7.5 空间直线、平面的垂直-2025届高三数学一轮复习专练

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学习目标：从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
课前自测
1.易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一个平面的两平面平行．( )
(2)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α．( )
(3) 若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b．( )
(4) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )
[答案] (1)× (2)× (3) √ (4)×
2．(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
解析 D
若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，A错误；
若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；
若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，C错误；
若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．故选D.
3. (2023·石嘴山模拟)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法错误的是( )
A．PA⊥平面ABC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥平面PBC
D．三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形
解析 C
因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；
而BC⊂平面ABC，
则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正确；
由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，
由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；
假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，
即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，
所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误．
4. (人教A版必修第二册P152例4改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．
解析 13
∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．
因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝22，
又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin ∠AC1A1＝AA1AC1＝13.]
二、知识梳理
1．(1)直线和平面垂直的定义
如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.
(2)范围：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围：[0，π]．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
常用结论
1．三垂线定理
平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
三、典例分析
典例一、直线与平面垂直的判定与性质
例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.
又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
判定线面垂直的四种方法
变式1 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.
证明 (1)如图，连接A1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1.
因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.
又因为CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥平面A1C1C.
又因为A1C⊂平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1.
(2)如图，连接B1A，AD1.
因为B1C1＝AD，B1C1∥AD，
所以四边形ADC1B1为平行四边形，
所以C1D∥AB1，
因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，所以MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1.
所以MN∥A1C.
总结
典例二、平面与平面垂直的判定与性质
例2.(2024·江西吉安模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC的中点．求证：
(1)PA⊥BC；
(2)BE⊥平面PDC.
[证明] (1)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊂平面PAB，PA⊥AB，
∴PA⊥平面ABCD.
∵BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC.
(2)取PD的中点F，连接EF，AF.
在△PCD中，E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥DC，EF＝12DC.
又AB∥DC，AB＝12DC，∴AB綉EF.
∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE∥AF.
∵AP＝AD，F为PD的中点，
∴AF⊥PD，∴BE⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PA⊥DC.
∵AB∥CD，∠DAB＝90°，
∴AD⊥DC.
∵DC⊥AD，DC⊥PA，AD∩PA＝A，
∴DC⊥平面PAD.
∵AF⊂平面PAD，∴DC⊥AF.
∵BE∥AF，∴DC⊥BE.
∵BE⊥DC，BE⊥PD，DC∩PD＝D，
∴BE⊥平面PDC.
证明面面垂直的两种方法
提醒：在已知两个平面垂直时，一般要在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
变式2 (2023·邯郸模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥平面ABCD；
(2)平面BEF∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥平面ABCD，
且PA⊂平面PAD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE，
∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，
∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD，
∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，
∴平面BEF∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF，∴CD⊥EF，
又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，
∵CD⊂平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
总结
典例三、如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A-PB-C的大小．
解析 (1)证明：作AD⊥PC于D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，则AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，则AD⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又PA，AD⊂平面PAC，
PA∩AD＝A，则BC⊥平面PAC.
(2)作AD⊥PC于点D，作DE⊥PB于点E，连接AE，由(1)知AD⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，则AD⊥PB，
又AD，DE⊂平面ADE，AD∩DE＝D，则PB⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，则PB⊥AE，则∠AED即为二面角A-PB-C的平面角．
不妨设AC＝BC＝PA＝1，则PC＝2，AD＝1×12＝22，
又由(1)知BC⊥平面PAC，AC⊂平面PAC，
则BC⊥AC，则AB＝2，PA⊥平面ABC，
AB⊂平面ABC，则PA⊥AB，则PB＝3，
AE＝1×23＝63，则sin ∠AED＝ADAE＝2263＝32，
则∠AED＝60°，即二面角A-PB-C的大小为60°.
三种垂直关系的转化
线线垂直 eq \(⥫=====⥬,\s\up10(判定定理),\s\d10(性质定理))线面垂直 eq \(⥫=====⥬,\s\up10(判定定理),\s\d10(性质定理))面面垂直
变式3如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2，CD＝2eq \r(2)，四边形DCFE为梯形，DE∥CF，DE＝3，CF＝6，∠ADE＝45°，CD⊥平面ADE.
(1)求证：AE∥平面BCF；
(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值．
解析 (1)证明 由四边形ABCD是平行四边形，得BC∥AD，而BC⊂平面BCF，AD⊄平面BCF，
则AD∥平面BCF，
由DE∥CF，CF⊂平面BCF，DE⊄平面BCF，得DE∥平面BCF，
又AD∩DE＝D，AD，DE⊂平面ADE，
因此平面BCF∥平面ADE，
而AE⊂平面ADE，
所以AE∥平面BCF.
(2)解 由CD⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，得CD⊥AD，连接AC，
则AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(22＋2\r(2)2)＝2eq \r(3)，
在平面ADE内过点A作AO⊥DE于点O，连接CO，显然CD⊥AO，
而CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDEF，
于是AO⊥平面CDEF，
则∠ACO为直线AC与平面CDEF所成的角，
又∠ADE＝45°，
则AO＝ADsin 45°＝eq \r(2)，
因此sin∠ACO＝eq \f(AO,AC)＝eq \f(\r(2),2\r(3))＝eq \f(\r(6),6)，
所以直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为eq \f(\r(6),6).

总结
四、课堂总结
检测练习
1．(2024·乌鲁木齐模拟)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )
A．a∥α，b∥β，a⊥b
B．α⊥γ，β⊥γ
C．a∥α，a⊥β
D．α∩β＝a，a⊥b，b⊂β
解析 C
对于A，a∥α，b∥β，a⊥b时，α∥β也可能满足，如图1，故A错误；
对于B，α⊥γ，β⊥γ时，α∥β也可能满足，如图2，故B错误；
对于C，a∥α，a⊥β时，一定有α⊥β，故C正确；
对于D，α∩β＝a，a⊥b，b⊂β时，α⊥β不一定成立，如图3，故D错误．
故选C.
2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
解析 D
如图所示，
因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，
所以BC⊥平面PAO，
则BC⊥OA，
同理得OB⊥AC，
所以O是△ABC的垂心．
3．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是( )
A．平面ABCD B．平面PBC
C．平面PAD D．平面PAB
解析 C
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，
由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，
因为PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
又CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD.
故选C.
4．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，F是PB上一点，则下列判断错误的是( )
A．BC⊥平面PAC
B．AE⊥EF
C．AC⊥PB
D．平面AEF⊥平面PBC
解析 C
对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，
又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；
对于B，由A选项可知BC⊥AE，
由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF⊂平面PCB，
所以AE⊥EF，所以B正确；
对于C，由B选项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；
对于D，由B选项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC.所以D正确．故选C.
5．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
解析 ABD
如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，
又BC1⊂平面BCC1B1，
所以CD⊥BC1.
连接B1C，则B1C⊥BC1.
因为CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面DCB1A1，
所以BC1⊥平面DCB1A1，
又CA1⊂平面DCB1A1，
所以BC1⊥CA1，
所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；
连接A1C1，交B1D1于点O，
则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB.
因为OB⊂平面BB1D1D，
所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为a，
则易得BC1＝eq \r(2)a，OC1＝eq \f(\r(2)a,2)，
所以在Rt△BOC1中，OC1＝eq \f(1,2)BC1，
所以∠OBC1＝30°，故C错误；
因为C1C⊥平面ABCD，
所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，
易得∠CBC1＝45°，故D正确．
6．(2024·广东惠州模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求证：(1)CD⊥平面PBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
证明 (1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°，
所以∠ABD＝∠ADB＝45°.
又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°.
又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，
所以CD⊥平面PBD.
(2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.
又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD.
又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.
8．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．
解析 (1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，
因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又BC⊂平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，
又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，
A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，
即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H.
由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1.
又AA1＝2，∠ACA1＝90°，
所以A1C1＝CA1＝2.
法一：由S△CA1C1＝12·CA1·A1C1＝12·A1H·CC1，得A1H＝CA1·A1C1CC1＝2×22＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝12CC1＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m⊂α,n⊂α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α,a⊥β))⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α