2022-2023学年河南省驻马店市平舆县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省驻马店市平舆县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径约为纳米纳米米，纳米用科学记数法表示等于(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列从左到右的运算是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在长方形中，连接，以为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，画射线交于点若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，若为正整数，则表示分式的值落在(    )

A. 线处 B. 线处 C. 线处 D. 线处

7.  如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，若，，，则周长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，为线段上一动点不与点、重合，在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：
；；；；；
是等边三角形；点在的平分线上，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  一个大正方形和四个全等的小正方形按图、两种方式摆放，则图的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是用含，的代数式表示．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

10.  已知点与点关于轴对称，则的值为        ．

11.  若是一个完全平方式，则的值是        ．

12.  已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是        ．

13.  一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角，则______．
 

14.  杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨超所著的详解九章算术年一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律，观察下列各式及其展开式：请你猜想展开式的第三项的系数是______．
 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再从，，，，五个数字中选取一个合适的数作为代入求值．

16.  本小题分
如图，已知的顶点分别为，，．
作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是        ．
在轴上找一点，使得最小画出图形，找到点的位置．

17.  本小题分
在中，，，，点，分别在，上，沿将翻折，使顶点的对应点落在边上，若，求的长．

18.  本小题分
如图，与的角平分线交于点，与相交于点，交于点、交于．
若，，求的度数；
猜想，，的等量关系，直接写出结果．

19.  本小题分
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图可以得到，基于此，请解答下列问题：
根据图，写出一个代数恒等式：______．
利用中得到的结论，解决下面的问题：若，，则______．
小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的所有可能取值．
【知识迁移】
事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
 

20.  本小题分
已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于．
求证：；
求的度数；
若，，求的长．

21.  本小题分
【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌的理由是______．
A.
求得的取值范围是______．
A.
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图，是的中线，交于，交于，且求证：．

22.  本小题分
随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式某化工厂要在规定时间内搬运千克化工原料，现有，两种机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人的倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人少小时．
求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？
若型机器人工作小时所需的费用为元，型机器人工作小时所需的费用为元，若该工厂在两种机器人中选择其中的一种机器人单独完成搬运任务，则选择哪种机器人所需费用较小？请计算说明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：纳米米米，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法，注意的值的确定方法，当原数小于时，是负整数，等于原数左数第一个非零数字前的个数，按此方法即可正确求解．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，





，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项正确；
C、是整式的乘法，故本选项错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项错误；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
 

4.【答案】 

【解析】解：当长是的边是底边时，三边为，，，等腰三角形成立；
当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系．
故该等腰三角形的底边长为．
故选：．
分长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在长方形中，，，
，
由作法得：平分，
，
，
，
故选B．
先利用长方形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以，然后根据三角形的内角和定理得到的度数．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了长方形的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
为正整数，
最小值为．
当时，取最小值．
．
分式的值落在线处．
故选：．
根据分式的基本性质解决此题．
本题主要考查分式的基本性质、分式的值，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线垂直平分，
、关于直线对称，
设直线交于，
当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长的最小值是．
故选：．
根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，值的最小，求出长度即可得到结论．
本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出的位置．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图如示：

和是正三角形，
，，，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
结论正确；
≌，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
是等边三角形，
，
，
，
结论、、正确；
≌，
，
又，
，
，
，
又，
，
结论正确；
若，
，
，
，
又，
与是等边三角形相矛盾，假设不成立，
结论错误；
过点分别作，于点、两点，
如图所示：

，，
，
在和中，
，
≌，
，
又在的内部，
点在的平分线上，
结论正确；
综合所述共有个结论正确．
故选：．
由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明≌，其性质得结论正确；角边角证明≌得，其结论正确；等边三角形的判定得是等边三角形，结论正确；判定两线，结论正确；角角边证明≌，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点在的平分线上，结论正确；反证法证明命题，结论错误；即正确结论共个．
本题综合考查了全等三角的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．
 

9.【答案】 

【解析】设小正方形边长为，表示出大正方形的边长，由大正方形面积减去四个小正方形面积表示出阴影部分面积即可．
解：设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，
可得，大正方形边长为，
则阴影部分面积为，
故选：．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
则．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

11.【答案】或 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
即，
故答案为：或．
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：内角等于，
外角是，
，
这个多边形的边数是．
故答案为：．
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

由等边三角形和直角三角形可得，，
，
且，
，
，
故答案为：．
由等边三角形和等腰三角形即三角形的外角性质等可得，，且，可求得．
本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及外角的性质，由条件利用、得到和、之间的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第行的数，
第行第三个数为，
第行第三个数为，
第行第三个数为，

第行第三个数为：．
故答案为：．
从第行开始依次确定第三个数，即是完全平方公式中的第三项的系数，找到规律即可．
本题考查了完全平方公式，各项是按的降幂排列的，它的两端都是由数字组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
 

15.【答案】解：原式


，
当，，时，原式没有意义；
当时，原式；
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求，点的坐标为；

点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：；
如图所示，点即为所求．
分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
根据关于轴对称点的坐标特点求解即可；
连接，与轴的交点即为所求．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
 

17.【答案】解：，，
，，
由折叠的性质可知，，，
，，
，
是等边三角形，
，
． 

【解析】根据直角三角形的性质得到，，由折叠的性质得到，，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
 

18.【答案】解：设，，
根据和的角平分线相交于点可知：
，，
三角形的内角和等于，，，
，即．
是与的外角，
，即．
同理，是与的外角，
，即，
得，，
得，，
代入得，，
，
解得；
，理由如下：
由同理可知：
，
解得． 

【解析】设，，根据和的角平分线相交于点可得，，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】
解：边长为的正方形的面积为：
分部分来看的面积为
两部分面积相等．
故答案为：




，
，，
，
，
故答案为：．
由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：

从因式分解的角度看，可分解为或
或
或．
原几何体的体积，新几何体的体积，
．
故答案为：．
利用等面积法确定恒等式；
利用中结论求解；
利用所拼成的长方形或正方形的面积从因式分解的角度进行解答；
利用体积关系求关于的恒等式．
本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
 

20.【答案】证明：为等边三角形，
，，
在与中，
，
≌，
；
由知，≌，则，
，
；
如图，由知．
，
，
，

，即． 

【解析】根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论；
利用中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得；
利用的结果求得，所以由“度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求．
本题考查了全等三角形的判定与性质、含度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

21.【答案】   

【解析】解：在和中
，
≌，
故选B；

解：由知：≌，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
，
故选C．

证明：
延长到，使，连接，
是中线，
，
在和中

≌，
，，
，
，
，
，
，
即．
根据，，推出和全等即可；
根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
延长到，使，连接，根据证≌，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
 

22.【答案】解：设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料，
根据题意，得
整理，得
解得
检验：当时，
所以，原分式方程的解为
答：型机器人每小时搬运千克化工原料，型机器人每小时搬运千克化工原料；

型机器人单独完成搬运任务所需的费用为：元
型机器人单独完成搬运任务所需的费用为：元
因为
所以选择型机器人所需费用较小． 

【解析】设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料，根据型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间差为小时建立方程求出其解就可以得出结论．
分别计算两种机器人所需的费用，通过比较大小得到结论．
本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据型机器人搬运原料所用时间与型机器人搬运原料所用时间相等建立方程是关键．