，当时等式也成立，
所以，则，
所以，，
两式相减得，
所以.
方案二：选条件②.
当时，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，则，
所以，，
两式相减得，
所以.
方案三：选条件③.
由，，得，又，所以，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
当时，，当时等式也成立，
所以，则，
所以，，两式相减得，所以.